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전자공학/회로이론2017. 9. 12. 23:00
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20. 주파수영역에서의 최대전력전달과 전압, 전류의 실효값


테브난 전압원 Vth, 임피던스 Zth=Rth+jXth가 부하 ZL=RL+jXL에 연결되어 있을 때, ZL=Zth(Zth의 켤레복소수, Zth=RthjXth)인 경우, 부하에 공급되는 평균전력이 최대가 된다.

IL=VthZth+ZL=Vth(Rth+RL)+j(Xth+XL), VL=VthZLZth+ZL=VthRL+jXL(Rth+RL)+j(Xth+XL)이므로 |IL|=|Vtj|(Rth+RL)2+(Xth+XL)2이고 위상각은 Vthtan1(Xth+XLRth+RL). 평균전력은 P=|Vth|2[(Rth+RL)2+(Xth+XL)2]cos(XLRL)이고 ZL=Zth일 때 전력이 최대로 공급된다.


비주기 함수에 대한 평균전력: 식 P=limτ1ττ2τ2p(t)dt를 이용하여 계산한다.


저항 R에 흐르는 전류가 i(t)=Im1cosω1t++Imncosωnt일 때의 평균전력: P=12(I2m1++I2mn)R

저항에 걸리는 전압이 v(t)=Vm1cosω1t++Vmncosωnt일 때의 평균전력: P=12R(V2m1++V2mn)

※전류가 두 직류전류의 합으로 표시되거나 또는 주파수가 같은 두 정현파로 표시되지 않는 경우, 중첩원리를 적용할 수 없다.


전압원이 저항부하에 전력을 공급하는 효능을 나타내는 척도를 실효값이라고 한다.


어떤 주기전류의 실효값은 주기전류가 저항 R에 공급하는 것과 동일한 전력을 공급하는 직류전류의 값이다. 주기가 T인 주기전류 i(t)가 저항에 공급하는 평균전력은 P=1TT0i2Rdt=RTT0i2dt. 왼쪽 아래의 회로에서 직류전류가 공급하는 전력은 P=I2effR이다. I2effR=RTT0i2dt이고 Ieff=1TT0i2dt. Ieff는 실효값이다. (실효값은 root-mean-square값 또는 간단히 rms값이라고 한다.)


정현파전류 i(t)=Imcos(ωt+ϕ)의 주기는 T=2πω이다. Ieff=1TT0I2mcos2(ωt+ϕ)dt=Imω2π2πω0(1+cos(2ωt+2π)2)dt=Im2이고 정현파전류의 실효값은 최댓값의 12배이다.

정현파전류가 저항 R에 공급하는 평균전력은 P=12I2mR이다. Ieff=Im2이므로 P=I2effR 또는 P=VeffIeffcos(θϕ)=V2effR이다.


다중 주파수 회로의 실효값은 비주기함수에 대한 평균전력과 비슷한 방식으로 구한다. 저항 R에 흐르는 전류가 i(t)=Im1cosω1t++Imncosωnt일 때 P=(I21eff++I2neff)R(=12(I2m1++I2mn)R).

주파수가 서로 다른 다양한 정현파로 구성된 전류의 실효값은 Ieff=I21eff++I2neff이다.

※직류에서 I(V)의 실효값은 I(V)이다.


어떤 회로에 인가되는 전압이 v=Vmcos(ωt+θ)이고 전류응답이 i=Imcos(ωt+ϕ)일 때 전압이 전류보다 앞서는 위상각은 (θϕ)이고 평균전력은 P=12VmImcos(θϕ)=VeffIeffcos(θϕ). 여기서 VeffIeff를 피상전력이라 하고 단위는 VA(볼트암페어)이다. 이때 평균전력과 피상전력의 관계는 P=VeffIeffcos(θϕ)VeffIeff이다. 피상전력과 평균전력의 비 PF=PVeffIeff=cos(θϕ)를 역률이라 하고 θϕ는 전압이 전류보다 앞서는 각이며 역률각이라고 한다. 역률각은 순수한 저항부하에서 θϕ=0이고 리액턴스 부하(저항이 없는 경우)에서 θϕ=±90이다.

유도성 부하(인덕터)는 뒤진위상(θϕ>0), 용량성 부하는 앞선위상(θϕ<0) PF(역률)를 갖는다.


이 회로의 전압의 실효값은 60Vrms, 합성 임피던스는 3+j4Ω, I=6003+j4=1253.13Arms, Ieff=12A, θ=0, ϕ=53.13이다.

위쪽 부하에 공급되는 평균전력은 I2effRup=122×2=288W (Rup=Re(2j)).

아래쪽 부하에 공급되는 평균전력은 I2effRdown=122×1=144W (Rdown=Re(1+j5)).

평균전력은 288+144=432W, 피상전력은 VeffIeff=60×12=720VA, 역률은 PF=PVeffIeff=432720=0.6, θϕ=53.13>0이므로 뒤진위상이다.


참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill

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Posted by skywalker222