8. 커패시터와 인덕터

8. 커패시터와 인덕터

 외부장치에 공급하는 평균전력이 0보다 큰 소자를 능동소자(예: 이상적인 전원, 가변증폭기), 0보다 작은 소자를 수동소자(예: 저항, 커패시터)라고 한다.

커패시터

SI단위는 패럿(F, Farad, 단위볼트당 쿨롱)이고 직류에 대해서 개방회로로 동작하고 커패시터에 걸리는 전압은 시간에 대한 연속함수이다. 관계식은 \(\displaystyle i=C\frac{dv}{dt}\).

\(\displaystyle\frac{dv}{dt}=\frac{1}{C}i\)이므로 \(\displaystyle v(t)=\frac{1}{C}\int_{t_{0}}^{t}{i(\tau)d\tau}+v(t_{0})\). 여기서 \(t_{0}=-\infty\), \(v(t_{0})=0\). 그러면 \(q(t)=Cv(t)\)이다.

커패시터에 전달되는 전력은 \(\displaystyle P=vi=Cv\frac{dv}{dt}\)이고 에너지의 변화는 \(\displaystyle W_{C}(t)-W_{C}(t_{0})=\int_{t_{0}}^{t}{Pd\tau}=C\int_{t_{0}}^{t}{v\frac{dv}{d\tau}d\tau}=C\int_{v(t_{0})}^{v(t)}{v'dv'}=\frac{1}{2}C\left\{[v(t)]^{2}-[v(t_{0})]^{2}\right\}\)이다.

\(W_{C}(t_{0})=0\)이고 \(v(t_{0})=0\)이면 \(\displaystyle W_{C}(t)=\frac{1}{2}C\{v(t)\}^{2}\).

이상적인 커패시터의 중요한 성질 1. 직류에 대해서는 개방회로로 동작한다. 2. 커패시터에 걸린 전압이 일정한 경우, 커패시터에 전류가 흐르지 않더라도 에너지가 축적될 수 있다. 3. 커패시터에 걸린 전압은 순간적으로 변할 수 없다. (스프링이 변위의 순간적인 변화에 저항하는 것과 같다) 4. 커패세터는 에너지를 저장하고 소모하지 않는다. (실제로는 유전체의 유한한 저항 때문에 소모한다)

인덕터

SI단위는 헨리(H, Henry)이고 직류에 대해서 단락회로로 동작하고 인덕터에 걸리는 전류는 시간에 대한 연속함수이다. 관계식은 \(\displaystyle v=L\frac{di}{dt}\).

\(\displaystyle\frac{di}{dt}=\frac{1}{L}v\)이므로 \(\displaystyle i(t)=\frac{1}{L}\int_{t_{0}}^{t}{v(\tau)d\tau}+i(t_{0})\) 여기서 \(t_{0}=-\infty\), \(i(t_{0})=0\). 그러면 \(\displaystyle i(t)=\frac{1}{L}\int_{-\infty}^{t}{v(\tau)d\tau}\).

인덕터에 전달되는 전력은 \(\displaystyle P=vi=Li\frac{di}{dt}\)이고 에너지의 변화는 \(\displaystyle W_{L}(t)-W_{L}(t_{0})=\int_{t_{0}}^{t}{Pd\tau}=L\int_{t_{0}}^{t}{i\frac{di}{d\tau}d\tau}=L\int_{i(t_{0})}^{i(t)}{i'di'}=\frac{1}{2}L\left\{[i(t)]^{2}-[i(t_{0})]^{2}\right\}\)이다.

\(W_{L}(t_{0})=0\), \(v(t_{0})=0\)이면 \(\displaystyle W_{L}(t)=\frac{1}{2}L\{i(t)\}^{2}\)

,이상적인 인덕터의 중요한 성질 1. 직류에 대해서는 단락회로로 동작한다. 2. 일정한 전류가 흐를 때 전압이 0이지만 일정량의 에너지가 축적된다. 3. 인덕터의 전류를 순간적으로 변화시킬 수 없다. (물체의 속도가 순간적인 변화에 저항하는 것과 같다) 4. 인덕터는 에너지를 저장하고 소모하지 않는다. (실제로는 직렬저항을 가져서 에너지를 소모한다)

인덕터와 커패시터의 결합

인덕터의 직렬연결

KVL로부터

\(\displaystyle\begin{align*}v_{s}&=v_{1}+\cdots+v_{N}=L_{1}\frac{di}{dt}+\cdots+L_{N}\frac{di}{dt}\\&=(L_{1}+\cdots+L_{N})\frac{di}{dt}=L_{eq}\frac{di}{dt}\end{align*}\)

따라서 \(L_{eq}=L_{1}+\cdots+L_{N}\)

인덕터의 병렬연결

KCL로부터

\(\displaystyle\begin{align*}i_{s}&=i_{1}+\cdots+i_{N}=\sum_{n=1}^{N}{\left[\frac{1}{L_{n}}\int_{t_{0}}^{t}{vd\tau}+i_{n}(t_{0})\right]}\\&=\sum_{n=1}^{N}{\frac{1}{L_{n}}\int_{t_{0}}^{t}{vd\tau}}+\sum_{n=1}^{N}{i_{n}(t_{0})}=\frac{1}{L_{eq}}\int_{t_{0}}^{t}{vd\tau}+i_{s}(t_{0})\end{align*}\)

따라서 \(\displaystyle\frac{1}{L_{eq}}=\frac{1}{L_{1}}+\cdots+\frac{1}{L_{N}}\)

커패시터의 직렬연결

KVL로부터

\(\displaystyle\begin{align*}v_{s}&=v_{1}+\cdots+v_{N}=\sum_{n=1}^{N}{\left[\frac{1}{C_{n}}\int_{t_{0}}^{t}{id\tau}+v_{n}(t_{0})\right]}\\&=\sum_{n=1}^{N}{\frac{1}{C_{n}}\int_{t_{0}}^{t}{id\tau}}+\sum_{n=1}^{N}{v_{n}(t_{0})}=\frac{1}{C_{eq}}\int_{t_{0}}^{t}{id\tau}+v_{s}(t_{0})\end{align*}\)

따라서 \(\displaystyle\frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_{1}}+\cdots+\frac{1}{C_{N}}\)

커패시터의 병렬연결

KCL로부터

\(\displaystyle\begin{align*}i_{s}&=i_{1}+\cdots+i_{N}=C_{1}\frac{dv}{dt}+\cdots+C_{N}\frac{dv}{dt}\\&=(C_{1}+\cdots+C_{N})\frac{dv}{dt}=C_{eq}\frac{dv}{dt}\end{align*}\)

따라서 \(C_{eq}=C_{1}+\cdots+C_{N}\)

선형성의 결과

이 회로의 적당한 마디방정식을 구하자. 마디전압을 선정하여 중심마디를 출발하는 전류들의 합을 구한다.

\(v_{1}\): KCL로부터 \(\displaystyle\left[\frac{1}{L}\int_{t_{0}}^{t}{(v_{1}-v_{s})dt'}+i_{L}(t_{0})\right]+\frac{v_{1}-v_{2}}{R}+C_{2}\frac{dv_{1}}{dt}=0\)

\(v_{2}\): KCL로부터 \(\displaystyle\left[C_{1}\frac{d}{dt}(v_{2}-v_{s})\right]+\frac{v_{2}-v_{1}}{R}-i_{s}=0\)

식을 정리하면

\(\displaystyle\frac{v_{1}}{R}+C_{2}\frac{dv_{1}}{dt}+\frac{1}{L}\int_{t_{0}}^{t}{v_{1}dt'}-\frac{v_{2}}{R}=\frac{1}{L}\int_{t_{0}}^{t}{v_{s}dt'}-i_{L}(t_{0})\), \(\displaystyle-\frac{v_{1}}{R}+\frac{v_{2}}{R}+C_{1}\frac{dv_{2}}{dt}=C_{1}\frac{dv_{s}}{dt}+i_{s}\)

이 결과는 RLC회로의 전압-전류 관계가 선형적임을 뜻하고 따라서 RLC회로에도 테브난 또는 노턴이론을 적용할 수 있음을 뜻한다.

커패시터를 갖는 간단한 연산증폭기 회로

커패시터를 이용하여 미분기와 적분기를 구현할 수 있다.

적분기

\(v_{a}=v_{b}=0\), \(\displaystyle\frac{v_{s}-v_{a}}{R_{1}}=i=C_{f}\frac{d}{dt}v_{C_{f}}\), \(v_{C_{f}}=v_{a}-v_{out}\)

\(\displaystyle C_{f}\frac{d}{dt}v_{C_{f}}=\frac{1}{R_{1}}v_{s}\), \(v_{C_{f}}=-v_{out}\)

\(\displaystyle v_{C_{f}}=\frac{1}{R_{1}C_{f}}\int_{0}^{t}{v_{s}d\tau}+v_{C_{f}}(0)\)

\(\displaystyle v_{out}=-\frac{1}{R_{1}C_{f}}\int_{0}^{t}{v_{s}d\tau}-v_{C_{f}}(0)\)

미분기

\(v_{a}=v_{b}=0\), \(\displaystyle i=\frac{v_{a}-v_{out}}{R_{f}}=C_{1}\frac{d}{dt}v_{C_{1}}\), \(v_{C_{1}}=v_{s}-v_{a}\)

\(\displaystyle i=-\frac{v_{out}}{R_{f}}=C_{1}\frac{d}{dt}v_{C_{1}}\)

\(\displaystyle v_{out}=-R_{f}C_{1}\frac{dv_{s}}{dt}\)

*인덕터를 사용한 미분기

\(v_{a}=v_{b}=0\), \(v_{s}-v_{a}=iR_{1}\), \(v_{L_{f}}=v_{a}-v_{out}\), \(\displaystyle v_{L_{f}}=L_{f}\frac{di}{dt}\)

▶\(\displaystyle i=\frac{v_{s}}{R}\), \(\displaystyle -v_{out}=L_{f}\frac{di}{dt}=\frac{L_{f}}{R_{s}}\frac{dv_{s}}{dt}\)

\(\displaystyle v_{out}=-\frac{L_{f}}{R_{s}}\frac{dv_{s}}{dt}\)

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill