6. 최대전력전달, Δ-Y(델타-와이) 변환

6. 최대전력전달, Δ-Y(델타-와이) 변환

최대전력전달

부하 \(R_{L}\)에 전달되는 전력은 \(\displaystyle P_{L}=i_{L}^{2}R_{L}=\frac{v_{s}^{2}R_{L}}{(R_{s}+R_{L})^{2}}\,\left(i_{L}=\frac{v_{s}}{R_{s}+R_{L}}\right)\)이고 주어진 실제전원으로부터 최대전력을 공급받을 수 있는 \(R_{L}\)을 구하기 위해 \(P_{L}\)을 \(R_{L}\)에 대해 미분하면 \(\displaystyle\frac{dP_{L}}{dR_{L}}=\frac{(R_{s}+R_{L})^{2}v_{s}^{2}-v_{s}^{2}R_{L}2(R_{s}+R_{L})}{(R_{s}+R_{L})^{4}}=\frac{v_{s}^{2}(R_{s}^{2}-R_{L}^{2})}{(R_{s}+R_{L})^{4}}\)이고 \(\displaystyle\frac{dP_{L}}{dR_{L}}=0\)일 때 \(R_{L}=R_{s}\)이다. 이는 \(R_{L}=R_{s}\)일 때 공급전력이 최대임을 뜻한다. \(R_{L}=0\) 또는 \(R_{L}=\infty\)이면 최소전력(\(P_{L}=0\))이 전달된다.

최대전력전달정리 저항 \(R_{s}\)와 직렬연결된 독립전압원 또는 저항 \(R_{s}\)와 병렬연결된 독립전류원은 \(R_{L}=R_{s}\)일 때 부하저항 \(R_{L}\)에 최대전력을 전달한다. 또는 (테브난 등가저항을 사용하는 경우) 어떤 회로가 부하저항 \(R_{L}\)에 최대전력을 공급하는 것은 \(R_{L}\)의 값이 이 회로의 테브난 등가저항과 같을 때이다.

\(R_{s}=R_{L}=R_{TH}\)일 때 \(R_{L}\)에 최대전력이 공급되고 이때의 최대전력공급량은 \(\displaystyle P_{\max}=\frac{v_{s}^{2}}{4R_{s}}=\frac{v_{TH}^{2}}{4R_{TH}}\)이다.

이 회로는 공통 이미터 트랜지스터 증폭기의 모델이다. 저항 \(R_{L}\)에 최대전력이 전달될 때 \(R_{L}\)의 값을 구하면?

이 회로의 독립전원들을 제거했을 때 테브난 등가저항의 값이 \(R_{TH}=1\text{k}\Omega\)임을 알 수 있다.

테브난 등가전압을 구하면

\(\displaystyle v_{\pi}=(2.5\times10^{-3}\sin440t)\times\frac{(17\text{k}\Omega||5\text{k}\Omega)}{300+(17\text{k}\Omega||5\text{k}\Omega)}=2.32\sin440t\text{mV}\)

\(v_{TH}=-(10^{3})\times(0.03v_{\pi})=-69.6\sin440t\text{mV}\)

따라서 \(R_{L}=R_{TH}=1\text{k}\Omega\)이고 \(\displaystyle P_{\max}=\frac{v_{TH}^{2}}{4R_{TH}}=1.211\sin^{2}440t\mu\text{W}\)이다.

델타-와이(\(\Delta-Y\)) 변환

\(Y\,\Rightarrow\,\Delta\)                   \(\Delta\,\Rightarrow\,Y\)   \(\displaystyle R_{A}=\frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}\), \(\displaystyle R_{1}=\frac{R_{A}R_{B}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}\) \(\displaystyle R_{B}=\frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}\), \(\displaystyle R_{2}=\frac{R_{B}R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}\) \(\displaystyle R_{C}=\frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}\), \(\displaystyle R_{3}=\frac{R_{C}R_{A}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}\)

델타 와이 변환 공식유도

\(\Delta\)형 회로에서

\(v_{ac}=R_{A}(i_{1}-i_{2})\)                                    ▶  \(v_{ac}=R_{A}i_{1}-R_{A}i_{2}\)                              [1]

\(0=R_{A}(i_{2}-i_{1})+R_{B}i_{2}+R_{C}(i_{2}-i_{3})\)                 ▶  \(0=-R_{A}i_{1}+(R_{A}+R_{B}+R_{C})i_{2}-R_{C}i_{3}\)         [2]

\(v_{bc}=R_{2}(i_{2}-i_{3})\)                                    ▶  \(-v_{bc}=-R_{C}i_{2}+R_{C}i_{3}\)                           [3]

\(Y\)형 회로에서

\(v_{ac}=R_{1}i_{1}+R_{3}(i_{1}-i_{3})\)                              ▶  \(v_{ac}=(R_{1}+R_{3})i_{1}-R_{3}i_{3}\)                        [4]

\(v_{bc}=R_{2}(-i_{3})+R_{3}(i_{1}-i_{3})\)                           ▶  \(-v_{bc}=-R_{3}i_{1}+(R_{2}+R_{3})i_{3}\)                    [5]

[2] 식에서 \(i_{2}\)를 구해서 [1], [3]에 대입하면

\(\displaystyle\left(R_{A}-\frac{R_{A}^{2}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}\right)i_{1}-\frac{R_{A}R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}i_{3}=v_{ac}(=(R_{1}+R_{3})i_{1}-R_{3}i_{3})\)          [6]

\(\displaystyle-\frac{R_{A}R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}i_{1}+\left(R_{C}-\frac{R_{C}^{2}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}\right)i_{3}=-v_{bc}(=-R_{3}i_{1}+(R_{2}+R_{3})i_{3})\)   [7]

[6], [7]식에서 항을 비교하면 \(\displaystyle R_{3}=\frac{R_{C}R_{A}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}\)

\(\displaystyle R_{C}-\frac{R_{C}^{2}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=R_{2}+R_{3}\)  ▶  \(\displaystyle\frac{R_{A}R_{C}+R_{B}R_{C}+R_{C}^{2}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}-\frac{R_{C}^{2}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=R_{2}+\frac{R_{A}R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}\)

\(\displaystyle R_{A}-\frac{R_{A}^{2}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=R_{1}+R_{3}\)  ▶  \(\displaystyle\frac{R_{A}^{2}+R_{A}R_{B}+R_{A}R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}-\frac{R_{A}^{2}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=R_{1}+\frac{R_{A}R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}\)

이제 [4], [5] 식에서 \(i_{1}\), \(i_{3}\)을 \(v_{ac}\), \(v_{bc}\)로 나타내면

\(\displaystyle\begin{pmatrix}R_{1}+R_{3}&-R_{3}\\-R_{3}&R_{2}+R_{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}i_{1}\\i_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_{ac}\\v_{bc}\end{pmatrix}\)  ▶  \(\displaystyle\begin{pmatrix}i_{1}\\i_{3}\end{pmatrix}=\frac{1}{R_{1}R_{2}+(R_{1}+R_{2})R_{3}}\begin{pmatrix}R_{2}+R_{3}&R_{3}\\R_{3}&R_{2}+R_{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{ac}\\-v_{bc}\end{pmatrix}\)

\(\displaystyle i_{1}=\frac{(R_{2}+R_{3})v_{ac}-R_{3}v_{bc}}{R_{1}R_{2}+(R_{1}+R_{2})R_{3}}\), \(\displaystyle i_{3}=\frac{R_{3}v_{ac}-(R_{1}+R_{3})v_{ac}}{R_{1}R_{2}+(R_{1}+R_{2})R_{3}}\)

이때 \(\Delta\)형 회로에서 \(\displaystyle i_{1}-i_{2}=\frac{v_{ac}}{R_{A}}\), \(\displaystyle i_{2}=\frac{v_{ac}-v_{bc}}{R_{B}}\), \(\displaystyle i_{2}-i_{3}=\frac{v_{bc}}{R_{C}}\)이므로

\(\displaystyle i_{1}=\left(\frac{1}{R_{A}}-\frac{1}{R_{B}}\right)v_{ac}-\frac{1}{R_{B}}v_{bc}=\frac{R_{2}+R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}v_{ac}-\frac{R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}v_{bc}\)이고 항을 비교하면 \(\displaystyle\frac{1}{R_{B}}=\frac{R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}\), \(\displaystyle\frac{1}{R_{A}}+\frac{1}{R_{B}}=\frac{R_{2}+R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}\)이고 따라서 \(\displaystyle R_{B}=\frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}\), \(\displaystyle R_{A}=\frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}\). 또한 \(\displaystyle i_{3}=i_{2}-\frac{v_{bc}}{R_{C}}=\frac{v_{ac}}{R_{C}}-\left(\frac{1}{R_{B}}-\frac{1}{R_{C}}\right)v_{bc}=\frac{R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}v_{ac}-\frac{R_{1}+R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}v_{bc}\)이므로 \(\displaystyle\frac{1}{R_{B}}=\frac{R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}\), \(\displaystyle\frac{1}{R_{B}}+\frac{1}{R_{C}}=\frac{R_{1}+R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}\). 따라서 \(\displaystyle R_{C}=\frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}\)    

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill