18. 주파수영역에서의 중첩, 전원변환, 테브난 등가회로

18. 주파수영역에서의 중첩, 전원변환, 테브난 등가회로

시간영역에서의 방법과 같은 방법으로 해석한다.

(1) $20\angle0^{\circ}$전류원만 동작할 때 $-j25\text{mS}$, $40\text{mS}$의 등가 컨덕턴스는 $\displaystyle\frac{1}{1/-j25+1/40}=\frac{200}{5+j8}\text{mS}$이고 $\displaystyle\mathbf{V}_{1}=\frac{1}{j50}\left(\frac{j50}{j50+200/(5+j8)}\right)(20\angle0^{\circ})=0.1951-j0.556\text{V}$

(2) $50\angle-90^{\circ}\text{mA}$전류원만 동작할 때 $50\angle-90^{\circ}\text{mA}$전류원과 $-j25\text{mS}$어드미턴스 부분을 전원변환하면 $-2=2\angle180^{\circ}\text{V}$, $j40\Omega(=j25\text{mS})$이고 직류회로가 되어 회로 전체를 흐르는 전류를 구하면 $j50\text{mS}=-j20\Omega$, $40\text{mS}=25\Omega$이므로 $\displaystyle\mathbf{I}=\frac{-2}{(40-20)j+25}\text{A}$. 그러면 $\mathbf{V}_{1}=-j20\mathbf{I}=0.780+j0.976\text{V}$.

이 회로에서 $-j10\Omega$임피던스에서 바라본 테브난 등가회로를 구하자.

위 회로에서 왼쪽 회로는 테브난 등가전압을 구하기 위한 회로이고, 오른쪽 회로는 테브난 등가 임피던스를 구하기 위한 회로이다.

$\mathbf{V}_{oc}=(1\angle0^{\circ})(4-j2)-0.5\angle-90^{\circ}(2+j4)=6-j3\text{V}$, $\mathbf{Z}_{th}=(4-j2)+(2+j4)=6+j2\Omega$.

$-j10\Omega$임피던스에 흐르는 전류를 구하면 $\displaystyle\mathbf{I}=\frac{\mathbf{V}_{th}}{\mathbf{Z}_{th}+(-j10)}=\frac{6-j3}{(6+j2)-j10}=0.6+j0.3\text{A}$

(원래의 회로에서 $-j10\Omega$에 흐르는 전류를 직접 구해도 $\mathbf{I}=0.6+j0.3\text{A}$이다.)

그러면 $\mathbf{I}_{1}=1-(0.6+j0.3)=0.4-j0.3\text{A}$, $\mathbf{V}_{1}=(0.4-0.3j)(4-j2)=1-j2\text{V}$.

위 회로에서 $10\Omega$저항에 흐르는 전류를 구하려고 한다. 먼저 $2\angle0^{\circ}\text{A}$전류원만 작동할 때

$\displaystyle\mathbf{I}'=(2\angle0^{\circ})\frac{-j0.4}{(10-j)-j0.4}=79.23\angle-82.03^{\circ}\text{mA}$, $i'(t)=79.23\cos(5t-82.03^{\circ})\text{mA}$

그 다음으로 $5\angle0^{\circ}$전류원만 작동할 때

$\displaystyle\mathbf{I}''=(5\angle0^{\circ})\frac{-j1.667}{(10-j0.6667)-j1.667}=811.7\angle-76.86^{\circ}\text{mA}$, $i''(t)=811.7\cos(3t-76.86)$

$i(t)=i'(t)+i''(t)=79.23\cos(5t-82.03^{\circ})+811.7\cos(3t-76.86^{\circ})\text{mA}$.

어떤 회로의 페이저전압과 페이저전류의 관계를 복소평면에 그린 것을 페이저 다이어그램이라고 한다. 다음의 두 그림에서 오른쪽의 페이저 다이어그램은 왼쪽 회로의 페이저전압과 페이저전류의 관계를 복소평면에 나타낸 것이다.

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill