10. 일반적인 RL, RC회로의 해석

10. 일반적인 RL, RC회로의 해석

일반적인 해석방법

RL, RC 회로에서 오직 한 개의 에너지 저장소자만이 존재하는 경우, 하나의 시상수(\(\displaystyle\tau=\frac{L}{R_{eq}}\)또는 \(\tau=R_{eq}C\))를 구한다. 방법을 커패시터 또는 인덕터에서 바라본 테브난 등가회로를 구한다.

■ 일반적인 RL회로

위 회로에서 인덕터에서 바라본 테브난 등가저항을 구하면 \(\displaystyle R_{eq}=R_{3}+R_{4}+\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\)이고 따라서 시상수는 \(\displaystyle\tau=\frac{L}{R_{eq}}\)이다. 몇개의 인덕터가 회로 내부에 존재하고 직렬, 병렬조합이 가능한 경우, 시상수는 \(\displaystyle\tau=\frac{L_{eq}}{R_{eq}}\)이다. 여기서 \(L_{eq}\)는 등가 인덕턴스이다. 위의 회로에서 \(i_{L}(0)\neq0\)이 되도록 유한한 에너지가 인덕터에 저장되어 있다고 가정하자. 여기서 인덕터전류 \(i_{L}\)은 \(\displaystyle i_{L}(t)=I_{0}e^{-\frac{t}{\tau}}\)이고 \(\tau\)는 시상수이다.

저항 \(R_{1}\)과 \(R_{2}\)에 흐르는 전류는 \(t=0\)시점에서 동시에 변할 수 있다. \(0^{-}\)(\(t=0\)이전)와 \(0^{+}\)(\(t=0\)이후)로 나누어서 해석한다. \(\displaystyle i_{1}(0^{+})=\lim_{t\,\rightarrow\,0^{+}}{i_{1}(t)}\), \(\displaystyle i_{1}(0^{-})=\lim_{t\,\rightarrow\,0^{-}}{i_{1}(t)}\)라고 생각한다. 이 회로에서 \(i_{1}(0^{+})R_{1}=i_{2}(0^{+})R_{2}\)이므로 \(\displaystyle i_{2}(0^{+})=\frac{R_{1}}{R_{2}}i_{1}(0^{+})\)이고 \(\displaystyle i_{L}(0^{+})=-[i_{1}(0^{+})+i_{2}(0^{+})]=-\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{2}}i_{1}(0^{+})\), \(\displaystyle i_{2}(t)=i_{1}(0^{+})\frac{R_{1}}{R_{2}}e^{-\frac{t}{\tau}}\).

이 회로에서 \(t>0\)일 때의 \(i_{1}\)과 \(i_{L}\)을 구하자. \(t=0\)이후에 스위치가 열린다.

\(t<0\)일 때 직류전원만 있기 때문에 인덕터는 단락회로와 같다. 그러면 \(\displaystyle i_{1}(0^{-})=\frac{18}{90}=0.2\text{A}\), \(\displaystyle i_{L}(0^{-})=\frac{18}{50}=0.36\text{A}\)이다.

왼쪽의 회로는 \(t>0\)일 때의 회로이다.

\(\displaystyle L_{eq}=\left(1+\frac{2\times3}{2+3}\right)=2.2\text{mH}\)

\(\displaystyle R_{eq}=\frac{90\times(120+60)}{90+(120+60)}+50=60+50=110\Omega\)

시상수 \(\displaystyle\tau=\frac{L_{eq}}{R_{eq}}=20\mu\text{s}\), \(\displaystyle i_{1}(0^{+})=-\frac{120+60}{(120+60)+90}i_{L}(0^{+})=\frac{180}{270}\times(0.36)=-240\text{mA}\)

\(t>0\)일 때, \(i_{L}(t)=360e^{-50000t}\text{mA}\), \(i_{1}(t)=-240e^{-50000t}\text{mA}\).

■ 일반적인 RC회로.

전압에 대해서 \(0^{+}\)와 \(0^{-}\)를 구별한다. 하나의 커패시터에 여러개의 저항으로 구성된 회로의 시상수는 \(\tau=R_{eq}C\)이고 여러개의 저항과 여러개의 커패시터로 구성된 회로의 시상수는 \(\tau=R_{eq}C_{eq}\)이다.

이 회로의 커패시터에 걸리는 전압 \(v_{C}\)를 구하자. 이 회로에서 커패시터에 \(1\text{A}\)의 시험전원을 연결하여 테브난 등가저항을 구하면 \(R_{TH}=-60\Omega\)이다.

그러면 시상수는 \(\tau=R_{eq}C=-60\mu\text{s}\)이고 \(v_{C}(0^{-})=v_{C}(0^{+})=2\text{V}\)이므로 \(\displaystyle v_{C}(t)=2e^{\frac{t}{60\times10^{6}}}\text{V}\)이고 테브난 등가저항의 값이 음의 값이므로 시간에 따라 급격히 증가하게 되어 불안정하고 결국 회로에 한개 이상의 소자가 파괴될 것이다.

대안으로 KCL을 적용하면 \(\displaystyle i_{1}=1.5i_{1}-10^{-6}\frac{dv_{C}}{dt}\)이고 \(\displaystyle v_{C}=30\left(1.5i_{1}-10^{-6}\frac{dv_{C}}{dt}\right)\), \(\displaystyle i_{1}=\frac{v_{C}}{30}\)이므로 \(\displaystyle\frac{dv_{C}}{dt}-\frac{1}{60\times10^{-6}}v_{C}=0\). 또한 \(v_{C}(0^{-})=v_{C}(0^{+})=2\text{V}\)이므로 \(\displaystyle v_{C}=2e^{\frac{t}{60\times10^{6}}}\text{V}\)이다.

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill