[일반물리학] 1. 흑체복사와 플랑크의 가설, 아인슈타인의 광전효과, 입자의 파동적 성질, 불확정성 원리

[일반물리학] 1. 흑체복사와 플랑크의 가설, 아인슈타인의 광전효과, 입자의 파동적 성질, 불확정성 원리

모든 물체는 어떠한 온도에서든지 표면으로부터 열복사(thermal radiation)를 방출한다. 이 복사의 특성은 온도와 물체의 표면의 성질에 따라 다르다. 표면이 검은 물체인 흑체(black body)는 자신에 입사하는 모든 복사를 흡수하는 이상적인 계이고(열효율(\(e\))이 \(1\)) 흑체에서 방출되는 전자기 복사를 흑체복사(black body radiation)라고 한다.

1. 슈테판의 법칙: 방출된 복사의 전체 일률은 온도에 따라 증가한다.(흑체의 경우, \(e=1\))$$P=\sigma AeT^{4}$$2. 빈의 변위법칙: 파장분포의 최고점은 온도 증가에 따라 짧은 파장쪽으로 이동한다.$$\lambda_{\max}T=2.898\times10^{-3}\text{m}\cdot\text{K}$$(\(\lambda_{\max}\)는 곡선값이 최대가 되는 파장, \(T\)는 복사를 방출하는 물체 표면의 절대온도이다.)

레일리-진스의 법칙(Rayleigh-Jeans law):$$I(\lambda,\,T)=\frac{2\pi ck_{B}T}{\lambda^{4}}$$여기서 \(k_{B}\)는 볼츠만 상수이다.

자외선 파탄(Ultraviolet catastrophe):

이론상으로는 \(\displaystyle\lim_{\lambda\,\rightarrow\,0^{-}}{I(\lambda,\,T)}=\infty\)이어야 하나 실제로는 \(\displaystyle\lim_{\lambda\,\rightarrow\,0^{-}}{I(\lambda,\,T)}=0\)이다. 이는 자외선 영역의 파장이 짧기 때문이다.

1900년에 플랑크(Max Planck)는 실험결과와 일치하는 \(I(\lambda,\,T)\)에 대한 흑체복사이론을 만들었다. 진동자의 에너지는 \(E_{n}=nhf\)

(\(n\): 양자수(양의 정수), \(f\): 진동자의 진동수, \(h\): 플랑크 상수)로 주어지는 불연속적인 값들을 가진다.

에너지가 \(E\)인 어떤 상태가 점유될 확률은 \(\displaystyle e^{-\frac{E}{k_{B}T}}\)에 비례한다. 위의 방법을 이용하여 \(I(\lambda,\,T)\)에 대한 식을 다음과 같이 구했다.$$I(\lambda,\,T)=\frac{2\pi hc^{2}}{\lambda^{5}(e^{\frac{hc}{\lambda k_{B}T}}-1)},\,(h=6.626\times10^{-34}\text{J}\cdot\text{s})$$이 결과는 실험결과와 잘 일치하는 결과이다. 

1905년에 아인슈타인은 공동(空洞)에서 전자기장의 진동이 양자화(어떤 불연속적인 덩어리로 나타나는 양) 된다고 가정하고 플랑크의 결과를 다시 유도했다.  

어떤 금속판에 입사한 빛이 그 금속판에서 전자를 방출하는 현상을 광전효과(photoelectric effect)라고 하고 광전효과가 발생했을 때 금속판에서 방출된 전자를 광전자(photoelectrons)라고 한다.

왼쪽 그림에서 전극 \(\text{E}\)와 \(\text{C}\)사이에 전위차 \(\Delta V\)를 가하고 전극 \(E\)에 빛을 쪼였을 때

\(\Delta V\)가 큰 경우, 전극 \(\text{E}\)에서 방출된 모든 전자들이 \(\text{C}\)에 도달하여 전류가 더이상 증가하지 않는다(전류가 최대).

\(\Delta V<0\)인 경우, 전류가 갑자기 줄어들고 운동에너지가 \(e|\Delta V|\)보다 큰 광전자만이 \(\text{C}\)에 도달한다.

\(\Delta V\leq-\Delta V_{s}\)이면 \(\text{C}\)에 도달하는 광전자는 없고 전류는 \(0\)이다. 이때 \(\Delta V_{s}\)를 정지전위(stopping potential)라고 한다.

전자가 \(\text{E}\)를 떠나는 순간의 에너지는 \(K_{1}+U_{1}=K_{1}+0=K_{1}\)이고, 전자가 \(\text{C}\)에 도달하기 직전의 에너지는 \(K_{2}+U_{2}=0+(-e)\Delta V=-e\Delta V\)이다. 이때 전자가 \(\text{E}\)를 떠나는 순간에 운동에너지가 최대이므로 \(K_{1}=K_{\max}\)이고, \(\text{C}\)에 도달하기 직전의 전위차는 정지전위일때와 같으므로 \(\Delta V=-\Delta V_{s}\)이고 \(-e\Delta V=e\Delta V_{s}\)이다.

역학적에너지 보존법칙에 의해$$K_{\max}=e\Delta V_{s}$$이고 여기서 \(K_{\max}\)를 최대운동에너지라고 한다.

다음은 광전효과의 고전적 예측과 아인슈타인의 실험결과를 비교한 것이다.

1. 광전자 운동에너지의 빛의 세기에 따른 의존성

고전적인 예측: 금속판에 입사하는 빛의 세기가 증가할수록 전자들은 큰 운동에너지로 방출되어야 한다.

실험결과: 광전자의 최대운동에너지는 빛의 세기와는 무관하다.(\(K_{\max}=e\Delta V_{s}\))

2. 빛의 입사와 광전자 방출의 시간간격

고전적인 예측: 빛의 세기가 약하더라도 빛이 금속판에 도달한 후의 전자가 금속판에서 배출되기까지 걸리는 시간(전자가 입사한 복사에너지를 흡수한 후 금속판을 탈출하는데 충분한 에너지를 얻는데 걸린 시간)이 측정되어야 한다.

실험결과: 매우 약한 빛의 세기로도 금속판에서 전자들이 배출된다.

3. 빛의 진동수에 따라 방출된 전자의 수

고전적인 예측: 빛의 세기가 충분하면 어떠한 진동수의 빛이 입사해도 금속판에서는 전자가 방출되어야 한다.

실험결과: 입사하는 빛의 진동수가 차단진동수(cutoff frequency) \(f_{c}\)이하 일때는 전자가 방출되지 않는다.

4. 광전자 운동에너지의 빛의 진동수 의존성

고전적인 예측: 전자의 운동에너지는 빛의 진동수와 무관하고 빛의 세기에 따라 달라진다.

실험결과: 광전자의 최대운동에너지는 빛의 진동수에 비례한다.

이 실험결과들은 모든 고전적인 예측과 모순되는 결과이다.

탈출 전에 금속판에 있는 원자와 충돌하지 않으면서 금속판에서 방출되는 전자는 최대운동에너지 \(K_{\max}\)를 가진다. 아인슈타인의 실험결과로부터 금속으로부터 방출된 전자의 최대운동에너지는$$K_{\max}=hf-\phi$$이다. 여기서 \(\phi\)를 금속의 일함수(work function)라 하고 일함수는 금속 내부에 속박된 전자의 최소결합 에너지이고 단위는 전자볼트(\(e\text{V}\))이다.

진동수가 \(f\)인 빛을 양자의 흐름으로 볼 수 있고 이 양자를 광자(photon)라고 한다.

광자는 에너지가 \(E=hf\)이고 진공에서 광속(\(c=3.00\times10^{8}\text{m/s}\))으로 움직인다.

\(K_{\max}=hf-\phi\geq0\)이어야 전자가 방출되므로 차단진동수(cutoff frequency)는 \(\displaystyle f_{c}=\frac{\phi}{h}\), 

차단파장(cutoff wavelength)은 \(\displaystyle\lambda_{c}=\frac{c}{f_{c}}=\frac{hc}{\phi}\)이다.

1923년에 드 브로이는 광자가 입자성과 파동성을 동시에 갖듯이, 모든 형태의 물질 또한 이중성을 갖음을 가정했다. 광자의 에너지는 상대론으로부터 \(E=pc\)이고, 앞에서 \(E=hf\)이기 때문에$$p=\frac{E}{c}=\frac{hf}{c}=\frac{h}{\lambda}$$이고 여기서 드 브로이 파장(de Broglie wave length)\(\lambda\)는$$\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}$$이다.

마지막으로 불확정성 원리에 대해 설명하고 마치도록 하겠다.

고전역학에서는 실험장치나 실험과정의 궁극적인 정밀성에 대해서는 근본적인 한계가 없다고 주장한다(불확정 정도의 측정이 가능). 반면 양자이론에서는 입자의 위치와 운동량을 동시에 무한한 정밀도로 측정하는 것은 근본적으로 불가능하다고 주장한다.  

하이젠베르크의 불확정성 원리(Heisenberg uncertainty principle) 입자의 위치를 측정할 때 불확정성이 \(\Delta x\)이고, 운동량의 \(x\)성분을 동시에 측정할 때의 불확정성이 \(\Delta p_{x}\)이면, 두 불확정성의 곱은 결코 \(\displaystyle\frac{\hslash}{4}\left(=\frac{h}{4\pi}\right)\)보다 작을 수 없다. 즉$$\Delta x\Delta p\geq\frac{\hslash}{2}$$

이는 어떤 입자의 정확한 위치와 운동량을 동시에 측정하는 것이 물리적으로 불가능함을 의미한다(불확정성은 물질의 양자 구조 때문).

진동수와 입자의 에너지의 관계는 \(E=hf\)이므로 이때의 불확정성 원리는$$\Delta E\Delta t\geq\frac{\hslash}{2}$$이다.(짧은시간 \(\Delta t\)동안 에너지보존은 \(\Delta E\)만큼 위배될 수 있다)

참고자료:

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning