3. 마디해석법과 메쉬해석법

3. 마디해석법과 메쉬해석법

마디해석법

1. 마디의 수를 계산한다. (\(N\)개의 마디) 2. 기준마디(접지, \(0\text{V}\))를 선정한다. 3. 마디전압을 표시한다. (\(N-1\)개) 4. 기준마디가 아닌 각 마디에서 KCL방정식을 세운다. 5. 마디전압이 아닌 다른 미지수(전류 또는 전압)가 더 있다면, 이 미지수를 마디전압으로 나타낸다. (종속전원이 있을 때) 6. 방정식을 체계화한다. 7. 연립방정식을 풀어서 마디전압을 구한다. (\(N-1\)개의 마디전압)

ex) 아래 회로의 각 마디의 전압을 구하면?

마디 1의 전압: \(v_{1}\), 마디 2의 전압: \(v_{2}\), 마디 3의 전압: \(v_{3}\)

마디 1: \(\displaystyle-8-3=\frac{v_{1}-v_{2}}{3}+\frac{v_{1}-v_{3}}{4}\) → \(0.5833v_{1}-0.3333v_{2}-0.25v_{3}=-11\)

마디 2: \(\displaystyle-(-3)=\frac{v_{2}-v_{1}}{3}+\frac{v_{2}}{1}+\frac{v_{2}-v_{3}}{7}\) → \(0.3333v_{1}+1.4762v_{2}-0.1429v_{3}=3\)

마디 3: \(\displaystyle-(-25)=\frac{v_{3}}{5}+\frac{v_{3}-v_{2}}{7}+\frac{v_{3}-v_{1}}{4}\) → \(-0.25v_{1}-0.1429v_{2}+0.5929v_{3}=25\)

이 연립방정식을 계산하면 \(v_{1}=5.412\text{V}\), \(v_{2}=7.736\text{V}\), \(v_{3}=46.32\text{V}\)

초마디

1. 마디의 수를 계산한다. (\(N\)개의 마디) 2. 기준마디를 선정한다. 3. 마디전압을 표시한다. (\(N-1\)개의 마디) 4. 회로에 전압원이 있으면 각 전압원에 대한 초마디를 구성한다. 5. 기준마디가 아닌 각 마디와 기준마디를 포함하지 않은 각 초마디에서 KCL방정식을 세운다. 이때 전류의 방향에 유의한다. 6. 각 전압원의 양단전압을 마디전압으로 표시한다. (KVL 적용) 7. 다른 미지수(마디전압이 아닌 전류 또는 전압)가 더 있다면 이 미지수를 마디전압으로 나타낸다. (종속전원이 있을 때) 8. 방정식을 체계화한다. 9. 연립방정식을 풀어서 마디전압을 구한다. (\(N-1\)개의 마디전압)

ex) 이 회로의 각 마디의 전압을 구하면?

마디 1의 전압: \(v_{1}\), 마디 2의 전압: \(v_{2}\), 마디 3의 전압: \(v_{3}\), 마디 4의 전압: \(v_{4}\)

마디 2: \(\displaystyle14=\frac{v_{2}-v_{1}}{0.5}+\frac{v_{2}-v_{3}}{2}\)

마디 4에서 마디 3으로 흐르는 전류를 \(i\)라고 하면

마디 3: \(\displaystyle -i=0.5v_{x}+\frac{v_{2}-v_{3}}{2}\)

마디 4: \(\displaystyle i=\frac{v_{4}}{1}+\frac{v_{1}-v_{4}}{2.5}\), \(v_{1}=-12\text{V}\)

종속전원: 0.2\(v_{y}=v_{3}-v_{4}\), \(v_{x}=v_{2}-v_{1}\)

위의 정보들을 종합하면 다음의 연립방정식을 얻는다.

\(-2v_{1}+2.5v_{2}-0.5v_{3}=14\), \(0.1v_{1}-v_{2}+0.5v_{3}+1.4v_{4}=0\), \(v_{1}=-12\text{V}\), \(0.2v_{1}+v_{3}-1.2v_{4}=0\)

이 연립방정식을 계산하면 \(v_{1}=-12\text{V}\), \(v_{2}=-4\text{V}\), \(v_{3}=0\text{V}\), \(v_{4}=-2\text{V}\)

메쉬해석법

메쉬란? 루프 중에서 그 내부에 다른 루프를 포함하지 않는 루프이다.

1. 회로가 평면회로인지 확인한다. (평면회로가 아니면 마디해석법으로 푼다) 2. 메쉬의 수를 계산한다(\(M\)개) (필요한 경우 회로를 다시 그린다) 3. \(M\)개의 메쉬전류 각각을 표시한다. (가능하면 시계방향으로 전류의 방향을 잡는다) 4. 각 메쉬를 따라서 KVL방정식을 세운다. (부호(전압의 +,-)에 유의한다.) 5. 메쉬전류가 아닌 다른 미지수(전압 또는 전류)가 더 있다면 이 미지수를 적절한 메쉬전류로 나타낸다. (종속전원이 있을 때) 6. 방정식을 체계화한다. 7. 연립방정식을 풀어서 메쉬전류를 구한다. (\(M\)개의 메쉬전류)

ex) 다음 회로의 각 메쉬에 흐르는 전류를 구하면?

왼쪽 메쉬의 전류: \(i_{2}\), 오른쪽 메쉬의 전류: \(i_{1}\)

왼쪽 메쉬: \(-5-2v_{x}+4(i_{2}-i_{1})+4i_{2}=0\)

오른쪽 메쉬: \(4(i_{1}-i_{2})+2i_{1}+3=0\)

종속전원: \(v_{x}=4(i_{2}-i_{1})\),

위의 정보를 종합하면 연립방정식 \(-5+4i_{1}=0\), \(6i_{1}-4i_{2}+3=0\)을 얻고, 이 연립방정식을 계산하면 \(i_{1}=1.25\text{A}\), \(i_{2}=2.625\text{A}\)이다.

초메쉬

1. 회로가 평면회로인지 확인한다. (평면회로가 아니면 마디해석법으로 푼다) 2. 메쉬의 수를 계산한다(\(M\)개) (필요한 경우 회로를 다시 그린다) 3. \(M\)개의 메쉬전류 각각을 표시한다. (가능하면 시계방향으로) 4. 2개의 메쉬에 의해 공유된 전류원을 포함한 회로라면 두 메쉬를 둘러쌓도록 초메쉬를 잡는다. 5. 각 메쉬 또는 초메쉬를 따라서 KVL방정식을 세운다. (전압의 +, -에 유의한다) 6. 각 전류원으로부터 흘러나오는 전류를 메쉬전류로 표시한다. (KCL을 이용한다) 7. 메쉬전류가 아닌 미지수(전압 또는 전류)가 더 있다면 이 미지수를 적절한 메쉬전류로 나타낸다. (종속전원이 있을 때) 8. 방정식을 체계화한다. 9. 연립방정식을 풀어서 메쉬전류를 구한다. (\(M\)개의 메쉬전류)

ex) 다음 회로의 각 메쉬에 흐르는 전류를 구하면?

전류 \(i_{1}\)이 흐르는 메쉬를 메쉬1, 전류 \(i_{2}\)가 흐르는 메쉬를 메쉬2, 전류 \(i_{3}\)이 흐르는 메쉬를 메쉬3이라고 하면

메쉬1: \(80-10i_{1}-20(i_{1}+i_{2})-30(-14i_{1}+i_{2})=0\)

KCL: \(i_{3}=15i_{1}-i_{2}\)

KVL: \(80-10i_{1}+30-40i_{3}=0\)

\(390i_{1}-50i_{2}=-80\), \(10i_{1}-40i_{3}=110\), \(i_{3}=15i_{1}-i_{2}\)

이 연립방정식을 계산하면 \(i_{1}=0.584\text{A}\), \(i_{2}=6.154\text{A}\), \(i_{3}=2.606\text{A}\)

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill