21. 복소전력

21. 복소전력

복소전력의 크기는 피상전력, 복소전력의 실수부는 평균(유효)전력, 허수부는 무효전력이라고 한다. 정현파 전압이 $\mathbf{V}_{eff}=V_{eff}\angle\theta$, 정현파 전류가 $\mathbf{I}_{eff}=I_{eff}\angle\phi$일 때, 2단자 회로에 공급되는 전력은 다음과 같다.

평균전력: $P=V_{eff}I_{eff}\cos(\theta-\phi)=V_{eff}I_{eff}\text{Re}\{e^{j(\theta-\phi)}\}=\text{Re}\{V_{eff}e^{j\theta}\}I_{eff}e^{-j\phi}=\text{Re}\{\mathbf{V}_{eff}\mathbf{I}_{eff}^{*}\}$.

복소전력: $\mathbf{S}=V_{eff}I_{eff}e^{j(\theta-\phi)}=\mathbf{V}_{eff}\mathbf{I}_{eff}^{*}$. ($|\mathbf{S}|$는 피상전력, $\theta-\phi$는 역률각)

직각좌표형식으로 나타내면 $\mathbf{S}=P+jQ$이고 여기서 $P$는 평균전력(유효전력), $Q$는 무효전력이고 단위는 VAR(Volt-Ampere-Reactive)이다. 또한 $Q=V_{eff}I_{eff}\sin(\theta-\phi)$이다.

양	기호	공식	단위
평균전력	$P$	$P=V_{eff}I_{eff}\cos(\theta-\phi)$	$\text{W}$
무효전력	$Q$	$Q=V_{eff}I_{eff}\sin(\theta-\phi)$	$\text{VAR}$
복소전력	$\mathbf{S}$	$\mathbf{S}=P+jQ=V_{eff}I_{eff}\angle(\theta-\phi)=\mathbf{V}_{eff}\mathbf{I}_{eff}$	$\text{VA}$
피상전력	$|\mathbf{S}|$	$|\mathbf{S}|=|\mathbf{V}_{eff}\mathbf{I}_{eff}^{*}|=V_{eff}I_{eff}$	$\text{VA}$

전력 삼각각

전력측정

이 회로에서 결합된 부하가 흡수하는 복소전력은

$\mathbf{S}=\mathbf{V}\mathbf{I}^{*}=\mathbf{V}(\mathbf{I}_{1}^{*}+\mathbf{I}_{2}^{*})=\mathbf{V}\mathbf{I}_{1}^{*}+\mathbf{V}\mathbf{I}_{2}^{*}$이다.

이 회로에서 $(5+j10\Omega||-j10\Omega)=20-j10\Omega$, 전체전류 $\displaystyle\mathbf{I}=\frac{120\angle0^{\circ}\text{V rms}}{1+(20-j10)\Omega}=5.16\angle25.46^{\circ}\text{A rms}$, $\mathbf{V}_{2}$, $\mathbf{I}_{2}$를 $-j10\Omega$ 임피던스(커패시터)에 걸리는 전압, 전류라고 하면 $\mathbf{V}_{2}=(20-j10)\mathbf{I}=115.4\angle-11.1^{\circ}\text{V rms}$, $\mathbf{I}_{2}=\frac{\mathbf{V}_{2}}{-j10\Omega}=11.5\angle88.89^{\circ}\text{A rms}$. 또한 $5+j10\Omega$임피던스에 흐르는 전류를 $\mathbf{I}_{1}$이라고 하면 $\mathbf{I}_{1}=\mathbf{I}-\mathbf{I}_{2}=10.29\angle-64.45\text{A rms}$.

$1\Omega$저항에 흡수되는 복소전력: $(\mathbf{V}-\mathbf{V}_{2})\mathbf{I}^{*}=26.6+j0\text{VA}$

$-j10\Omega$커패시터에 흡수되는 복소전력: $\mathbf{V}_{2}\mathbf{I}_{2}^{*}=0-j1327\text{VA}$

$5+j10\Omega$임피던스에 흡수되는 복소전력: $\mathbf{V}_{2}\mathbf{I}_{1}^{*}=532.8+j1061\text{VA}$

전원에 흡수되는 복소전력: $120\angle0^{\circ}(-\mathbf{I})^{*}=-559+j266\text{VA}$

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill