11. 자연응답과 강제응답-RL, RC 구동회로

11. 자연응답과 강제응답-RL, RC 구동회로

■단위계단함수

전원 또는 구동전원이 없을 때의 RL, RC회로의 응답은 회로의 자연 고유한 성질에 의존해서 자연응답이라 한다. 양의 값에 대해서 1, 음의 값에 대해서 0을 값으로 갖는 함수를 단위계단함수라 하고 다음과 같이 정의한다.

\(\displaystyle u(t-t_{0})=\begin{cases}1,&\,t>t_{0}\\0,&\,t<0\end{cases}\)

물리적 전원 및 단위계단함수

직사각형 펄스 함수

\(P\)와 \(Q\)가 상수일 때, 미분방정식 \(\displaystyle\frac{di}{dt}+Pi=Q\)의 일반해는 \(\displaystyle i(t)=e^{-Pt}\int{Qe^{Pt}dt}+Ae^{-Pt}\)이고 여기서 \(A\)는 상수이다. 선형미분방정식의 해는 동차해와 비동차해의 합으로 나타나고 자연응답(전원이 없는 회로의 응답)의 경우 \(Q=0\)이므로 해는 \(i_{n}(t)=Ae^{-Pt}\)이다. 강제응답(전원이 있는 회로에서 오랜 시간 존재하는 응답)의 경우 구동함수 \(Q\)에 의해 결정되고 \(Q\)는 스위치를 닫은 이후의 모든 시간에 대해서 상수이다. 해는 \(\displaystyle i_{f}(t)=\frac{Q}{P}\)이고 완전응답(일반해)은 \(\displaystyle i(t)=\frac{Q}{P}+Ae^{-Pt}\)이다.

RL 구동회로

KVL로부터 \(\displaystyle L\frac{di}{dt}+Ri=V_{0}u(t)\)이고 \(t<0\)일 때 \(i(t)=0\)이고 \(t>0\)일 때 \(\displaystyle L\frac{di}{dt}+Ri=V_{0}\)이므로 \(\displaystyle i(t)=\frac{V_{0}}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)\)이다.

모든 시간에 대한 유효한 응답은 \(\displaystyle i(t)=\frac{V_{0}}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)u(t)\)이다. 이 식에는 상수항 \(\displaystyle\frac{V_{0}}{R}\)이 있다. 에너지가 소멸됨에 따라 자연응답은 0에 근접하나 전체응답이 0이 되어서는 안된다. 값을 \(\displaystyle\frac{V_{0}}{R}\)로 갖는 전류가 이 회로의 강제응답이다. 참고로 \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{i(t)}=\frac{V_{0}}{R}\)이므로 완전응답은 자연응답(무전원 회로의 특성)과 강제응답(구동함수, \(t=\infty\))을 합친 것이다.

다음의 절차를 따라 RL회로의 완전응답을 구한다.

1. 모든 독립전원을 제거한 다음 회로를 간략화해서 \(R_{eq}\)와 \(L_{eq}\)를 구하고 시상수 \(\displaystyle\tau=\frac{L_{eq}}{R_{eq}}\)를 구한다. 2. \(L_{eq}\)를 단락회로로 보고 직류회로 해석법을 이용하여 초기전류 \(i_{L}(0^{-})\)를 구한다. 3. 2와 같은 방법으로 강제응답 \(\displaystyle f(\infty)=\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{f(t)}\)를 구한다. 4. 완전응답을 자연응답과 강제응답의 합으로 나타낸다. \(\displaystyle\left(f(t)=f(\infty)+Ae^{-\frac{t}{\tau}}\right)\) 5. 조건 \(i_{L}(0^{+})\)을 이용하여 \(A\)를 구한다. \(A=f(0^{+})-f(\infty)\) 6. \(\displaystyle f(t)=f(\infty)+\left[f(0^{+})-f(\infty)\right]e^{-\frac{t}{\tau}}\) \(\displaystyle\left(완전응답=최종값+(초기값-최종값)e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\)

이 회로에서 \(i_{R}\)을 구하자. \(t<0\)일 때 스위치가 닫혀있고 직류회로이고 \(60\Omega\)저항으로는 전류가 흐르지 않는다. 그러면 \(i_{R}(0^{-})=0\)이다. 또한 \(t=\infty\)일때도 직류회로이고 인덕터는 단락상태이다. 따라서 \(\displaystyle i_{R}(\infty)=\frac{40\times60}{40+60}\times(10\text{mA})=6\text{mA}\)이고 또한 인덕터에 대한 테브난 등가저항을 구하면 \(R_{eq}=60+40=100\Omega\)이고 시상수는 \(\displaystyle\tau=\frac{L}{R_{eq}}=\frac{1}{1000}\)이다. \(t<0\)일 때 인덕터에 전류가 흐르지 않으므로 \(t=0^{+}\)일 때도 인덕터에 흐르는 전류는 0이다. 그러면 \(i_{R}(0^{+})=10\text{mA}\)이고 \(i_{R}(t)=\begin{cases}0&\,(t<0)\\4+6e^{-1000t}&\,(t>0)\end{cases}\text{mA}\)

RC 구동회로

RC회로도 RL회로와 비슷한 과정으로 완전응답을 자연응답과 강제응답의 합으로 구할 수 있다.

1. 모든 독립전원을 제거한 다음 회로를 간략화해서 \(R_{eq}\), \(C_{eq}\)를 구하고 시상수 \(\tau=R_{eq}C_{eq}\)를 구한다. 2. \(C_{eq}\)를 개방회로로 보고 직류회로 해석법을 이용하여 초기전압 \(v_{C}(0^{-})\)을 구한다. 3. \(C_{eq}\)를 개방회로로 보고 2와 같은 방법으로 강제응답 \(\displaystyle f(\infty)=\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{f(t)}\)를 구한다. 4. 완전응답을 자연응답과 강제응답의 합으로 나타낸다. \(\displaystyle\left(f(t)=f(\infty)+Ae^{-\frac{t}{\tau}}\right)\) 5. 조건 \(v_{C}(0^{+})\)을 이용하여 \(A\)를 구한다. \(A=f(0^{+})-f(\infty)\) 6. \(\displaystyle f(t)=f(\infty)+\left[f(0^{+})-f(\infty)\right]e^{-\frac{t}{\tau}}\). \(\displaystyle\left(완전응답=최종값+(초기값-최종값)e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\)

이 회로에서 모든 시간에 대한 커패시터 전압 \(v_{C}(t)\)를 구하자.

 

\(t<0\)일 때 \(\displaystyle v_{C}(0^{-})=\frac{25}{100+25}\times100=20\text{V}\)이고 \(v_{C}(0^{-})=v_{C}(0^{+})=20\text{V}\), \(\displaystyle\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{25\text{k}\Omega}+\frac{1}{100\text{k}\Omega}=\frac{1}{20\text{k}\Omega}\)이므로 \(R_{eq}=20\text{k}\Omega\), \(\displaystyle v_{C}(\infty)=\frac{25}{100+25}\times90+10=18+10=28\text{V}\), 시상수 \(\displaystyle\tau=R_{eq}C=\frac{1}{10}\). 따라서 \(v_{C}(t)=(28-20)(1-e^{10t})u(t)+20=8(1-e^{-10t})+20\text{V}\).

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill