9. 무전원 RL, RC회로

9. 무전원 RL, RC회로

*인덕터, 커패시터를 포함한 회로의 해석은 미분방정식의 기초적인 지식(1계 미분방정식)을 필요로 한다.

미분방정식: 일차해=동차해+비동차해               ↕      ↕        ↕ 회로해석: 완전응답=과도응답+강제응답 (과도응답: 시간이 지나면서 소멸, 강제응답: 독립전원)

이 회로에서 시간 \(t\geq0\)일 때 \(40\Omega\) 저항에 걸리는 전압을 구하자.

1. 문제의 목적확인

문제의 목적: 시간 \(t\geq0\)일 때 \(40\Omega\) 저항에 걸리는 전압을 구해야 한다. ((b)회로에서)

2. 알고있는 정보수집

(a)회로의 과도상태는 소멸되었다. (a)회로를 이용하여 \(i_{L}(0)\)을 구한다.

3. 계획

(b)회로는 KVL(키르히호프 전압법칙)로 해석한다. \(v\)와 \(t\)만을 변수로 하는 미분방정식을 구하여 \(v(t)\)에 대해 푼다.

4. 방정식에 대한 적당한 형태 구성

(b)회로에서 KVL을 적용하면 \(\displaystyle v-10i_{L}-5\frac{di_{L}}{dt}=0\). 이때 \(v=-40i_{L}\)이므로 \(\displaystyle i_{L}=-\frac{v}{40}\)이고 \(\displaystyle v+\frac{1}{4}v+\frac{1}{8}\frac{dv}{dt}=0\). 따라서 \(\displaystyle\frac{dv}{dt}+10v=0\)을 얻는다.

5. 추가정보가 필요한지 결정

스위치가 열리는 순간 저항에 걸리는 전압은 변할 수 있고 인덕터에 흐르는 전류는 변하지 않는다.

(a)회로에서 인덕터는 직류전류에 대해 단락회로로 동작한다. 따라서 \(\displaystyle i_{L}(0)=\frac{24\text{V}}{10\Omega}=2.4\text{A}\), \(v(0)=(40\Omega)\times(-2.4\text{A})=-9.6\text{V}\)

6. 해답을 구한다.

\(v(0)=-9.6\text{V}\), \(\displaystyle\frac{dv}{dt}+10v=0\)의 해는 \(v(t)=-96e^{-10t}\text{V}\,(t>0)\).

7. 해를 검증한다.

\(v\)대신 \(i_{L}\)을 이용하여 미분방정식을 구하면 \(\displaystyle40i_{L}+10i_{L}+5\frac{di_{L}}{dt}=0\)이고 \(\displaystyle\frac{di_{L}}{dt}+10i_{L}=0\), \(i_{L}(0)=2.4\text{A}\)이므로 \(i_{L}(t)=2.4e^{-10t}\text{A}\), \(v(t)=-40i_{L}=-96e^{-10t}\text{V}\)

에너지 계산

\(i(0)=I_{0}\)일 때 이 무전원 RL회로에 KVL을 적용하여 식 \(\displaystyle v_{L}+v_{R}=L\frac{di}{dt}+Ri=0\)을 얻는다. 따라서 이 회로에 흐르는 전류는 \(\displaystyle i(t)=I_{0}e^{-\frac{R}{L}t}\text{A}\)이다. 이때 저항에서 소비되는 전력은 \(\displaystyle p_{R}(t)=i^{2}R=I_{0}^{2}Re^{-\frac{2R}{L}t}\)이고 열로 전환된 총 에너지는 \(\displaystyle W_{R}=\int_{0}^{\infty}{p_{R}(t)dt}=\frac{1}{2}LI_{0}^{2}\)이다.

초기 전류값이 \(i(0)=I_{0}\)인 무전원 RL회로에 흐르는 전류는 \(\displaystyle i(t)=I_{0}e^{-\frac{R}{L}t}\)이고 \(\displaystyle t(\infty)=\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{i(t)}=0\)이다. \(\displaystyle\frac{R}{L}\)값이 변하지 않으면 (전압, 전류) 그래프의 곡선모양이 변하지 않는다.

초기 변화율과 동일한 일정비율로 전류가 감소해서 0이 될때까지의 시간 \(\tau\)를 구하면, 초기 감소비율이 \(\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\frac{i(t)}{I_{0}}\right)_{t=0}=-\frac{R}{L}\)이고 왼쪽 그래프를 보면 \(\displaystyle\frac{1}{\tau}=\frac{R}{L}\)이 성립함을 알 수 있다. 따라서 \(\displaystyle\tau=\frac{L}{R}\)이고 이 값을 시상수라고 하며 단위는 초(sec)이다. 오른쪽 그래프를 보면 \(\displaystyle\frac{i(\tau)}{I_{0}}=0.37\)이고 \(\displaystyle\frac{i(5\tau)}{I_{0}}\approx0\)이다.

전원이 없는 RC회로

\(v(0)=V_{0}\)일 때, 이 무전원 RC회로에 KCL을 적용하여 식 \(\displaystyle i_{C}+i_{R}=C\frac{dv}{dt}+\frac{v}{R}=0\)을 얻는다. 따라서 이 회로에 걸리는 전압은 \(\displaystyle v(t)=V_{0}e^{-\frac{t}{RC}}\text{V}\)이고 \(\displaystyle v(\infty)=\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{v(t)}=0\)이다. 또한 \(\displaystyle\frac{1}{RC}\)값이 변하지 않는 이상 (전류, 전압) 그래프의 모양이 변하지 않는다. RL회로에서 했듯이 RC회로의 시상수를 구하면 \(\tau=RC\)이고 단위는 마찬가지로 초(sec)이다. 저항에 의해 열로 전환된 총 에너지는 RL회로와 같은 방법으로 구할 수 있고 구하면 \(\displaystyle W_{R}=\frac{1}{2}CV_{0}^{2}\)이다.

 

이 회로에서 \(t\geq0\)일 때 커패시터에 걸리는 전압을 구하자.

(a)회로에서 커패시터는 직류전원에 대해 개방회로로 동작하므로 \(v(0)=V_{0}=9\text{V}\)이다. (b)회로에서는 미분방정식 \(\displaystyle10\times10^{-6}\frac{dv}{dt}+\frac{1}{2+4}v=0\)을 얻고 \(\displaystyle\frac{dv}{dt}+\frac{1}{6\times10^{5}}v=0\). 시상수는 \(\tau=60\times10^{-6}\)이고 따라서 \(\displaystyle v(t)=9e^{-\frac{t}{6\times10^{-6}}}\text{V}\)이다.

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill