13. 무전원 직렬 RLC회로

13. 무전원 직렬 RLC회로

KCL로부터 \(\displaystyle L\frac{di}{dt}+Ri+\left[\frac{1}{C}\int_{t_{0}}^{t}{id\tau}+v_{C}(t_{0})\right]=0\)이고 이 식을 시간 \(t\)에 대해 미분하면 \(\displaystyle L\frac{d^{2}i}{dt^{2}}+R\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}i=0\)이다.

\(\displaystyle\alpha=\frac{R}{2L}\), \(\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)라 하면, \(\displaystyle s_{1}=-\frac{R}{2L}+\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}-\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right)^{2}}\), \(\displaystyle s_{2}=-\frac{R}{2L}-\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}-\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right)^{2}}\)이므로

\(s_{1}=-\alpha+\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}\), \(s_{2}=-\alpha-\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}\)이다. 직렬 RLC회로의 응답도 병렬 RLC회로의 응답과 비슷하다. 즉

과도감쇠응답(\(\alpha>\omega_{0}\)): \(i(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}\)

임계감쇠응답(\(\alpha=\omega_{0}\)): \(i(t)=e^{-\alpha t}(A_{1}t+A_{2})\)

과소감쇠응답(\(\alpha<\omega_{0}\)): \(i(t)=e^{-\alpha t}(B_{1}\cos\omega_{d}t+B_{2}\sin\omega_{d}t)\,(\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}})\)

직렬 RLC회로에서는 \(\displaystyle\alpha=\frac{R}{2L}\)이고 병렬 RLC회로에서는 \(\displaystyle\alpha=\frac{1}{2RC}\)이므로 직렬저항을 증가시키면 \(\alpha\)가 증가하고, 병렬저항을 증가시키면 \(\alpha\)가 감소한다.

유형	조건	기준	\(\alpha\)	\(\omega_{0}\)	응답
병렬	과도감쇠	\(\alpha>\omega_{0}\)	\(\displaystyle\alpha=\frac{1}{2RC}\)	\(\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)	\(i(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}\)
직렬			\(\displaystyle\alpha=\frac{R}{2L}\)
병렬	임계감쇠	\(\alpha=\omega_{0}\)	\(\displaystyle\alpha=\frac{1}{2RC}\)	\(\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)	\(i(t)=e^{-\alpha t}(A_{1}t+A_{2})\)
직렬			\(\displaystyle\alpha=\frac{R}{2L}\)
병렬	과소감쇠	\(\alpha<\omega_{0}\)	\(\displaystyle\alpha=\frac{1}{2RC}\)	\(\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)	\(i(t)=e^{-\alpha t}(B_{1}\cos\omega_{d}t+B_{2}\sin\omega_{d}t)\)
직렬			\(\displaystyle\alpha=\frac{R}{2L}\)

\(i(0)=2\text{mA}\), \(v_{C}(0)=2\text{V}\), \(\displaystyle\alpha=\frac{R}{2L}=1000\text{s}^{-1}\), \(\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\sqrt{401}\times10^{3}=20,025\text{rad/s}\), \(\alpha<\omega_{0}\)이므로 과소감쇠응답이다. \(\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}=20,000\text{rad/s}\)이고 \(i(t)=e^{-1000t}(B_{1}\cos20000t+B_{2}\sin20000t)\), \(i(0)=2\text{mA}\)이므로 \(B_{1}=i(0)=0.002\), \(\displaystyle\frac{di}{dt}=e^{-1000t}(-40\sin20000t+20000B_{2}\cos20000t)-1000e^{-1000t}(-2\cos20000t-1000B_{2}\sin20000t)\), \(\displaystyle\frac{di}{dt}_{t=0}=20000B_{2}-2=\frac{v_{L}(0)}{L}\), \(v_{L}(0)=v_{C}(0)-Ri(0)=2-2000(0.002)=-2\text{V}\). 따라서 \(\displaystyle20000B_{2}-2=\frac{-2}{1}=-2\)이고 \(B_{2}=0\). 따라서 \(i(t)=2e^{-1000t}\cos20000t\text{mA}\,(t>0)\)이다.

  위의 오른쪽 회로는 \(t>0\)일때의 왼쪽 회로의 커패시터 부분에 대한 테브난 등가회로를 구하기 위해 시험전원을 연결한 회로이다. \(v_{\text{test}}=(2+9)i-3i=8i=8\text{V}\,(i=1\text{A})\)이므로 \(\displaystyle R_{eq}=\frac{v_{\text{test}}}{1\text{A}}=8\Omega\)이다. \(L=5\text{H}\), \(C=2\text{mF}\)이므로 \(\displaystyle\alpha=\frac{R_{eq}}{2L}=0.8\text{s}^{-1}\), \(\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=10\text{rad/s}\), \(\alpha<\omega_{0}\)이므로 과소감쇠이고 \(\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}=9.968\text{rad/s}\),

\(t<0\)일 때 \(i_{L}(0^{-})=0\), \(i(0^{-})=5\text{A}\), \(v_{C}(0^{+})=v_{C}(0^{-})=10-3i(0^{-})=-5\text{V}\), 과소감쇠이므로 \(v_{C}(t)=e^{-0.8t}(B_{1}\cos9.968t+B_{2}\sin9.968t)\)이다. \(v_{C}(0)=B_{1}=-5\)이고 \(\displaystyle\frac{dv_{C}}{dt}=9.968e^{-0.8t}(5\sin9.968t+B_{2}\cos9.968t)-0.8e^{-0.8t}(-5\cos9.968t+B_{2}\sin9.968t)\). \(\displaystyle\frac{dv_{C}}{dt}_{t=0}=4+9.968B_{2}\), \(\displaystyle i=-C\frac{dv_{C}}{dt}\), \(i(0^{+})=i_{L}(0^{+})=0\)이므로 \(B_{2}=-0.4013\)이고 따라서 \(v_{C}(t)=-e^{-0.8t}(5\cos9.968t+0.4013\sin9.968t)\text{V}\,(t>0)\)이다. 

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill