17. 임피던스와 어드미턴스, 주파수 영역에서의 회로해석

17. 임피던스와 어드미턴스, 주파수영역에서의 회로해석

주파수영역에서의 세 수동소자(저항, 인덕터, 커패시터)의 전압-전류관계:

저항: \(\mathbf{V}=R\mathbf{I}\), 인덕터: \(\mathbf{V}=j\omega L\mathbf{I}\), 커패시터: \(\displaystyle\mathbf{V}=\frac{1}{j\omega C}\mathbf{I}\) \(\displaystyle\Rightarrow\,\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}}=R\), \(\displaystyle\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}}=j\omega L\), \(\displaystyle\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}}=\frac{1}{j\omega C}\)

페이저전압 \(\mathbf{V}\)와 페이저전류 \(\mathbf{I}\)의 비 \(\displaystyle\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}}\)를 임피던스라 하고 \(\mathbf{Z}\)로 나타낸다\(\displaystyle\left(\mathbf{Z}=\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}}\right)\). 이때 단위는 저항과 같은 옴(\(\Omega\))이다.

\(\mathbf{Z}_{R}=R\), \(\mathbf{Z}_{L}=j\omega L\), \(\displaystyle\mathbf{Z}_{C}=\frac{1}{j\omega C}\).

임피던스는 직병렬 연결시의 합성이 저항과 비슷하다. 즉

직렬연결: \(\mathbf{Z}_{eq}=\mathbf{Z}_{1}+\cdots+\mathbf{Z}_{n}\), 병렬연결: \(\displaystyle\frac{1}{\mathbf{Z}_{eq}}=\frac{1}{\mathbf{Z}_{1}}+\cdots+\frac{1}{\mathbf{Z}_{n}}\)

임피던스에서 허수부(에너지 저장소자에 의해 발생되는 부분)를 리액턴스라 하고 임피던스의 역수를 어드미턴스라고 한다. \(\displaystyle\mathbf{Y}=\mathbf{G}+j\mathbf{B}=\frac{1}{\mathbf{Z}}\)가 어드미턴스고 단위는 저항의 역수 컨덕턴스의 단위인 지멘스(S)이다. 여기서 \(\mathbf{G}\)를 컨덕턴스, \(\mathbf{B}\)를 서셉턴스라고 한다.

왼쪽 위의 회로는 시간영역에서의 회로이고 왼쪽 아래의 회로는 왼쪽 위의 회로를 주파수영역으로 바꾼 회로이다.

\(\displaystyle\mathbf{Z}_{eq}=1.5+\frac{j(1-2j)}{j+(1-2j)}=2+j1.5=2.5\angle36.87^{\circ}\text{k}\Omega\), \(\displaystyle\mathbf{I}=\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{Z}_{eq}}=\frac{40\angle-90^{\circ}}{2.5\angle36.87^{\circ}}=16.00\angle-126.9^{\circ}\text{mA}\)

시간영역으로 바꾸면 실수전원이 연결되어 있으므로 \(i(t)=16\cos(3000t-126.9^{\circ})\text{mA}\)이다.

시간영역에서와 비슷한 방법으로 주파수영역에서도 마디해석법과 메쉬해석법을 적용할 수 있다.

위 회로에서 주파수: \(\omega=10^{3}\text{rad/s}\), 메쉬전류: \(\mathbf{I}_{1}\), \(\mathbf{I}_{2}\)

메쉬1: \(3\mathbf{I}_{1}+j4(\mathbf{I}_{1}-\mathbf{I}_{2})=10\angle0^{\circ}\), 메쉬2: \(j4(\mathbf{I}_{2}-\mathbf{I}_{1})-j2\mathbf{I}_{2}+2\mathbf{I}_{1}=0\)

두 식을 연립하면 \(\displaystyle\mathbf{I}_{1}=\frac{14+j8}{13}=1.24\angle2.97^{\circ}\text{A}\), \(\displaystyle\mathbf{I}_{2}=\frac{20+j30}{13}=2.77\angle56.3^{\circ}\text{A}\)

마디전압이 \(\mathbf{V}_{1}\)인 마디:

\(\displaystyle1\angle0^{\circ}=\frac{\mathbf{V}_{1}}{5}+\frac{\mathbf{V}_{1}}{-j10}+\frac{\mathbf{V}_{1}-\mathbf{V}_{2}}{-j5}+\frac{\mathbf{V}_{1}-\mathbf{V}_{2}}{j10}\)

마디전압이 \(\mathbf{V}_{2}\)인 마디:

\(\displaystyle-0.5\angle-90^{\circ}=\frac{\mathbf{V}_{2}-\mathbf{V}_{1}}{-j5}+\frac{\mathbf{V}_{2}-\mathbf{V}_{1}}{j10}+\frac{\mathbf{V}_{2}}{j5}+\frac{\mathbf{V}_{2}}{10}\)

식을 정리하면 \((0.2+j0.2)\mathbf{V}_{1}-j0.1\mathbf{V}_{2}=1\), \(-j0.1\mathbf{V}_{1}+(0.1-j0.1)\mathbf{V}_{2}=j0.5\)이고 이 두식을 연립해서 풀면 \(\mathbf{V}_{1}=2.24\angle-63.4^{\circ}(=1-j2)\text{V}\), \(\mathbf{V}_{2}=4.47\angle116.6^{\circ}(=-2+j4)\text{V}\). 

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill