13. 무전원 직렬 RLC회로

13. 무전원 직렬 RLC회로

KCL로부터 $\displaystyle L\frac{di}{dt}+Ri+\left[\frac{1}{C}\int_{t_{0}}^{t}{id\tau}+v_{C}(t_{0})\right]=0$이고 이 식을 시간 $t$에 대해 미분하면 $\displaystyle L\frac{d^{2}i}{dt^{2}}+R\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}i=0$이다.

$\displaystyle\alpha=\frac{R}{2L}$, $\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$라 하면, $\displaystyle s_{1}=-\frac{R}{2L}+\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}-\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right)^{2}}$, $\displaystyle s_{2}=-\frac{R}{2L}-\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}-\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right)^{2}}$이므로

$s_{1}=-\alpha+\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}$, $s_{2}=-\alpha-\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}$이다. 직렬 RLC회로의 응답도 병렬 RLC회로의 응답과 비슷하다. 즉

과도감쇠응답($\alpha>\omega_{0}$): $i(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}$

임계감쇠응답($\alpha=\omega_{0}$): $i(t)=e^{-\alpha t}(A_{1}t+A_{2})$

과소감쇠응답($\alpha<\omega_{0}$): $i(t)=e^{-\alpha t}(B_{1}\cos\omega_{d}t+B_{2}\sin\omega_{d}t)\,(\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}})$

직렬 RLC회로에서는 $\displaystyle\alpha=\frac{R}{2L}$이고 병렬 RLC회로에서는 $\displaystyle\alpha=\frac{1}{2RC}$이므로 직렬저항을 증가시키면 $\alpha$가 증가하고, 병렬저항을 증가시키면 $\alpha$가 감소한다.

유형	조건	기준	$\alpha$	$\omega_{0}$	응답
병렬	과도감쇠	$\alpha>\omega_{0}$	$\displaystyle\alpha=\frac{1}{2RC}$	$\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$	$i(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}$
직렬			$\displaystyle\alpha=\frac{R}{2L}$
병렬	임계감쇠	$\alpha=\omega_{0}$	$\displaystyle\alpha=\frac{1}{2RC}$	$\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$	$i(t)=e^{-\alpha t}(A_{1}t+A_{2})$
직렬			$\displaystyle\alpha=\frac{R}{2L}$
병렬	과소감쇠	$\alpha<\omega_{0}$	$\displaystyle\alpha=\frac{1}{2RC}$	$\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$	$i(t)=e^{-\alpha t}(B_{1}\cos\omega_{d}t+B_{2}\sin\omega_{d}t)$
직렬			$\displaystyle\alpha=\frac{R}{2L}$

$i(0)=2\text{mA}$, $v_{C}(0)=2\text{V}$, $\displaystyle\alpha=\frac{R}{2L}=1000\text{s}^{-1}$, $\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\sqrt{401}\times10^{3}=20,025\text{rad/s}$, $\alpha<\omega_{0}$이므로 과소감쇠응답이다. $\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}=20,000\text{rad/s}$이고 $i(t)=e^{-1000t}(B_{1}\cos20000t+B_{2}\sin20000t)$, $i(0)=2\text{mA}$이므로 $B_{1}=i(0)=0.002$, $\displaystyle\frac{di}{dt}=e^{-1000t}(-40\sin20000t+20000B_{2}\cos20000t)-1000e^{-1000t}(-2\cos20000t-1000B_{2}\sin20000t)$, $\displaystyle\frac{di}{dt}_{t=0}=20000B_{2}-2=\frac{v_{L}(0)}{L}$, $v_{L}(0)=v_{C}(0)-Ri(0)=2-2000(0.002)=-2\text{V}$. 따라서 $\displaystyle20000B_{2}-2=\frac{-2}{1}=-2$이고 $B_{2}=0$. 따라서 $i(t)=2e^{-1000t}\cos20000t\text{mA}\,(t>0)$이다.

  위의 오른쪽 회로는 $t>0$일때의 왼쪽 회로의 커패시터 부분에 대한 테브난 등가회로를 구하기 위해 시험전원을 연결한 회로이다. $v_{\text{test}}=(2+9)i-3i=8i=8\text{V}\,(i=1\text{A})$이므로 $\displaystyle R_{eq}=\frac{v_{\text{test}}}{1\text{A}}=8\Omega$이다. $L=5\text{H}$, $C=2\text{mF}$이므로 $\displaystyle\alpha=\frac{R_{eq}}{2L}=0.8\text{s}^{-1}$, $\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=10\text{rad/s}$, $\alpha<\omega_{0}$이므로 과소감쇠이고 $\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}=9.968\text{rad/s}$,

$t<0$일 때 $i_{L}(0^{-})=0$, $i(0^{-})=5\text{A}$, $v_{C}(0^{+})=v_{C}(0^{-})=10-3i(0^{-})=-5\text{V}$, 과소감쇠이므로 $v_{C}(t)=e^{-0.8t}(B_{1}\cos9.968t+B_{2}\sin9.968t)$이다. $v_{C}(0)=B_{1}=-5$이고 $\displaystyle\frac{dv_{C}}{dt}=9.968e^{-0.8t}(5\sin9.968t+B_{2}\cos9.968t)-0.8e^{-0.8t}(-5\cos9.968t+B_{2}\sin9.968t)$. $\displaystyle\frac{dv_{C}}{dt}_{t=0}=4+9.968B_{2}$, $\displaystyle i=-C\frac{dv_{C}}{dt}$, $i(0^{+})=i_{L}(0^{+})=0$이므로 $B_{2}=-0.4013$이고 따라서 $v_{C}(t)=-e^{-0.8t}(5\cos9.968t+0.4013\sin9.968t)\text{V}\,(t>0)$이다. 

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill