17. 임피던스와 어드미턴스, 주파수 영역에서의 회로해석

17. 임피던스와 어드미턴스, 주파수영역에서의 회로해석

주파수영역에서의 세 수동소자(저항, 인덕터, 커패시터)의 전압-전류관계:

저항: $\mathbf{V}=R\mathbf{I}$, 인덕터: $\mathbf{V}=j\omega L\mathbf{I}$, 커패시터: $\displaystyle\mathbf{V}=\frac{1}{j\omega C}\mathbf{I}$ $\displaystyle\Rightarrow\,\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}}=R$, $\displaystyle\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}}=j\omega L$, $\displaystyle\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}}=\frac{1}{j\omega C}$

페이저전압 $\mathbf{V}$와 페이저전류 $\mathbf{I}$의 비 $\displaystyle\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}}$를 임피던스라 하고 $\mathbf{Z}$로 나타낸다$\displaystyle\left(\mathbf{Z}=\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}}\right)$. 이때 단위는 저항과 같은 옴($\Omega$)이다.

$\mathbf{Z}_{R}=R$, $\mathbf{Z}_{L}=j\omega L$, $\displaystyle\mathbf{Z}_{C}=\frac{1}{j\omega C}$.

임피던스는 직병렬 연결시의 합성이 저항과 비슷하다. 즉

직렬연결: $\mathbf{Z}_{eq}=\mathbf{Z}_{1}+\cdots+\mathbf{Z}_{n}$, 병렬연결: $\displaystyle\frac{1}{\mathbf{Z}_{eq}}=\frac{1}{\mathbf{Z}_{1}}+\cdots+\frac{1}{\mathbf{Z}_{n}}$

임피던스에서 허수부(에너지 저장소자에 의해 발생되는 부분)를 리액턴스라 하고 임피던스의 역수를 어드미턴스라고 한다. $\displaystyle\mathbf{Y}=\mathbf{G}+j\mathbf{B}=\frac{1}{\mathbf{Z}}$가 어드미턴스고 단위는 저항의 역수 컨덕턴스의 단위인 지멘스(S)이다. 여기서 $\mathbf{G}$를 컨덕턴스, $\mathbf{B}$를 서셉턴스라고 한다.

왼쪽 위의 회로는 시간영역에서의 회로이고 왼쪽 아래의 회로는 왼쪽 위의 회로를 주파수영역으로 바꾼 회로이다.

$\displaystyle\mathbf{Z}_{eq}=1.5+\frac{j(1-2j)}{j+(1-2j)}=2+j1.5=2.5\angle36.87^{\circ}\text{k}\Omega$, $\displaystyle\mathbf{I}=\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{Z}_{eq}}=\frac{40\angle-90^{\circ}}{2.5\angle36.87^{\circ}}=16.00\angle-126.9^{\circ}\text{mA}$

시간영역으로 바꾸면 실수전원이 연결되어 있으므로 $i(t)=16\cos(3000t-126.9^{\circ})\text{mA}$이다.

시간영역에서와 비슷한 방법으로 주파수영역에서도 마디해석법과 메쉬해석법을 적용할 수 있다.

위 회로에서 주파수: $\omega=10^{3}\text{rad/s}$, 메쉬전류: $\mathbf{I}_{1}$, $\mathbf{I}_{2}$

메쉬1: $3\mathbf{I}_{1}+j4(\mathbf{I}_{1}-\mathbf{I}_{2})=10\angle0^{\circ}$, 메쉬2: $j4(\mathbf{I}_{2}-\mathbf{I}_{1})-j2\mathbf{I}_{2}+2\mathbf{I}_{1}=0$

두 식을 연립하면 $\displaystyle\mathbf{I}_{1}=\frac{14+j8}{13}=1.24\angle2.97^{\circ}\text{A}$, $\displaystyle\mathbf{I}_{2}=\frac{20+j30}{13}=2.77\angle56.3^{\circ}\text{A}$

마디전압이 $\mathbf{V}_{1}$인 마디:

$\displaystyle1\angle0^{\circ}=\frac{\mathbf{V}_{1}}{5}+\frac{\mathbf{V}_{1}}{-j10}+\frac{\mathbf{V}_{1}-\mathbf{V}_{2}}{-j5}+\frac{\mathbf{V}_{1}-\mathbf{V}_{2}}{j10}$

마디전압이 $\mathbf{V}_{2}$인 마디:

$\displaystyle-0.5\angle-90^{\circ}=\frac{\mathbf{V}_{2}-\mathbf{V}_{1}}{-j5}+\frac{\mathbf{V}_{2}-\mathbf{V}_{1}}{j10}+\frac{\mathbf{V}_{2}}{j5}+\frac{\mathbf{V}_{2}}{10}$

식을 정리하면 $(0.2+j0.2)\mathbf{V}_{1}-j0.1\mathbf{V}_{2}=1$, $-j0.1\mathbf{V}_{1}+(0.1-j0.1)\mathbf{V}_{2}=j0.5$이고 이 두식을 연립해서 풀면 $\mathbf{V}_{1}=2.24\angle-63.4^{\circ}(=1-j2)\text{V}$, $\mathbf{V}_{2}=4.47\angle116.6^{\circ}(=-2+j4)\text{V}$. 

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill