2. 전압법칙과 전류법칙

2. 전압법칙과 전류법칙

마디: 두개 이상의 소자가 연결되어 있는 공통 접속점(왼쪽 그림의 번호붙은 부분이 마디이다).

경로: 마디와 소자로 구성되는 통로.

루프: 출발마디와 끝마디가 같은 경로. 이를 폐경로라고 한다.

가지: 회로의 단일경로로, 하나의 소자와 그 소자의 양쪽 끝 마디로 구성.

키르히호프의 전류법칙: 임의의 마디로 흘러들어가는 대수적 합은 0이다.

$(i_{A}+i_{B}=i_{C}+i_{D})$

식: $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{i_{k}}=0$

키르히호프의 전압법칙: 임의의 폐경로를 따라 취한 전압의 대수적 합은 0이다.

$v_{1}-v_{2}+v_{3}=0$

식: $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{v_{k}}=0$

단일루프로 구성된 회로

회로에서 동일한 전류가 흐르는 소자는 직렬로 연결되어 있다고 말한다.

1. 미지의 전류에 대한 기준방향 설정.

2. 각 저항에 대해 전압의 기준 설정.

3. KVL(키르히호프 전압법칙) 적용.

KVL: $-v_{s1}+v_{R1}+v_{s2}+v_{R2}=0$

옴의 법칙: $v_{R1}=R_{1}i$, $v_{R2}=R_{2}i$

KVL과 옴의 법칙으로부터 $-v_{s1}+R_{1}i+v_{s2}+R_{2}i=0$이고

따라서 $\displaystyle i=\frac{v_{s1}-v_{s2}}{R_{1}+R_{2}}$

에너지 보존법칙으로부터 회로의 각 소자에서 흡수하는 에너지의 합은 0이어야 한다. $\displaystyle\sum{p_{흡수}}=\sum{p_{공급}}$

마디쌍이 하나인 회로

회로에서 소자들의 양단에 걸리는 전압이 공통이면 이 소자들은 병렬로 접속되어있다고 말한다.

KCL적용: $i_{6}-2i_{x}-0.024-i_{x}=0$

옴의 법칙: $\displaystyle i_{6}=\frac{v}{2000}$, $\displaystyle i_{x}=-\frac{v}{2000}$

KCL과 옴의 법칙으로부터 $\displaystyle\frac{v}{6000}-2\left(-\frac{v}{2000}\right)-0.024-\left(-\frac{v}{2000}\right)=0$이고 따라서 $v=14.4\text{V}$, 독립전원이 공급하는 전력은 $345.6\text{mW}$이다.

직렬로 접속된 전압원은 하나의 등가전압원으로, 병렬로 연결된 전류원은 하나의 등가전류원으로 대체할 수 있다.

(b)는 정상회로이나 (a)와 (c)는 키르히호프 법칙에 위배되는 회로이다.

저항의 직렬연결

KVL: $v_{s}=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{N}$

옴의법칙: $\begin{align*}v_{s}&=R_{1}i+R_{2}i+\cdots+R_{N}i\\&(R_{1}+R_{2}+\cdots+R_{N})i\end{align*}$

등가회로: $v_{s}=R_{eq}i$

$R_{eq}=R_{1}+R_{2}+\cdots+R_{N}$

저항의 병렬연결

KVL: $i_{s}=i_{1}+i_{2}+\cdots+i_{N}$

옴의법칙: $\displaystyle\begin{align*}i_{s}&=\frac{v}{R_{1}}+\frac{v}{R_{2}}+\cdots+\frac{v}{R_{N}}\\&=\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\cdots+\frac{1}{R_{N}}v\right)\end{align*}$

등가회로: $\displaystyle i_{s}=\frac{v}{R_{eq}}=G_{eq}v$

$\displaystyle\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\cdots+\frac{1}{R_{N}}$, $G_{eq}=G_{1}+G_{2}+\cdots+G_{N}$

전압과 전류의 분배

이 회로에서 직렬연결된 회로의 경우, $\displaystyle i=\frac{v}{R_{1}+R_{2}}$이고 병렬연결된 회로의 경우, $\displaystyle v=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}i$이다. 이를 이용하여 저항 $R_{1}$, $R_{2}$에 흐르는 전류 또는 걸리는 전압을 구할 수 있다. 직렬로 연결된 회로의 경우 $\displaystyle v_{1}=R_{1}i=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}v$, $\displaystyle v_{2}=R_{2}i=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}v$이고 병렬로 연결된 회로의 경우 $\displaystyle i_{1}=\frac{v}{R_{1}}=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}v=\frac{G_{1}}{G_{1}+G_{2}}v$, $\displaystyle i_{2}=\frac{G_{2}}{G_{1}+G_{2}}v$이다. 일반적으로 $k$번째 저항에 흐르는 전류 또는 걸리는 전압은

$$i_{k}=\frac{\frac{1}{R_{k}}}{\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\cdots+\frac{1}{R_{n}}}v=\frac{G_{k}}{G_{1}+G_{2}+\cdots+G_{n}}v,\,v_{k}=\frac{R_{k}}{R_{1}+R_{2}+\cdots+R_{n}}i$$ 이다.

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill