16. 복소구동함수와 페이저

16. 복소구동함수와 페이저

오일러공식: \(e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta\)

중첩의 원리로부터 추가되는 허수전원은 오직 허수응답만, 실수전원은 오직 실수응답만 되게 한다.

정현구동함수 \(V_{m}\cos(\omega t+\theta)\)를 인가하면 정현파 정상상태응답 \(I_{m}\cos\theta\)를 얻는다.

정현구동함수를 인가하면 항상 선형회로에서 같은 주파수의 정현강제응답을 얻는다.

허수응답을 나타내는 허수전원(선형회로)

실수응답과 허수응답을 합치면 오일러공식으로부터 복소강제응답을 얻는다.

\(V_{m}\cos\omega t\)는 \(V_{m}e^{j\omega t}\)의 실수부이다. 따라서 필요한 복소전원은 \(V_{m}e^{j\omega t}\)이고 이때의 복소응답은 \(I_{m}e^{j(\omega t+\phi)}\)이다. 왼쪽 회로에 대한 미분방정식은 \(\displaystyle L\frac{di}{dt}+Ri=v_{s}\)이다. 이 미분방정식에 \(i(t)=I_{m}e^{j(\omega t+\phi)}\), \(v_{s}(t)=V_{m}e^{j\omega t}\)를 대입하면 \(RI_{m}e^{j(\omega t+\phi)}+j\omega LI_{m}e^{j(\omega t+\phi)}=V_{m}e^{j\omega t}\)이고 \(\displaystyle I_{m}e^{j\phi}=\frac{V_{m}}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}e^{-j\tan^{-1}\frac{\omega L}{R}}\).

따라서 \(\displaystyle I_{m}=\frac{V_{m}}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}\), \(\displaystyle\phi=-\tan^{-1}\frac{\omega L}{R}\)이고 \(\displaystyle i(t)=\frac{V_{m}}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}\cos\left(\omega t-\tan^{-1}\frac{\omega L}{R}\right)\).

\(3\cos5t=\text{Re}\{3e^{j5t}\}\)이다. 복소 커패시터 전압을 \(v_{C_{2}}\)라고 하면 \(v_{C_{2}}=V_{m}e^{j5t}\)이고 \(\displaystyle-3e^{j5t}+2\frac{dv_{C_{2}}}{dt}+v_{C_{2}}=0\)이므로 \(\displaystyle V_{m}=\frac{3}{1+j10}=\frac{3}{\sqrt{1^{2}+10^{2}}}e^{-j\tan^{-1}\frac{1}{10}}\)

따라서 \(v_{C}=\text{Re}\{v_{C_{2}}\}=29.85\cos(5t-84.3^{\circ})\text{V}\)이다.

전원전압 \(v(t)=V_{m}\cos(\omega t+\theta)\)와 전류응답 \(i(t)=I_{m}\cos(\omega t+\phi)\)를 각각 \(V_{m}\angle\theta\), \(I_{m}\angle\phi\)로 나타내는데 이러한 표현을 페이저라고 한다. \(\mathbf{I}=I_{m}\angle\phi\), \(\mathbf{V}=V_{m}\angle\theta\)로 나타낸다. \(i(t)\)를 시간영역표현, \(\mathbf{I}\)를 주파수영역표현으로 사용한다.(참고: 주파수는 회로를 통해 이동할 때 변하지 않는다.)

\(v(t)=V_{m}e^{j(\omega t+\theta)}\), \(i(t)=I_{m}e^{j(\omega t+\phi)}\)일 때

■저항

시간영역에서 \(v(t)=Ri(t)\)이므로 \(V_{m}e^{j\theta}=RI_{m}e^{j\phi}\)이고 \(V_{m}\angle\theta=RI_{m}\angle\phi\). 따라서 주파수영역에서 \(\mathbf{V}=R\mathbf{I}\)이다.

■인덕터

시간영역에서 \(\displaystyle v(t)=L\frac{di(t)}{dt}\). \(\displaystyle V_{m}e^{j(\omega t+\theta)}=L\frac{d}{dt}e^{j(\omega t+\phi)}=j\omega Le^{j(\omega t+\phi)}\). \(V_{m}\angle\theta=j\omega LI_{m}\angle\phi\)이고 따라서 주파수영역에서 \(\mathbf{V}=j\omega L\mathbf{I}\)이다.

■커패시터

시간영역에서 \(\displaystyle i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}\). \(I_{m}e^{j(\omega t+\phi)}=j\omega Ce^{j(\omega t+\phi)}\)이므로 \(I_{m}\angle\phi=j\omega CV_{m}\angle\theta\)이고 따라서 주파수영역에서 \(\mathbf{I}=j\omega C\mathbf{V}\)이다.

시간영역		주파수영역
	\(v=Ri\)		\(\mathbf{V}=R\mathbf{I}\)
	\(\displaystyle v=L\frac{di}{dt}\)		\(\mathbf{V}=j\omega L\mathbf{I}\)
	\(\displaystyle v=\frac{1}{C}\int{idt}\)		\(\mathbf{I}=j\omega C\mathbf{V}\)

페이저를 사용한 키르히호프 법칙

KCL: \(i_{1}(t)+\cdots+i_{n}(t)=0\,\Rightarrow\,\mathbf{I}_{1}+\cdots+\mathbf{I}_{n}=\mathbf{0}\)

KVL: \(v_{1}(t)+\cdots+v_{n}(t)=0\,\Rightarrow\,\mathbf{V}_{1}+\cdots+\mathbf{V}_{n}=\mathbf{0}\)

왼쪽에 \(t\)가 포함된 식은 시간영역이고 오른쪽에 굵은 글씨로 적힌 식은 주파수영역이다.

왼쪽 회로에 흐르는 전류 \(\mathbf{I}\)를 주파수영역에서 구하자. KVL로부터 \(\mathbf{V}_{s}=\mathbf{V}_{R}+\mathbf{V}_{L}\)이고 \(\mathbf{V}_{R}=R\mathbf{I}\), \(\mathbf{V}_{L}=j\omega L\mathbf{I}\)이므로 \(\mathbf{V}_{s}=R\mathbf{I}+j\omega L\mathbf{I}=(R+j\omega L)\mathbf{I}\)이고 \(\displaystyle\mathbf{I}=\frac{\mathbf{V}_{s}}{R+j\omega L}\)

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill