15. 정현파

15. 정현파

사인(Sine) 그래프형 파형을 정현(Sine)파 라고 한다.

왼쪽 위의 그래프는 \(v(t)=V_{m}\sin\omega t\)의 그래프이다.

\(V_{m}\): 정현파의 진폭

\(\omega\): 라디안 주파수(각주파수)

\(\sin t\)의 주기는 \(2\pi\)이다. \(V_{m}\sin\omega t\)의 주기를 \(T\)라 하면 \(\omega T=2\pi\)가 성립한다. 주기가 \(T\)인 정현파의 주파수는 \(\displaystyle f\left(=\frac{1}{T}\right)\)이므로 \(\omega=2\pi f\)이다. 

일반적으로 정현파는 \(v(t)=V_{m}\sin(\omega t+\theta)\)로 나타난다. 여기서 \(\theta\)는 위상각을 나타낸다. \(V_{m}\sin(\omega t+\theta)\)는 \(V_{m}\sin\omega t\)보다 \(\theta\)만큼 앞서있다고 한다.

반대로 \(V_{m}\sin\omega t\)는 \(V_{m}\sin(\omega t+\theta)\)보다 \(\theta\)만큼 뒤쳐져 있다고 한다.

앞서거나 뒤쳐진 것을 이상(out-of-phase), 같은 위상각을 동상(in-phase)이라고 한다.

\(\sin(\omega t\pm180^{\circ})=-\sin\omega t\), \(\cos(\omega t\pm180^{\circ})=-\cos\omega t\) \(\cos(\omega t\pm90^{\circ})=\mp\sin\omega t\), \(\sin(\omega t\pm90^{\circ})=\pm\cos\omega t\)

각각의 위상을 비교하고자 하는 두개의 정현파는

1. 두개의 파형은 모두 사인파형 또는 코사인파형이어야 한다.

2. 두개의 파형 모두 반드시 양의 진폭을 가져야 한다.

3. 각각은 반드시 같은 주파수(\(\omega\))를 가져야 한다.

KVL로부터 \(\displaystyle L\frac{di}{dt}+Ri=V_{m}\cos\omega t\)이다. \(\displaystyle\frac{di}{dt}=0\)인 순간에는 \(i\propto\cos\omega t(i\propto\sin\omega t)\)이어야 하므로 강제응답의 형태는 \(i(t)=I_{1}\cos\omega t+I_{2}\sin\omega t\)이다. 이 \(i(t)\)를 미분방정식 \(\displaystyle L\frac{di}{dt}+Ri=V_{m}\cos\omega t\)에 대입하면 \(\displaystyle I_{1}=\frac{RV_{m}}{R^{2}+(\omega L)^{2}}\), \(\displaystyle I_{2}=\frac{\omega L}{R^{2}+(\omega L)^{2}}\)이다. \(\displaystyle\tan\theta=\frac{I_{2}}{I_{1}}\)라고 하면 \(\displaystyle\tan\theta=\frac{I_{2}}{I_{1}}=\frac{\omega L}{R}\)이므로 \(\displaystyle i(t)=I_{1}\cos\omega t+I_{2}\sin\omega t=\frac{V_{m}}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}\cos\left(\omega t-\tan^{-1}\frac{\omega L}{R}\right)\)이다.

※인덕터 회로에서 전압이 전류보다 앞서고, 커패시터 회로에서 전류가 전압에 앞선다.

(ELI the ICE man이라는 문구가 있는데 L은 인덕터, C는 커패시터, E는 전압, I는 전류를 뜻한다. 이 문구는 앞에서 언급했던 "인덕터 회로에서 전압이 전류보다 앞서고, 커패시터 회로에서 전류가 전압에 앞선다"를 간단한 영어문구로 나타낸 것이다.)

이 회로에서 전류 \(i_{L}\)의 값을 구하기 위해 인덕터에서 바라본 테브난 등가회로를 구하자. 위의 오른쪽 회로는 테브난 등가회로를 구하기 위한 회로이고 두 저항은 병렬로 연결되어있다. 그러면$$R_{TH}=\frac{25\times100}{25+100}=20\Omega,\,V_{TH}=\frac{100}{25+100}10\cos10^{3}t=8\cos10^{3}t\text{V}$$

 

\(L=30\text{mH}\), \(R_{TH}=20\Omega\), \(V_{m}=8\text{V}\), \(\omega=10^{3}\text{Hz}\)이므로 \(i_{L}(t)=222\cos(10^{3}t-56.3^{\circ})\text{mA}\)이다.

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill