8. 커패시터와 인덕터
외부장치에 공급하는 평균전력이 0보다 큰 소자를 능동소자(예: 이상적인 전원, 가변증폭기), 0보다 작은 소자를 수동소자(예: 저항, 커패시터)라고 한다.
커패시터
SI단위는 패럿(F, Farad, 단위볼트당 쿨롱)이고 직류에 대해서 개방회로로 동작하고 커패시터에 걸리는 전압은 시간에 대한 연속함수이다. 관계식은 i=Cdvdt.
dvdt=1Ci이므로 v(t)=1C∫tt0i(τ)dτ+v(t0). 여기서 t0=−∞, v(t0)=0. 그러면 q(t)=Cv(t)이다.
커패시터에 전달되는 전력은 P=vi=Cvdvdt이고 에너지의 변화는 WC(t)−WC(t0)=∫tt0Pdτ=C∫tt0vdvdτdτ=C∫v(t)v(t0)v′dv′=12C{[v(t)]2−[v(t0)]2}이다.
WC(t0)=0이고 v(t0)=0이면 WC(t)=12C{v(t)}2.
이상적인 커패시터의 중요한 성질 1. 직류에 대해서는 개방회로로 동작한다. 2. 커패시터에 걸린 전압이 일정한 경우, 커패시터에 전류가 흐르지 않더라도 에너지가 축적될 수 있다. 3. 커패시터에 걸린 전압은 순간적으로 변할 수 없다. (스프링이 변위의 순간적인 변화에 저항하는 것과 같다) 4. 커패세터는 에너지를 저장하고 소모하지 않는다. (실제로는 유전체의 유한한 저항 때문에 소모한다) |
인덕터
SI단위는 헨리(H, Henry)이고 직류에 대해서 단락회로로 동작하고 인덕터에 걸리는 전류는 시간에 대한 연속함수이다. 관계식은 v=Ldidt.
didt=1Lv이므로 i(t)=1L∫tt0v(τ)dτ+i(t0) 여기서 t0=−∞, i(t0)=0. 그러면 i(t)=1L∫t−∞v(τ)dτ.
인덕터에 전달되는 전력은 P=vi=Lididt이고 에너지의 변화는 WL(t)−WL(t0)=∫tt0Pdτ=L∫tt0ididτdτ=L∫i(t)i(t0)i′di′=12L{[i(t)]2−[i(t0)]2}이다.
WL(t0)=0, v(t0)=0이면 WL(t)=12L{i(t)}2
,이상적인 인덕터의 중요한 성질 1. 직류에 대해서는 단락회로로 동작한다. 2. 일정한 전류가 흐를 때 전압이 0이지만 일정량의 에너지가 축적된다. 3. 인덕터의 전류를 순간적으로 변화시킬 수 없다. (물체의 속도가 순간적인 변화에 저항하는 것과 같다) 4. 인덕터는 에너지를 저장하고 소모하지 않는다. (실제로는 직렬저항을 가져서 에너지를 소모한다) |
인덕터와 커패시터의 결합
인덕터의 직렬연결
KVL로부터
vs=v1+⋯+vN=L1didt+⋯+LNdidt=(L1+⋯+LN)didt=Leqdidt
따라서 Leq=L1+⋯+LN
인덕터의 병렬연결
KCL로부터
is=i1+⋯+iN=N∑n=1[1Ln∫tt0vdτ+in(t0)]=N∑n=11Ln∫tt0vdτ+N∑n=1in(t0)=1Leq∫tt0vdτ+is(t0)
따라서 1Leq=1L1+⋯+1LN
커패시터의 직렬연결
KVL로부터
vs=v1+⋯+vN=N∑n=1[1Cn∫tt0idτ+vn(t0)]=N∑n=11Cn∫tt0idτ+N∑n=1vn(t0)=1Ceq∫tt0idτ+vs(t0)
따라서 1Ceq=1C1+⋯+1CN
커패시터의 병렬연결
KCL로부터
is=i1+⋯+iN=C1dvdt+⋯+CNdvdt=(C1+⋯+CN)dvdt=Ceqdvdt
따라서 Ceq=C1+⋯+CN
선형성의 결과
이 회로의 적당한 마디방정식을 구하자. 마디전압을 선정하여 중심마디를 출발하는 전류들의 합을 구한다.
v1: KCL로부터 [1L∫tt0(v1−vs)dt′+iL(t0)]+v1−v2R+C2dv1dt=0
v2: KCL로부터 [C1ddt(v2−vs)]+v2−v1R−is=0
식을 정리하면
v1R+C2dv1dt+1L∫tt0v1dt′−v2R=1L∫tt0vsdt′−iL(t0), −v1R+v2R+C1dv2dt=C1dvsdt+is
이 결과는 RLC회로의 전압-전류 관계가 선형적임을 뜻하고 따라서 RLC회로에도 테브난 또는 노턴이론을 적용할 수 있음을 뜻한다.
커패시터를 갖는 간단한 연산증폭기 회로
커패시터를 이용하여 미분기와 적분기를 구현할 수 있다.
적분기
va=vb=0, vs−vaR1=i=CfddtvCf, vCf=va−vout
CfddtvCf=1R1vs, vCf=−vout
vCf=1R1Cf∫t0vsdτ+vCf(0)
vout=−1R1Cf∫t0vsdτ−vCf(0)
미분기
va=vb=0, i=va−voutRf=C1ddtvC1, vC1=vs−va
i=−voutRf=C1ddtvC1
vout=−RfC1dvsdt
*인덕터를 사용한 미분기
va=vb=0, vs−va=iR1, vLf=va−vout, vLf=Lfdidt
▶i=vsR, −vout=Lfdidt=LfRsdvsdt
vout=−LfRsdvsdt
참고자료:
Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill
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