14. RLC회로의 완전응답

14. RLC회로의 완전응답

일반해를 구하는 절차 1. 초기조건을 결정한다. 2. 강제응답(\(t=\infty\))에 대한 수치적 해를 구한다. 3. 필요한 개수 만큼의 임의상수를 갖는 자연응답의 적절한 형태를 기술한다. 4. 완전응답을 구성하기 위해 강제응답과 자연응답을 더한다. 5. \(t=0\)에서 응답과 응답의 도함수를 계산하고 미지의 상수값을 구하기 위해 초기조건들을 이용한다.

2차 시스템의 완전응답=강제응답+자연응답 \(v(t)=v_{f}+(A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t})\)

\(v(0)=V_{f}+A_{1}+A_{2}\)이고 다머지는 응답의 도함수 \(\displaystyle\frac{dv}{dt}=0+A_{1}s_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}s_{2}e^{s_{2}t}\)를 구하고 \(t=0^{+}\)를 대입한다. 그러면 \(A_{1}\)과 \(A_{2}\)의 2개의 관계식이 얻어질 것이고 이 관계식을 연길하여 풀어서 \(A_{1}\)과 \(A_{2}\)를 구한다.

전원이 연결된 RLC회로의 풀이과정

1. 연결상태를 확인하고 직렬연결이면 \(\displaystyle\alpha=\frac{R}{2L}\), \(\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\), 병렬연결이면 \(\displaystyle\alpha=\frac{1}{2RC}\), \(\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)

2. \(\alpha\)와 \(\omega_{0}\)의 대소관계를 확인한다. \(s_{1}=-\alpha+\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}\), \(s_{2}=-\alpha-\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}\)일 때

\(\alpha>\omega_{0}\)이면 과도감쇠이고 자연응답은 \(f_{n}(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}\)

\(\alpha=\omega_{0}\)이면 임계감쇠이고 자연응답은 \(f_{n}(t)=e^{-\alpha t}(A_{1}t+A_{2})\)

\(\alpha<\omega_{0}\)이면 과소감쇠이고 자연응답은 \(f_{n}(t)=e^{-\alpha t}(A_{1}\cos\omega_{d}t+A_{2}\sin\omega_{d}t)\,(\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}})\)

3. 완전응답=자연응답+강제응답(독립전원) \((f(t)=f_{n}(t)+f_{f}(t))\).

4. 주어진 초기조건에서 미지의 상수를 구한다.

\(i_{s}=10u(-t)-20u(t)\)이다. \(t<0\)에서 \(i_{s}=10\text{A}\)이고 \(t>0\)에서 \(i_{s}=-20\text{A}\)

\(t<0\)에서 \(i_{L}(0^{-})=10\text{A}\), \(v_{C}(0^{-})=20i_{L}=200\text{V}\).

\(t>0\)에서 \(i_{L}(\infty)=-20\text{A}\), \(\displaystyle v_{L}(0^{+})=L\frac{di_{L}}{dt}_{t=0}=0\)

RLC의 연결상태만 보면 직렬연결이다. 그러면

\(\displaystyle\alpha=\frac{R}{2L}=10^{4}\), \(\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=10^{4}\)이므로 \(\alpha=\omega_{0}\)이고 임계감소. \(i_{L}(\infty)=-20\text{A}\)이므로

\(i_{L}(t)=e^{-10000t}(A_{1}t+A_{2})-20\)이고 \(i_{L}(0)=A_{2}-20=10\), \(A_{2}=30\).

또한 \(\displaystyle\frac{di_{L}}{dt}_{t=0^{+}}=0=A_{1}-10000A_{2}\)이므로 \(A_{1}=300000\), \(i_{L}(t)=e^{-10000t}(300000t+30)-20\text{A}\,(t>0)\)

옆의 회로는 초기조건이 \(\displaystyle i(0)=-\frac{1}{6}\text{A}\), \(v(0)=0\text{V}\)인 무전원 LC회로이다. 저항이 없기 때문에 \(\alpha=0\)이고 \(\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=3\)이다. 그러면 \(v(t)=A_{1}\cos3t+A_{2}\sin3t\)이고 초기조건이 \(\displaystyle i(0)=-\frac{1}{6}\text{A}\), \(v(0)=0\text{V}\)이므로 \(v(0)=A_{1}=0\). \(\displaystyle\frac{dv}{dt}_{t=0}=3A_{2}=-36i(0)=6\), \(A_{2}=2\). 그러면 \(v(t)=2\sin3t\text{V}\)이다.

왼쪽은 출력이 \(v(t)=2\sin3t\text{V}\)인 연산증폭기 회로이다.

KCL로부터 \(\displaystyle\frac{1}{4}\int_{t_{0}}^{t}{vd\tau}-\frac{1}{6}+\frac{1}{36}\frac{dv}{dt}=0\)이고 이 식을 \(t\)에 대해 미분하면 \(\displaystyle\frac{d^{2}v}{dt^{2}}+9v=0\)이다.

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill