20. 주파수영역에서의 최대전력전달과 전압, 전류의 실효값

20. 주파수영역에서의 최대전력전달과 전압, 전류의 실효값

테브난 전압원 \(\mathbf{V}_{th}\), 임피던스 \(\mathbf{Z}_{th}=R_{th}+jX_{th}\)가 부하 \(\mathbf{Z}_{L}=R_{L}+jX_{L}\)에 연결되어 있을 때, \(\mathbf{Z}_{L}=\mathbf{Z}_{th}^{*}\)(\(\mathbf{Z}_{th}\)의 켤레복소수, \(\mathbf{Z}_{th}^{*}=R_{th}-jX_{th}\))인 경우, 부하에 공급되는 평균전력이 최대가 된다.

\(\displaystyle\mathbf{I}_{L}=\frac{\mathbf{V}_{th}}{\mathbf{Z}_{th}+\mathbf{Z}_{L}}=\frac{\mathbf{V}_{th}}{(R_{th}+R_{L})+j(X_{th}+X_{L})}\), \(\displaystyle\mathbf{V}_{L}=\mathbf{V}_{th}\frac{\mathbf{Z}_{L}}{\mathbf{Z}_{th}+\mathbf{Z}_{L}}=\mathbf{V}_{th}\frac{R_{L}+jX_{L}}{(R_{th}+R_{L})+j(X_{th}+X_{L})}\)이므로 \(\displaystyle|\mathbf{I}_{L}|=\frac{|\mathbf{V}_{tj}|}{\sqrt{(R_{th}+R_{L})^{2}+(X_{th}+X_{L})^{2}}}\)이고 위상각은 \(\displaystyle\angle\mathbf{V}_{th}-\tan^{-1}\left(\frac{X_{th}+X_{L}}{R_{th}+R_{L}}\right)\). 평균전력은 \(\displaystyle P=\frac{|\mathbf{V}_{th}|}{2\left[(R_{th}+R_{L})^{2}+(X_{th}+X_{L})^{2}\right]}\cos\left(\frac{X_{L}}{R_{L}}\right)\)이고 \(\mathbf{Z}_{L}=\mathbf{Z}_{th}^{*}\)일 때 전력이 최대로 공급된다.

비주기 함수에 대한 평균전력: 식 \(\displaystyle P=\lim_{\tau\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{\tau}\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}}{p(t)dt}\)를 이용하여 계산한다.

저항 \(R\)에 흐르는 전류가 \(i(t)=I_{m_{1}}\cos\omega_{1}t+\cdots+I_{m_{n}}\cos\omega_{n}t\)일 때의 평균전력: \(\displaystyle P=\frac{1}{2}(I_{m_{1}}^{2}+\cdots+I_{m_{n}}^{2})R\)

저항에 걸리는 전압이 \(v(t)=V_{m_{1}}\cos\omega_{1}t+\cdots+V_{m_{n}}\cos\omega_{n}t\)일 때의 평균전력: \(\displaystyle P=\frac{1}{2R}(V_{m_{1}}^{2}+\cdots+V_{m_{n}}^{2})\)

※전류가 두 직류전류의 합으로 표시되거나 또는 주파수가 같은 두 정현파로 표시되지 않는 경우, 중첩원리를 적용할 수 없다.

전압원이 저항부하에 전력을 공급하는 효능을 나타내는 척도를 실효값이라고 한다.

어떤 주기전류의 실효값은 주기전류가 저항 \(R\)에 공급하는 것과 동일한 전력을 공급하는 직류전류의 값이다. 주기가 \(T\)인 주기전류 \(i(t)\)가 저항에 공급하는 평균전력은 \(\displaystyle P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{i^{2}Rdt}=\frac{R}{T}\int_{0}^{T}{i^{2}dt}\). 왼쪽 아래의 회로에서 직류전류가 공급하는 전력은 \(P=I_{eff}^{2}R\)이다. \(\displaystyle I_{eff}^{2}R=\frac{R}{T}\int_{0}^{T}{i^{2}dt}\)이고 \(\displaystyle I_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{i^{2}dt}}\). \(I_{eff}\)는 실효값이다. (실효값은 root-mean-square값 또는 간단히 rms값이라고 한다.)

정현파전류 \(i(t)=I_{m}\cos(\omega t+\phi)\)의 주기는 \(\displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}\)이다. \(\displaystyle I_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{I_{m}^{2}\cos^{2}(\omega t+\phi)dt}}=I_{m}\sqrt{\frac{\omega}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}{\left(\frac{1+\cos(2\omega t+2\pi)}{2}\right)dt}}=\frac{I_{m}}{\sqrt{2}}\)이고 정현파전류의 실효값은 최댓값의 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)배이다.

정현파전류가 저항 \(R\)에 공급하는 평균전력은 \(\displaystyle P=\frac{1}{2}I_{m}^{2}R\)이다. \(\displaystyle I_{eff}=\frac{I_{m}}{\sqrt{2}}\)이므로 \(P=I_{eff}^{2}R\) 또는 \(\displaystyle P=V_{eff}I_{eff}\cos(\theta-\phi)=\frac{V_{eff}^{2}}{R}\)이다.

다중 주파수 회로의 실효값은 비주기함수에 대한 평균전력과 비슷한 방식으로 구한다. 저항 \(R\)에 흐르는 전류가 \(i(t)=I_{m_{1}}\cos\omega_{1}t+\cdots+I_{m_{n}}\cos\omega_{n}t\)일 때 \(\displaystyle P=(I_{1eff}^{2}+\cdots+I_{neff}^{2})R\left(=\frac{1}{2}(I_{m_{1}}^{2}+\cdots+I_{m_{n}}^{2})R\right)\).

주파수가 서로 다른 다양한 정현파로 구성된 전류의 실효값은 \(I_{eff}=\sqrt{I_{1eff}^{2}+\cdots+I_{neff}^{2}}\)이다.

※직류에서 \(I(V)\)의 실효값은 \(I(V)\)이다.

어떤 회로에 인가되는 전압이 \(v=V_{m}\cos(\omega t+\theta)\)이고 전류응답이 \(i=I_{m}\cos(\omega t+\phi)\)일 때 전압이 전류보다 앞서는 위상각은 \((\theta-\phi)\)이고 평균전력은 \(\displaystyle P=\frac{1}{2}V_{m}I_{m}\cos(\theta-\phi)=V_{eff}I_{eff}\cos(\theta-\phi)\). 여기서 \(V_{eff}I_{eff}\)를 피상전력이라 하고 단위는 \(\text{VA}\)(볼트암페어)이다. 이때 평균전력과 피상전력의 관계는 \(P=V_{eff}I_{eff}\cos(\theta-\phi)\leq V_{eff}I_{eff}\)이다. 피상전력과 평균전력의 비 \(\displaystyle PF=\frac{P}{V_{eff}I_{eff}}=\cos(\theta-\phi)\)를 역률이라 하고 \(\theta-\phi\)는 전압이 전류보다 앞서는 각이며 역률각이라고 한다. 역률각은 순수한 저항부하에서 \(\theta-\phi=0^{\circ}\)이고 리액턴스 부하(저항이 없는 경우)에서 \(\theta-\phi=\pm90^{\circ}\)이다.

유도성 부하(인덕터)는 뒤진위상\((\theta-\phi>0)\), 용량성 부하는 앞선위상\((\theta-\phi<0)\) \(PF\)(역률)를 갖는다.

이 회로의 전압의 실효값은 \(60\text{Vrms}\), 합성 임피던스는 \(3+j4\Omega\), \(\displaystyle\mathbf{I}=\frac{60\angle0^{\circ}}{3+j4}=12\angle-53.13^{\circ}\text{Arms}\), \(I_{eff}=12\text{A}\), \(\theta=0^{\circ}\), \(\phi=-53.13^{\angle}\)이다.

위쪽 부하에 공급되는 평균전력은 \(I_{eff}^{2}R_{up}=12^{2}\times2=288\text{W}\) (\(R_{up}=\text{Re}(2-j)\)).

아래쪽 부하에 공급되는 평균전력은 \(I_{eff}^{2}R_{down}=12^{2}\times1=144\text{W}\) (\(R_{down}=\text{Re}(1+j5)\)).

평균전력은 \(288+144=432\text{W}\), 피상전력은 \(V_{eff}I_{eff}=60\times12=720\text{VA}\), 역률은 \(\displaystyle PF=\frac{P}{V_{eff}I_{eff}}=\frac{432}{720}=0.6\), \(\theta-\phi=53.13^{\circ}>0\)이므로 뒤진위상이다.

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill