20. 주파수영역에서의 최대전력전달과 전압, 전류의 실효값
테브난 전압원 Vth, 임피던스 Zth=Rth+jXth가 부하 ZL=RL+jXL에 연결되어 있을 때, ZL=Z∗th(Zth의 켤레복소수, Z∗th=Rth−jXth)인 경우, 부하에 공급되는 평균전력이 최대가 된다.
IL=VthZth+ZL=Vth(Rth+RL)+j(Xth+XL), VL=VthZLZth+ZL=VthRL+jXL(Rth+RL)+j(Xth+XL)이므로 |IL|=|Vtj|√(Rth+RL)2+(Xth+XL)2이고 위상각은 ∠Vth−tan−1(Xth+XLRth+RL). 평균전력은 P=|Vth|2[(Rth+RL)2+(Xth+XL)2]cos(XLRL)이고 ZL=Z∗th일 때 전력이 최대로 공급된다.
비주기 함수에 대한 평균전력: 식 P=limτ→∞1τ∫τ2−τ2p(t)dt를 이용하여 계산한다.
저항 R에 흐르는 전류가 i(t)=Im1cosω1t+⋯+Imncosωnt일 때의 평균전력: P=12(I2m1+⋯+I2mn)R
저항에 걸리는 전압이 v(t)=Vm1cosω1t+⋯+Vmncosωnt일 때의 평균전력: P=12R(V2m1+⋯+V2mn)
※전류가 두 직류전류의 합으로 표시되거나 또는 주파수가 같은 두 정현파로 표시되지 않는 경우, 중첩원리를 적용할 수 없다.
전압원이 저항부하에 전력을 공급하는 효능을 나타내는 척도를 실효값이라고 한다.
어떤 주기전류의 실효값은 주기전류가 저항 R에 공급하는 것과 동일한 전력을 공급하는 직류전류의 값이다. 주기가 T인 주기전류 i(t)가 저항에 공급하는 평균전력은 P=1T∫T0i2Rdt=RT∫T0i2dt. 왼쪽 아래의 회로에서 직류전류가 공급하는 전력은 P=I2effR이다. I2effR=RT∫T0i2dt이고 Ieff=√1T∫T0i2dt. Ieff는 실효값이다. (실효값은 root-mean-square값 또는 간단히 rms값이라고 한다.)
정현파전류 i(t)=Imcos(ωt+ϕ)의 주기는 T=2πω이다. Ieff=√1T∫T0I2mcos2(ωt+ϕ)dt=Im√ω2π∫2πω0(1+cos(2ωt+2π)2)dt=Im√2이고 정현파전류의 실효값은 최댓값의 1√2배이다.
정현파전류가 저항 R에 공급하는 평균전력은 P=12I2mR이다. Ieff=Im√2이므로 P=I2effR 또는 P=VeffIeffcos(θ−ϕ)=V2effR이다.
다중 주파수 회로의 실효값은 비주기함수에 대한 평균전력과 비슷한 방식으로 구한다. 저항 R에 흐르는 전류가 i(t)=Im1cosω1t+⋯+Imncosωnt일 때 P=(I21eff+⋯+I2neff)R(=12(I2m1+⋯+I2mn)R).
주파수가 서로 다른 다양한 정현파로 구성된 전류의 실효값은 Ieff=√I21eff+⋯+I2neff이다.
※직류에서 I(V)의 실효값은 I(V)이다.
어떤 회로에 인가되는 전압이 v=Vmcos(ωt+θ)이고 전류응답이 i=Imcos(ωt+ϕ)일 때 전압이 전류보다 앞서는 위상각은 (θ−ϕ)이고 평균전력은 P=12VmImcos(θ−ϕ)=VeffIeffcos(θ−ϕ). 여기서 VeffIeff를 피상전력이라 하고 단위는 VA(볼트암페어)이다. 이때 평균전력과 피상전력의 관계는 P=VeffIeffcos(θ−ϕ)≤VeffIeff이다. 피상전력과 평균전력의 비 PF=PVeffIeff=cos(θ−ϕ)를 역률이라 하고 θ−ϕ는 전압이 전류보다 앞서는 각이며 역률각이라고 한다. 역률각은 순수한 저항부하에서 θ−ϕ=0∘이고 리액턴스 부하(저항이 없는 경우)에서 θ−ϕ=±90∘이다.
유도성 부하(인덕터)는 뒤진위상(θ−ϕ>0), 용량성 부하는 앞선위상(θ−ϕ<0) PF(역률)를 갖는다.
이 회로의 전압의 실효값은 60Vrms, 합성 임피던스는 3+j4Ω, I=60∠0∘3+j4=12∠−53.13∘Arms, Ieff=12A, θ=0∘, ϕ=−53.13∠이다.
위쪽 부하에 공급되는 평균전력은 I2effRup=122×2=288W (Rup=Re(2−j)).
아래쪽 부하에 공급되는 평균전력은 I2effRdown=122×1=144W (Rdown=Re(1+j5)).
평균전력은 288+144=432W, 피상전력은 VeffIeff=60×12=720VA, 역률은 PF=PVeffIeff=432720=0.6, θ−ϕ=53.13∘>0이므로 뒤진위상이다.
참고자료:
Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill
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