18. 주파수영역에서의 중첩, 전원변환, 테브난 등가회로

18. 주파수영역에서의 중첩, 전원변환, 테브난 등가회로

시간영역에서의 방법과 같은 방법으로 해석한다.

(1) \(20\angle0^{\circ}\)전류원만 동작할 때 \(-j25\text{mS}\), \(40\text{mS}\)의 등가 컨덕턴스는 \(\displaystyle\frac{1}{1/-j25+1/40}=\frac{200}{5+j8}\text{mS}\)이고 \(\displaystyle\mathbf{V}_{1}=\frac{1}{j50}\left(\frac{j50}{j50+200/(5+j8)}\right)(20\angle0^{\circ})=0.1951-j0.556\text{V}\)

(2) \(50\angle-90^{\circ}\text{mA}\)전류원만 동작할 때 \(50\angle-90^{\circ}\text{mA}\)전류원과 \(-j25\text{mS}\)어드미턴스 부분을 전원변환하면 \(-2=2\angle180^{\circ}\text{V}\), \(j40\Omega(=j25\text{mS})\)이고 직류회로가 되어 회로 전체를 흐르는 전류를 구하면 \(j50\text{mS}=-j20\Omega\), \(40\text{mS}=25\Omega\)이므로 \(\displaystyle\mathbf{I}=\frac{-2}{(40-20)j+25}\text{A}\). 그러면 \(\mathbf{V}_{1}=-j20\mathbf{I}=0.780+j0.976\text{V}\).

이 회로에서 \(-j10\Omega\)임피던스에서 바라본 테브난 등가회로를 구하자.

위 회로에서 왼쪽 회로는 테브난 등가전압을 구하기 위한 회로이고, 오른쪽 회로는 테브난 등가 임피던스를 구하기 위한 회로이다.

\(\mathbf{V}_{oc}=(1\angle0^{\circ})(4-j2)-0.5\angle-90^{\circ}(2+j4)=6-j3\text{V}\), \(\mathbf{Z}_{th}=(4-j2)+(2+j4)=6+j2\Omega\).

\(-j10\Omega\)임피던스에 흐르는 전류를 구하면 \(\displaystyle\mathbf{I}=\frac{\mathbf{V}_{th}}{\mathbf{Z}_{th}+(-j10)}=\frac{6-j3}{(6+j2)-j10}=0.6+j0.3\text{A}\)

(원래의 회로에서 \(-j10\Omega\)에 흐르는 전류를 직접 구해도 \(\mathbf{I}=0.6+j0.3\text{A}\)이다.)

그러면 \(\mathbf{I}_{1}=1-(0.6+j0.3)=0.4-j0.3\text{A}\), \(\mathbf{V}_{1}=(0.4-0.3j)(4-j2)=1-j2\text{V}\).

위 회로에서 \(10\Omega\)저항에 흐르는 전류를 구하려고 한다. 먼저 \(2\angle0^{\circ}\text{A}\)전류원만 작동할 때

\(\displaystyle\mathbf{I}'=(2\angle0^{\circ})\frac{-j0.4}{(10-j)-j0.4}=79.23\angle-82.03^{\circ}\text{mA}\), \(i'(t)=79.23\cos(5t-82.03^{\circ})\text{mA}\)

그 다음으로 \(5\angle0^{\circ}\)전류원만 작동할 때

\(\displaystyle\mathbf{I}''=(5\angle0^{\circ})\frac{-j1.667}{(10-j0.6667)-j1.667}=811.7\angle-76.86^{\circ}\text{mA}\), \(i''(t)=811.7\cos(3t-76.86)\)

\(i(t)=i'(t)+i''(t)=79.23\cos(5t-82.03^{\circ})+811.7\cos(3t-76.86^{\circ})\text{mA}\).

어떤 회로의 페이저전압과 페이저전류의 관계를 복소평면에 그린 것을 페이저 다이어그램이라고 한다. 다음의 두 그림에서 오른쪽의 페이저 다이어그램은 왼쪽 회로의 페이저전압과 페이저전류의 관계를 복소평면에 나타낸 것이다.

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill