16. 복소구동함수와 페이저
오일러공식: ejθ=cosθ+jsinθ
중첩의 원리로부터 추가되는 허수전원은 오직 허수응답만, 실수전원은 오직 실수응답만 되게 한다.
정현구동함수 Vmcos(ωt+θ)를 인가하면 정현파 정상상태응답 Imcosθ를 얻는다.
정현구동함수를 인가하면 항상 선형회로에서 같은 주파수의 정현강제응답을 얻는다.
허수응답을 나타내는 허수전원(선형회로)
실수응답과 허수응답을 합치면 오일러공식으로부터 복소강제응답을 얻는다.
Vmcosωt는 Vmejωt의 실수부이다. 따라서 필요한 복소전원은 Vmejωt이고 이때의 복소응답은 Imej(ωt+ϕ)이다. 왼쪽 회로에 대한 미분방정식은 Ldidt+Ri=vs이다. 이 미분방정식에 i(t)=Imej(ωt+ϕ), vs(t)=Vmejωt를 대입하면 RImej(ωt+ϕ)+jωLImej(ωt+ϕ)=Vmejωt이고 Imejϕ=Vm√R2+(ωL)2e−jtan−1ωLR.
따라서 Im=Vm√R2+(ωL)2, ϕ=−tan−1ωLR이고 i(t)=Vm√R2+(ωL)2cos(ωt−tan−1ωLR).
3cos5t=Re{3ej5t}이다. 복소 커패시터 전압을 vC2라고 하면 vC2=Vmej5t이고 −3ej5t+2dvC2dt+vC2=0이므로 Vm=31+j10=3√12+102e−jtan−1110
따라서 vC=Re{vC2}=29.85cos(5t−84.3∘)V이다.
전원전압 v(t)=Vmcos(ωt+θ)와 전류응답 i(t)=Imcos(ωt+ϕ)를 각각 Vm∠θ, Im∠ϕ로 나타내는데 이러한 표현을 페이저라고 한다. I=Im∠ϕ, V=Vm∠θ로 나타낸다. i(t)를 시간영역표현, I를 주파수영역표현으로 사용한다.(참고: 주파수는 회로를 통해 이동할 때 변하지 않는다.)
v(t)=Vmej(ωt+θ), i(t)=Imej(ωt+ϕ)일 때
■저항
시간영역에서 v(t)=Ri(t)이므로 Vmejθ=RImejϕ이고 Vm∠θ=RIm∠ϕ. 따라서 주파수영역에서 V=RI이다.
■인덕터
시간영역에서 v(t)=Ldi(t)dt. Vmej(ωt+θ)=Lddtej(ωt+ϕ)=jωLej(ωt+ϕ). Vm∠θ=jωLIm∠ϕ이고 따라서 주파수영역에서 V=jωLI이다.
■커패시터
시간영역에서 i(t)=Cdv(t)dt. Imej(ωt+ϕ)=jωCej(ωt+ϕ)이므로 Im∠ϕ=jωCVm∠θ이고 따라서 주파수영역에서 I=jωCV이다.
시간영역 |
주파수영역 |
||
v=Ri |
|
V=RI |
|
v=Ldidt |
|
V=jωLI |
|
v=1C∫idt |
I=jωCV |
페이저를 사용한 키르히호프 법칙
KCL: i1(t)+⋯+in(t)=0⇒I1+⋯+In=0
KVL: v1(t)+⋯+vn(t)=0⇒V1+⋯+Vn=0
왼쪽에 t가 포함된 식은 시간영역이고 오른쪽에 굵은 글씨로 적힌 식은 주파수영역이다.
왼쪽 회로에 흐르는 전류 I를 주파수영역에서 구하자. KVL로부터 Vs=VR+VL이고 VR=RI, VL=jωLI이므로 Vs=RI+jωLI=(R+jωL)I이고 I=VsR+jωL
참고자료:
Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill
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