19. 전력

19. 전력

소자에 공급되는 순간전력은 소자에 걸리는 순간전압과 순간전류의 곱이다. 즉 $p(t)=v(t)i(t)$

소자가 저항일 경우의 전력: $\displaystyle p(t)=v(t)i(t)=[i(t)]^{2}R=\frac{[v(t)]^{2}}{R}$. $(v(t)=Ri(t))$

소자가 인덕터일 경우의 전력: $\displaystyle p(t)=v(t)i(t)=Li(t)\frac{di(t)}{dt}=\frac{v(t)}{L}\int_{-\infty}^{t}{v(\tau)d\tau}$. $\displaystyle\left(v(t)=L\frac{di(t)}{dt}\right)$

소자가 커패시터일 경우의 전력: $\displaystyle p(t)=v(t)i(t)=Cv(t)\frac{dv(t)}{dt}=\frac{i(t)}{C}\int_{-\infty}^{t}{i(\tau)d\tau}$. $\displaystyle\left(i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}\right)$

이 왼쪽 회로의 전류응답은 $\displaystyle i(t)=\frac{V_{0}}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)u(t)$이다. 전압원이 공급하는 전력은 $\displaystyle p(t)=v(t)i(t)=\frac{V_{0}^{2}}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)u(t)$, 저항에 공급되는 전력은 $p_{R}(t)=[i(t)]^{2}R=\frac{V_{0}^{2}}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)u(t)$, $\displaystyle v(t)=L\frac{di(t)}{dt}=V_{0}e^{-\frac{R}{L}t}u(t)$이므로 인덕터에서 흡수하는 전력은 $\displaystyle p(t)=v(t)i(t)=\frac{V_{0}^{2}}{R}e^{-\frac{R}{L}t}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)u(t)$. $p(t)=p_{R}(t)+p_{L}(t)$가 성립한다. (아래 그래프를 참고)

$p(t)=p_{R}(t)+p_{L}(t)$

이 회로의 전류응답은 $\displaystyle i(t)=I_{m}\cos(\omega t+\phi)\left(I_{m}=\frac{V_{m}}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}},\,\phi=-\tan^{-1}\frac{\omega L}{R}\right)$이고 정상상태일 때 회로에 공급되는 순간전력은 $p(t)=v(t)i(t)=V_{m}I_{m}\cos(\omega t+\phi)\cos\omega t$이고 $\displaystyle p(t)=\frac{V_{m}I_{m}}{2}\cos\phi+\frac{V_{m}I_{m}}{2}\cos(2\omega t+\phi)$. 여기서 $\cos\phi$는 시간에 대한 함수가 아니고 $\cos(\omega t+\phi)$는 시간에 대한 함수이므로 평균전력은 $\displaystyle\frac{V_{m}I_{m}}{2}\cos\phi$이다.

순간전력의 평균값(평균전력)을 구할 때 평균값을 계산하는 구간을 지정해야 한다. 구간 $[t_{1},\,t_{2}]$에서 $p(t)$의 평균값(평균전력)은 $\displaystyle P=\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}{p(t)dt}$(적분에 대한 평균값)이다.

평균전력은 한 주기가 되는 어떤 구간에서 순간전압을 시간에 대해 적분하고 주기로 나눈다. 즉 $\displaystyle P=\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{1}+T}{p(t)dt}$. 여러 주기에 걸쳐서 적분하고 그 주기의 수로 나누어도 같은 결과를 갖는다. $\displaystyle\left(P=\frac{1}{nT}\int_{t_{1}}^{t_{1}+nT}{p(t)dt}\right)$

주기함수가 대칭이 되도록 적분구간을 정하여 적분하면 $\displaystyle P=\frac{1}{nT}\int_{-\frac{nT}{2}}^{\frac{nT}{2}}{p(t)dt}$이고 $\tau=nT$라 하고 $n$이 무한대가 되는 극한을 취하면 $\displaystyle P=\lim_{\tau\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{\tau}\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}{p(t)dt}}$

소자에 걸리는 정현파전압을 $v(t)=V_{m}\cos(\omega t+\theta)$, 그 소자에 흐르는 전류를 $i(t)=I_{m}\cos(\omega t+\phi)$라 하면 순간전력은 $\displaystyle p(t)=\frac{V_{m}I_{m}}{2}\cos(\theta-\phi)+\frac{V_{m}I_{m}}{2}\cos(2\omega t+\theta+\phi)$이고 평균전력은 $\displaystyle P=\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}{p(t)dt}=\frac{1}{2}V_{m}I_{m}\cos(\theta-\phi)$이다.

순수한 저항에 흐르는 전류와 양단에 걸리는 전압간의 위상차는 0이다. 따라서 $\displaystyle P_{R}=\frac{1}{2}V_{m}I_{m}\cos0^{\circ}=\frac{1}{2}V_{m}I_{m}$

순수한 리액턴스 소자(임피던스 값이 순허수)에서 전압과 전류의 위상차는 $90^{\circ}$이다. 즉, $\cos(\theta-\phi)=\cos(\pm90^{\circ})=0$이므로 $P_{X}=0$.

인덕터와 커패시터로 구성된 회로에 공급하는 평균전력은 0이다. 그러나 순간전력은 어느 특정 순간에만 0이고, 한 사이클(주기)의 어떤 구간에는 전원으로부터 회로로 공급되고, 또 어떤 구간에서는 전원으로 반환된다.

KVL로부터 $10\angle50^{\circ}=(2+j45)\mathbf{I}_{1}-2\mathbf{I}_{2}$, $5\angle0^{\circ}=2\mathbf{I}_{1}+(-2+j100)\mathbf{I}_{2}$이다. 이 두식을 연립해서 풀면 $\mathbf{I}_{1}=220.5\angle-37.8\text{mA}$, $\mathbf{I}_{2}=46.59\angle-87.8\text{mA}$

저항에 흐르는 전류는 $\mathbf{I}_{1}-\mathbf{I}_{2}=193.9\angle-27.2\text{mA}$이고 저항에서 소비하는 전력은 $\displaystyle\frac{1}{2}\times(193.9\times10^{-3})\times2=37.6\text{mW}$이다. 또한 인덕터가 공급하는 전력은 $\displaystyle\frac{1}{2}\times2\times(220.5\times10^{-3})\times\cos87.8^{\circ}=42.0\text{mW}$이고 커패시터가 공급하는 전력은 $\displaystyle-\frac{1}{2}\times5\times(46.59\times10^{-3})\times\cos87.8^{\circ}=-4.4\text{mW}$이다.

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill