4. 선형성과 중첩정리, 전원의 변환

4. 선형성과 중첩정리, 전원의 변환

선형성

선형소자: 전압-전류관계가 선형적인 수동소자. \(v(t)=Ri(t)\)

선형 종속전원: 값이 회로 내부에 지정된 전류 또는 전압에 일차적으로만 비례하는 종속 전류 또는 종속전압원.

선형회로: 모든 소자가 독립전원, 선형종속전원, 선형소자로 구성된 회로.

중첩정리(선형성의 가장 중요한 결과)

왼쪽의 회로에는 두개의 독립전류원이 있어서 회로 내부에 전류 \(i_{a}\), \(i_{b}\)가 흐른다. 이런 이유로 전원을 구동함수라고 부른다. 이 전류에 의해 발생되는 마디전압은 응답(구하려는 전압)(함수)이라고 한다.

이 회로의 마디방정식은

[1] \(i_{a}=0.7v_{1}-0.2v_{2}\), [2] \(i_{b}=-0.2v_{1}+1.2v_{2}\)이고 이때 두 구동함수를 \(i_{ax}\), \(i_{bx}\)로 바꾸면 미지의 두 전압도 달라진다. (\(v_{1}\,\rightarrow\,v_{1x}\), \(v_{2}\,\rightarrow\,v_{2x}\))

[3] \(i_{ax}=0.7v_{1x}-0.2v_{2x}\), [4] \(i_{bx}=-0.2v_{1x}+1.2v_{2x}\),

\(i_{a}\,\rightarrow\,i_{ay}\), \(i_{b}\,\rightarrow\,i_{by}\)일 때 \(v_{1}\,\rightarrow\,v_{1y}\), \(v_{2}\,\rightarrow\,v_{2y}\)가 되고.

[5] \(i_{ay}=0.7v_{1y}-0.2v_{2y}\), [6] \(i_{by}=-0.2v_{1y}+1.2v_{2y}\)

[3]+[5]: \((0.7v_{1x}+0.7v_{1y})-(0.2v_{2x}+0.2v_{2y})=i_{ax}+i_{ay}\,\Leftrightarrow\,0.7v_{1}-0.2v_{2}=i_{a}\)

[4]+[6]: \(-(0.2v_{1x}+0.2v_{1y})+(1.2v_{2x}+1.2v_{2y})=i_{bx}+i_{by}\,\Leftrightarrow\,-0.2v_{1}+1.2v_{2}=i_{b}\)

각 독립전원에 의한 응답을 구할 때는 다른 독립전원의 크기(값)를 모두 0으로 놓아야 한다.

중첩정리 모든 선형저항성 회로망에서 어떤 저항의 양단에 걸리는 전압 또는 이에 흐르는 전류는 다른 모든 독립전압원을 단락시키고 다른 모든 독립전류원을 개방시킨 상태에서 개별전원에 의한 개개의 전압 또는 전류를 모두 대수적으로 합하여 구할 수 있다.

\(N\)개의 독립전원이 있다면 \(N\)번 계산하여야 하며 각각의 계산에는 단 하나의 독립전원만 남기고 나머지는 모두 비활성화 하거나 제거해야 한다. 단, 종속전원은 그대로 두어야 한다.

1. 독립전원 중 하나를 선택하고 나머지 다른 독립전원은 모두 0으로 놓는다. 2. 적절한 기호를 사용하여 전압과 전류를 다시 표시한다. (종속전원의 제어변수는 반드시 다시 표기) 3. 간략화된 회로를 해석하여 필요한 전압 또는 전류를 구한다. 4. 각 독립전원을 모두 고려할 때까지 1~3단계를 반복한다. 5. 개별해석으로부터 구해진 전압과 전류를 구한다. (더할 때 전압의 극성과 전류의 방향에 유의) 6. 전력은 더해서는 안된다(비선형, 개별해석된 전압과 전류를 이용하여 구한다)

(1) (\(3\text{A}\) 전류원 개방): \(10=2i_{x}'+i_{x}'+2i_{x}'\), \(i_{x}'=2\text{A}\)

(2) (\(10\text{V}\) 전압원 단락): \(\displaystyle\frac{v''}{2}+\frac{v''-2i_{x}''}{1}=3\), \(v''=2(-i_{x}'')\), \(i_{x}''=-0.6\text{A}\)

(3) \(i_{x}=i_{x}'+i_{x}''=2+(-0.6)=1.4\text{A}\)

(앞에서 언급했듯이 종속전원은 그대로 놔두고 회로를 해석한다.) 

전원의 변환

실제의 전압원

\(v_{L}=v_{s}-R_{s}i_{L}\), 이상적인 경우는 \(R_{s}=0\Omega\)

개방회로 전압 (\(R_{L}=\infty\,\Rightarrow\,i_{L}=0\text{A}\)): \(v_{Loc}=v_{s}\)

단락회로 전류 (\(R_{L}=0\,\Rightarrow\,v_{L}=0\)): \(\displaystyle i_{Lsc}=\frac{v_{s}}{R_{s}}\)

실제의 전류원

\(\displaystyle i_{L}=i_{s}-\frac{v_{L}}{R_{p}}\), 이상적인 경우 \(R_{p}=\infty\)

개방회로 전압 (\(R_{L}=\infty\,\Rightarrow\,i_{L}=0\text{A}\)): \(v_{Loc}=R_{p}i_{s}\)

단락회로 전류 (\(R_{L}=0\,\Rightarrow\,v_{L}=0\)): \(i_{Lsc}=i_{s}\)

*이상적인 전원은 실제로 존재하지 않는다.(존재할 수가 없다!)

등가인 실제전원

\(\displaystyle v_{L}=v_{s}\frac{R_{L}}{R_{s}+R_{L}}\)

\(\displaystyle v_{L}=\left(i_{s}\frac{R_{p}}{R_{p}+R_{L}}\right)R_{L}\)

위 두 회로에서 \(R_{s}=R_{p}\)이면 두 실제전원은 전기적으로 등가이다. (\(v_{s}=R_{p}i_{s}=R_{s}i_{s}\)) 이는 종속전원에 대해서도 적용할 수 있다.

1. 일반적으로 전원을 변환하는 것은 회로 내의 모든 전원을 모두 전류원 또는 전압원으로 만들기 위한 것이다. 2. 전원을 반복하여 변환시키면 저항과 전원이 조합되므로 회로가 간단해진다. 3. 전원을 변환할 때 저항의 값은 바뀌지 않지만 변환되기 전과 후의 저항은 동일한 저항이 아니다.    (전원을 변환하고 나면 원래의 저항과 관련된 전압 또는 전류가 바뀐다) 4. 특정한 저항의 전압 또는 전류가 종속전원의 제어변수로 사용되었다면 전원을 변환할 때 이 저항을 포함해서는 안된다.    (최종 회로에 원형 그대로 유지되어야 한다) 5. 특정한 소자의 전압 또는 전류가 관심대상인 경우, 전원을 변환할 때 이 저항을 포함해서는 안된다    (최종회로에 원형 그대로 유지되어야 한다) 6. 전원변환에서 전류원의 화살표 머리는 전압원의 '+'단자와 일치시켜야 한다. 7. 전류원과 저항에서 전원변환을 하기 위해서는 두 소자가 병렬로 접속되어있어야 한다. 8. 전압원과 저항에서 전원변환을 하기 위해서는 두 소자가 직렬로 접속되어있어야 한다.

\(7.5-9=3.5I-51V_{x}+28I\), \(V_{x}=2I\), \(-1.5=3.5I-102I+28I\), \(I=21.28\text{mA}\)

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill