10. 일반적인 RL, RC회로의 해석
일반적인 해석방법
RL, RC 회로에서 오직 한 개의 에너지 저장소자만이 존재하는 경우, 하나의 시상수(τ=LReq또는 τ=ReqC)를 구한다. 방법을 커패시터 또는 인덕터에서 바라본 테브난 등가회로를 구한다.
■ 일반적인 RL회로
위 회로에서 인덕터에서 바라본 테브난 등가저항을 구하면 Req=R3+R4+R1R2R1+R2이고 따라서 시상수는 τ=LReq이다. 몇개의 인덕터가 회로 내부에 존재하고 직렬, 병렬조합이 가능한 경우, 시상수는 τ=LeqReq이다. 여기서 Leq는 등가 인덕턴스이다. 위의 회로에서 iL(0)≠0이 되도록 유한한 에너지가 인덕터에 저장되어 있다고 가정하자. 여기서 인덕터전류 iL은 iL(t)=I0e−tτ이고 τ는 시상수이다.
저항 R1과 R2에 흐르는 전류는 t=0시점에서 동시에 변할 수 있다. 0−(t=0이전)와 0+(t=0이후)로 나누어서 해석한다. i1(0+)=limt→0+i1(t), i1(0−)=limt→0−i1(t)라고 생각한다. 이 회로에서 i1(0+)R1=i2(0+)R2이므로 i2(0+)=R1R2i1(0+)이고 iL(0+)=−[i1(0+)+i2(0+)]=−R1+R2R2i1(0+), i2(t)=i1(0+)R1R2e−tτ.
이 회로에서 t>0일 때의 i1과 iL을 구하자. t=0이후에 스위치가 열린다.
t<0일 때 직류전원만 있기 때문에 인덕터는 단락회로와 같다. 그러면 i1(0−)=1890=0.2A, iL(0−)=1850=0.36A이다.
왼쪽의 회로는 t>0일 때의 회로이다.
Leq=(1+2×32+3)=2.2mH
Req=90×(120+60)90+(120+60)+50=60+50=110Ω
시상수 τ=LeqReq=20μs, i1(0+)=−120+60(120+60)+90iL(0+)=180270×(0.36)=−240mA
t>0일 때, iL(t)=360e−50000tmA, i1(t)=−240e−50000tmA.
■ 일반적인 RC회로.
전압에 대해서 0+와 0−를 구별한다. 하나의 커패시터에 여러개의 저항으로 구성된 회로의 시상수는 τ=ReqC이고 여러개의 저항과 여러개의 커패시터로 구성된 회로의 시상수는 τ=ReqCeq이다.
이 회로의 커패시터에 걸리는 전압 vC를 구하자. 이 회로에서 커패시터에 1A의 시험전원을 연결하여 테브난 등가저항을 구하면 RTH=−60Ω이다.
그러면 시상수는 τ=ReqC=−60μs이고 vC(0−)=vC(0+)=2V이므로 vC(t)=2et60×106V이고 테브난 등가저항의 값이 음의 값이므로 시간에 따라 급격히 증가하게 되어 불안정하고 결국 회로에 한개 이상의 소자가 파괴될 것이다.
대안으로 KCL을 적용하면 i1=1.5i1−10−6dvCdt이고 vC=30(1.5i1−10−6dvCdt), i1=vC30이므로 dvCdt−160×10−6vC=0. 또한 vC(0−)=vC(0+)=2V이므로 vC=2et60×106V이다.
참고자료:
Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill
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