12. 무전원 병렬 RLC회로

12. 무전원 병렬 RLC회로

인덕터와 커패시터에 초기 에너지가 축적되어 있다고 하면 KCL로부터

$$\frac{v}{R}+\left[\frac{1}{L}\int_{t_{0}}^{t}{vd\tau}+i(t_{0})\right]+C\frac{dv}{dt}=0,\,i(0^{+})=I_{0},\,v(0^{+})=V_{0}$$이고 시간에 대해 한번 더 미분하면$$C\frac{d^{2}v}{dt^{2}}+\frac{1}{R}\frac{dv}{dt}+\frac{1}{L}v=0$$이고 2계 미분방정식의 풀이법으로 풀면 \(v(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}\) (\(\displaystyle s_{1}=-\frac{1}{2RC}+\sqrt{\left(\frac{1}{2RC}\right)^{2}-\frac{1}{LC}},\,s_{2}=-\frac{1}{2RC}-\sqrt{\left(\frac{1}{2RC}\right)^{2}-\frac{1}{LC}}\), \(A_{1}\), \(A_{2}\)는 초기조건 \(i(0^{+})=I_{0}\), \(v(0^{+})=V_{0}\)를 만족하게 하는 상수이다.) \(s_{1}t\)와 \(s_{2}t\)는 무차원이어야 하므로 \(s_{1}\)과 \(s_{2}\)의 차원은 \(\text{sec}^{-1}\)이고 따라서 \(\displaystyle\frac{1}{2RC}\)와 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{LC}}\)의 차원은 \(s^{-1}\)(\(\text{Hz}\), 주파수)이다. \(\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)를 공진주파수, \(\displaystyle\alpha=\frac{1}{2RC}\)를 네퍼주파수 또는 지수감쇠계수라고 한다.

(\(\alpha\)는 얼마나 빨리 자연응답이 감쇠해서 정상값에 도달하는가를 나타내는 척도이다.)

과도감쇠	\(\alpha>\omega_{0}\)	과도감쇠응답으로 나타나고 \(s_{1}=-\alpha+\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}\), \(s_{2}=-\alpha-\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}\) (\(s_{1}\), \(s_{2}\)는 실수)
임계감쇠	\(\alpha=\omega_{0}\)	임계감쇠응답으로 나타나고 \(s_{1}=s_{2}=-\alpha\) (\(s_{1}\), \(s_{2}\)는 실수)
과소감쇠	\(\alpha<\omega_{0}\)	과소감쇠응답으로 나타나고 \(s_{1}=-\alpha+j\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}\), \(s_{2}=-\alpha-j\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}\) (\(s_{1}\), \(s_{2}\)는 복소수)

회로이론에서는 전류기호를 \(i\)로 나타내기 때문에 허수단위 \(\sqrt{-1}\)를 \(j\)로 나타낸다. 즉 \(j=\sqrt{-1}\).

■과도감쇠 \((\alpha>\omega_{0})\): \(\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}<\alpha\)이므로 \(s_{1}<0\), \(s_{2}<0\). 따라서 \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{e^{s_{1}t}}=\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{e^{s_{2}t}}=0\).

\(R=6\Omega\), \(L=7\text{H}\), \(\displaystyle C=\frac{1}{42}\text{F}\), \(i(0)=10\text{A}\), \(v(0)=0\text{V}\)인 회로에서 \(\displaystyle\alpha=\frac{1}{2RC}=3.5\text{Hz}\), \(\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\sqrt{6}\text{Hz}\), \(s_{1}=-1\), \(s_{2}=-6\)

그러면 \(v(t)=A_{1}e^{-t}+A_{2}e^{-6t}\)이고 \(A_{1}\)과 \(A_{2}\)의 값을 결정하면 된다. 이때 \(i_{C}=i_{R}+i\)이고 \(\displaystyle i_{C}=C\frac{dv}{dt}\)이다. \(i_{C}(0)=i_{R}(0)+i(0)=10\)이므로 \(A_{1}+A_{2}=10\). 또한 \(\displaystyle\frac{dv}{dt}=-A_{1}e^{-t}-6A_{2}e^{-6t}\), \(\displaystyle i_{C}(0)=C\frac{dv}{dt}_{t=0}=\frac{1}{42}(-A_{1}-6A_{2})=10\)이므로 \(A_{1}+6A_{2}=-420\). 이 식을 \(A_{1}+A_{2}=10\)과 연립하여 풀면 \(A_{2}=-84\), \(A_{1}=84\)이고 따라서 고유응답은 \(v(t)=84(e^{-t}-e^{-6t})\text{V}\)이다.

■임계감쇠 \(\alpha=\omega_{0}\): \(\displaystyle\alpha=\frac{1}{2RC}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\omega_{0}\)이고 미분방정식은 \(\displaystyle\frac{d^{2}v}{dt^{2}}+2\alpha\frac{dv}{dt}+\alpha^{2}v=0\), 해의 형태는 \(v(t)=e^{-\alpha t}(A_{1}t+A_{2})\)이다.

\(t>0\)일 때 응답이 임계감쇠가 되도록 \(R_{1}\)값을 정하고 \(v(0)=100\text{V}\)가 되도록 \(R_{2}\)값을 정한 다음 \(v(t)(t>0)\)를 구하자.

이 회로는 \(t>0\)일 때의 회로이다. \(\displaystyle\alpha=\frac{1}{2RC}=\frac{10^{6}}{2R_{1}}\), \(\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=500\)이므로 \(R_{1}=1\text{k}\Omega\)이고 이때 \(\alpha=\omega_{0}=500s^{-1}\)이다.

\(t<0\)일 때 \(\displaystyle0.5=\frac{v(0)}{R_{2}}+\frac{v(0)}{R_{1}}=\frac{100}{R_{2}}+0.1\)이고 \(R_{2}=250\Omega\).

\(v(t)=e^{-500t}(A_{1}t+A_{2})\)이므로 \(v(0)=A_{2}=100\), \(\displaystyle\frac{dv}{dt}=A_{1}e^{-500t}-500e^{-500t}(A_{1}t+100)\), \(i_{C}(0^{+})=i_{L}(0)+i_{R}(0)=0.5\text{A}\), \(\displaystyle i_{C}(0^{+})=C\frac{dv}{dt}_{t=0}=10^{-6}(A_{1}-50000)=0.5\), \(A_{1}=450000\), 따라서 \(t>0\)일 때 \(v(t)=e^{-500t}(450000t+100)\text{V}\)이다.

■과소감쇠 \(\alpha<\omega_{0}\): \(\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}<0\)이므로 \(s_{1}=-\alpha+j\sqrt{\omega_{0}^{2}}-\alpha^{2}\), \(s_{2}=-\alpha-j\sqrt{\omega_{0}^{2}}-\alpha^{2}\)이고 \(\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}\)을 자연 공진주파수라고 한다. \(v(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}\)이고 \(s_{1}=-\alpha+j\omega_{d}\), \(s_{2}=-\alpha-j\omega_{d}\)이므로 오일러공식 \(e^{jt}=\cos t+j\sin t\)를 이용하여 \(v(t)=e^{-\alpha t}(B_{1}\cos\omega_{d}t+B_{2}\sin\omega_{d}t)\)로 나타낼 수 있다.

 

이 회로에서 \(t>0\)일 때 \(i_{L}(t)\)를 구하면?

\(t<0\)일 때 \(\displaystyle v_{C}(0^{-})=(3\text{A})\left(\frac{48\text100}{48+100}\right)=97.30\text{V}\), \(\displaystyle i_{L}(0^{-})=\frac{v_{C}(0^{-})}{48}=2.027\text{A}\)

\(\displaystyle\alpha=\frac{1}{2RC}=1.2\text{s}^{-1}\), \(\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=2\sqrt{6}=4.899\text{rad/s}\), \(\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}=4.750\text{rad/s}\). 그러면 \(i_{L}(t)=e^{-1.2t}(B_{1}\cos4.75t+B_{2}\sin4.75t)\)이다.

\(\displaystyle\frac{di_{L}}{dt}=e^{-1.2t}(-4.75B_{1}\sin4.75t+4.75B_{2}\cos4.75t)-1.2e^{-1.2t}(B_{1}\cos4.75t+B_{2}\sin4.75t)\), \(\displaystyle v_{L}(0^{+})=v_{C}(0^{+})=L\frac{di}{dt}_{t=0}\), \(i_{L}(0)=B_{1}=2.027\), \(v_{L}(0)=10(4.75B_{2}-1.2B_{1})\), \(B_{2}=2.561\). 따라서 \(t>0\)일 때 \(i_{L}(t)=e^{-1.2t}(2.027\cos4.75t+2.561\sin4.75t)\)

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill