22. 다상 시스템

22. 다상 시스템

이중아래첨자 기호규약

\(\mathbf{V}_{ad}=\mathbf{V}_{ab}+\mathbf{V}_{bc}+\mathbf{V}_{cd}=\mathbf{V}_{ab}+\mathbf{V}_{cd}\) (\(\mathbf{V}_{bc}=0\text{V}\))

3상전압 (전력산업규칙에 따라 전류, 전압값은 rms값으로 사용된다.)

\(\mathbf{I}_{ab}\)는 쉽게 알 수 있으나 \(\mathbf{I}_{cd}\)는 어떤 것으로 해야 할 지 결정할 수 없다.

3개의 단자 \(a\), \(n\), \(b\)를 가지고 페이저 전압이 \(\mathbf{V}_{an}=\mathbf{V}_{nb}\)인 전원을 단상 3선 전원이라고 한다. \(\mathbf{V}_{an}\)과 \(\mathbf{V}_{nb}\)는 크기와 위상이 같아서 단상이라고 한다. 그러나 다른 관점에서 보면 2개의 바깥선과 중성선이라고 불리는 중앙선간의 전압은 정확하게 \(180^{\circ}\)의 위상차가 있다. 즉, \(\mathbf{V}_{an}=-\mathbf{V}_{bn}\)이고 \(\mathbf{V}_{an}+\mathbf{V}_{bn}=0\).

왼쪽 회로에서 \(\mathbf{V}_{an}=\mathbf{V}_{nb}\), \(\displaystyle\mathbf{I}_{aA}=\frac{\mathbf{V}_{an}}{\mathbf{Z}_{p}}=\mathbf{I}_{Bb}=\frac{\mathbf{V}_{nb}}{\mathbf{Z}_{p}}\)이다. 따라서 \(\mathbf{I}_{nN}=\mathbf{I}_{Bb}+\mathbf{I}_{Aa}=\mathbf{I}_{Bb}+(-\mathbf{I}_{aA})=0\)이고 이는 중성선에 흐르는 전류가 0이라는 것을 뜻한다. 중성선을 제거해도 회로의 전압과 전류는 변하지 않는다.

왼쪽 회로에 대해 KVL을 적용하면

\(-115\angle0^{\circ}+\mathbf{I}_{1}+50(\mathbf{I}_{1}-\mathbf{I}_{3})+3(\mathbf{I}_{1}-\mathbf{I}_{3})=0\)

\((20+j10)\mathbf{I}_{2}+100(\mathbf{I}_{2}-\mathbf{I}_{3})+50(\mathbf{I}_{2}-\mathbf{I}_{1})=0\)

\(-115\angle0^{\circ}+100(\mathbf{I}_{2}-\mathbf{I}_{3})+50(\mathbf{I}_{3}-\mathbf{I}_{2})+\mathbf{I}_{3}=0\)이고

\(\mathbf{I}_{1}=11.24\angle-19.83\text{A}\), \(\mathbf{I}_{2}=9.389\angle-24.47\text{A}\), \(\mathbf{I}_{3}=10.37\angle-21.80\text{A}\)

\(\mathbf{I}_{aA}=\mathbf{I}_{1}=11.24\angle-19.83\text{A}\), \(\mathbf{I}_{bB}=-\mathbf{I}_{3}=10.37\angle158.20\text{A}\), \(\mathbf{I}_{nB}=\mathbf{I}_{3}-\mathbf{I}_{1}=0.9459\angle-177.7\text{A}\)

\(P_{50\Omega}=|\mathbf{I}_{1}-\mathbf{I}_{2}|^{2}\times50=206\text{W}\), \(P_{100\Omega}=|\mathbf{I}_{3}-\mathbf{I}_{2}|^{2}\times100=117\text{W}\), \(P_{20+j10\Omega}=|\mathbf{I}_{2}|^{2}\times20=1763\text{W}\)

이로부터 전체 부하전력은 \(206+117+1763=2086\text{W}\)이고 \(P_{aA}=|\mathbf{I}_{1}|^{2}\times1=126\text{W}\), \(P_{bB}=|\mathbf{I}_{3}|^{2}\times1=108\text{W}\), \(P_{nN}=|\mathbf{I}_{nN}|^{2}\times3=3\text{W}\). 전체선로손실은 \(126+108+3=237\text{W}\)이다.

\(P_{an}=115\times10.24\cos19.83^{\circ}=1216\text{W}\), \(P_{bn}=115\times10.37\cos21.80^{\circ}=1107\text{W}\)

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill