10. 일반적인 RL, RC회로의 해석

10. 일반적인 RL, RC회로의 해석

일반적인 해석방법

RL, RC 회로에서 오직 한 개의 에너지 저장소자만이 존재하는 경우, 하나의 시상수($\displaystyle\tau=\frac{L}{R_{eq}}$또는 $\tau=R_{eq}C$)를 구한다. 방법을 커패시터 또는 인덕터에서 바라본 테브난 등가회로를 구한다.

■ 일반적인 RL회로

위 회로에서 인덕터에서 바라본 테브난 등가저항을 구하면 $\displaystyle R_{eq}=R_{3}+R_{4}+\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$이고 따라서 시상수는 $\displaystyle\tau=\frac{L}{R_{eq}}$이다. 몇개의 인덕터가 회로 내부에 존재하고 직렬, 병렬조합이 가능한 경우, 시상수는 $\displaystyle\tau=\frac{L_{eq}}{R_{eq}}$이다. 여기서 $L_{eq}$는 등가 인덕턴스이다. 위의 회로에서 $i_{L}(0)\neq0$이 되도록 유한한 에너지가 인덕터에 저장되어 있다고 가정하자. 여기서 인덕터전류 $i_{L}$은 $\displaystyle i_{L}(t)=I_{0}e^{-\frac{t}{\tau}}$이고 $\tau$는 시상수이다.

저항 $R_{1}$과 $R_{2}$에 흐르는 전류는 $t=0$시점에서 동시에 변할 수 있다. $0^{-}$($t=0$이전)와 $0^{+}$($t=0$이후)로 나누어서 해석한다. $\displaystyle i_{1}(0^{+})=\lim_{t\,\rightarrow\,0^{+}}{i_{1}(t)}$, $\displaystyle i_{1}(0^{-})=\lim_{t\,\rightarrow\,0^{-}}{i_{1}(t)}$라고 생각한다. 이 회로에서 $i_{1}(0^{+})R_{1}=i_{2}(0^{+})R_{2}$이므로 $\displaystyle i_{2}(0^{+})=\frac{R_{1}}{R_{2}}i_{1}(0^{+})$이고 $\displaystyle i_{L}(0^{+})=-[i_{1}(0^{+})+i_{2}(0^{+})]=-\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{2}}i_{1}(0^{+})$, $\displaystyle i_{2}(t)=i_{1}(0^{+})\frac{R_{1}}{R_{2}}e^{-\frac{t}{\tau}}$.

이 회로에서 $t>0$일 때의 $i_{1}$과 $i_{L}$을 구하자. $t=0$이후에 스위치가 열린다.

$t<0$일 때 직류전원만 있기 때문에 인덕터는 단락회로와 같다. 그러면 $\displaystyle i_{1}(0^{-})=\frac{18}{90}=0.2\text{A}$, $\displaystyle i_{L}(0^{-})=\frac{18}{50}=0.36\text{A}$이다.

왼쪽의 회로는 $t>0$일 때의 회로이다.

$\displaystyle L_{eq}=\left(1+\frac{2\times3}{2+3}\right)=2.2\text{mH}$

$\displaystyle R_{eq}=\frac{90\times(120+60)}{90+(120+60)}+50=60+50=110\Omega$

시상수 $\displaystyle\tau=\frac{L_{eq}}{R_{eq}}=20\mu\text{s}$, $\displaystyle i_{1}(0^{+})=-\frac{120+60}{(120+60)+90}i_{L}(0^{+})=\frac{180}{270}\times(0.36)=-240\text{mA}$

$t>0$일 때, $i_{L}(t)=360e^{-50000t}\text{mA}$, $i_{1}(t)=-240e^{-50000t}\text{mA}$.

■ 일반적인 RC회로.

전압에 대해서 $0^{+}$와 $0^{-}$를 구별한다. 하나의 커패시터에 여러개의 저항으로 구성된 회로의 시상수는 $\tau=R_{eq}C$이고 여러개의 저항과 여러개의 커패시터로 구성된 회로의 시상수는 $\tau=R_{eq}C_{eq}$이다.

이 회로의 커패시터에 걸리는 전압 $v_{C}$를 구하자. 이 회로에서 커패시터에 $1\text{A}$의 시험전원을 연결하여 테브난 등가저항을 구하면 $R_{TH}=-60\Omega$이다.

그러면 시상수는 $\tau=R_{eq}C=-60\mu\text{s}$이고 $v_{C}(0^{-})=v_{C}(0^{+})=2\text{V}$이므로 $\displaystyle v_{C}(t)=2e^{\frac{t}{60\times10^{6}}}\text{V}$이고 테브난 등가저항의 값이 음의 값이므로 시간에 따라 급격히 증가하게 되어 불안정하고 결국 회로에 한개 이상의 소자가 파괴될 것이다.

대안으로 KCL을 적용하면 $\displaystyle i_{1}=1.5i_{1}-10^{-6}\frac{dv_{C}}{dt}$이고 $\displaystyle v_{C}=30\left(1.5i_{1}-10^{-6}\frac{dv_{C}}{dt}\right)$, $\displaystyle i_{1}=\frac{v_{C}}{30}$이므로 $\displaystyle\frac{dv_{C}}{dt}-\frac{1}{60\times10^{-6}}v_{C}=0$. 또한 $v_{C}(0^{-})=v_{C}(0^{+})=2\text{V}$이므로 $\displaystyle v_{C}=2e^{\frac{t}{60\times10^{6}}}\text{V}$이다.

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill