[일반물리학 실험] 관성 모멘트 측정

관성 모멘트 측정

실험목적

회전 역학계에서의 여러모양의 물체(원반, 링, 막대, 직사각형 판)들에 대한 관성모멘트를 실험적으로 측정하고 이론적 계산과 비교한다.

실험원리

강체가 어떤 회전축을 중심으로 회전할 때의 관성모멘트를 \(I\)라고 하면, 이 때의 회전운동에너지 \(K\)는$$K=\frac{1}{2}I\omega^{2}$$로 주어진다. 여기서 \(\omega\)는 각속도이다.

이 실험에서는 원반, 링, 막대, 직사각형 판에 대한 관성모멘트를 측정하고자 한다. 여기서 언급된 물체에 대한 관성모멘트는 다음과 같다.

외형	관성모멘트	물체의 모양과 회전축 (질량은 \(M\)이다)
고체 실린더	\(\frac{1}{2}Mr^{2}\)
속이 빈 실린더	\(\frac{1}{2}M(r_{1}^{2}+r_{2}^{2})\)
둥근 막대	\(M\left(\frac{r^{2}}{4}+\frac{l^{2}}{12}\right)\)
네모난 막대	\(M\left(\frac{a^{2}}{12}+\frac{b^{2}}{12}\right)\)

왼쪽 그림과 같이 회전축 \(\mathrm{OO'}\)에 대한 관성모멘트가 \(I_{1}\)인 물체 (A)의 밑둥 (반지름 \(r\))에 줄을 감고 도르래를 통하여 질량 \(m_{1}\)인 물체에 연결하여 운동을 시킨다. 이 때 이 물체들의 운동에너지와 위치에너지의 합(역학적 에너지)은 일정하므로$$-m_{1}gh+\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}I_{1}\omega_{1}^{2}=0$$이다. 여기서 위치에너지는 \(h=0\)일 때 0으로 설정했다. 낙하하는 물체 \(m_{1}\)의 운동은 등가속도 낙하운동이므로 시간 \(t_{1}\)일 때(\(h=0\)일 때를 \(t=0\)으로 잡으면)의 속도는 \(v_{1}=\frac{2h}{t_{1}}\)로 주어진다. 이 식을 앞의 역학적 에너지 식에 대입하면$$m_{1}g=\frac{2m_{1}h}{t_{1}^{2}}+\frac{2I_{1}h}{t_{1}^{2}r^{2}}$$를 얻고, 이 식으로부터 \(I_{1}\)은$$I_{1}=m_{1}r^{2}\left(\frac{gt_{1}^{2}}{2h}-1\right)$$이다.

다음으로 원통형 물체 (B)를 A위에 올려 놓으면, B의 관성모멘트를 \(I_{2}\), 낙하 물체의 질량을 \(m_{2}\)라 할 때, 앞에서와 같은 방법으로$$I_{1}+I_{2}=m_{2}r^{2}\left(\frac{gt_{1}^{2}}{2h}-1\right)$$을 얻는다.

 A의 반지름 \(r\), 추의 낙하거리 \(h\)와 질량 \(m\), 낙하시간 \(t\)를 측정하게 되면, \(I_{1}\)과 \(I_{1}+I_{2}\)를 계산할 수 있어 \(I_{2}\)를 구할 수 있다.

참고:$$I_{2}=(I_{1}+I_{2})-I_{1}=r^{2}\left(g\frac{m_{2}t_{2}^{2}-m_{1}t_{1}^{2}}{2h}-(m_{2}-m_{1})\right)$$

실험기구 및 장치

(1) 관성모멘트 측정장치: 회전대(상하베어링 부착, 미세하게 작동)

(2) 관성모멘트 측정 시료: 고체 실린더(지름 250mm, 질량 약 3.85kg) 속이 빈 실린더(내부 반지름 220mm, 외부반지름 250mm, 질량 약 2.8kg, 둥근막대(지름 40mm, 길이 249mm, 질량 약 2.5kg), 네머난 막대(폭 54.5mm, 길이 249mm, 질량 약 2.35kg)

(속이 빈 실린더의 사진)

지지대 고정클램프(1개), 도르래 고정클램프(2개), 고리달린 추(100g 1개, 200g 1개, 수준기)

실험방법

(1) 관성모멘트 측정장치의 회전대 위에 수준기를 올려놓고 회전체를 돌려가면서 수평을 조절한다. (장치의 바닥에 있는 두 개의 수평조절 나사 이용)

(2) 버니어캘리퍼를 사용하여 회전대의 밑둥 반지름 \(r\)을 측정하고, 관성모멘트 측정시료의 외형을 측정한다. (예: 고체 실린더의 경우 시료의 반지름만 측정하면 된다.)

(3) 4m 길이의 줄을 사용하여 회전대의 밑둥 부분에 1m 조금 넘게 감은 후, 추를 연결한다. 떨어지는 거리가 1m 정도 되게 조정한다. 이때 사용한 추의 질량 (\(m\))을 결과표에 기록한다.

(4) 추를 낙하시키면 회전체가 회전하기 시작한다. 추가 낙하하기 시작하는 위치에서부터 실험자가 정한 위치까지 떨어지는 동안의 시간 \(t\)와 낙하거리 \(h\)를 측정한다. (매번 같은 위치에서 낙하하도록 한다.) 이 과정을 5번 반복하여 평균 낙하시간을 구한다.

(5) 이상의 실험으로 회전대의 관성모멘트 \(I_{1}\)을 계산한다.

(6) 회전대 위에 관성모멘트 측정시료를 올려놓고, 시료가 움직이지 않도록 조임나사를 조인다.

(7) (4)의 과정을 반복하여 회전대와 관성모멘트 측정 시료의 관성모멘트를 산출해 낸다. 결과로부터 측정시료만의 관성모멘트 \(I_{2}\)를 구한다.

(8) 실험에 사용한 측정 시료의 관성모멘트 이론값을 계산하고, 과정 (7)에서 구한 결과값을 비교한다.

(9) 측정시료를 바꾸어 이상의 과정을 반복 실험한다.

※ 이 실험에서 회전과정에서 마찰이 있고, 추를 낙하 시킬때 추는 중력 뿐만 아니라 공기저항도 받기 때문에 오차가 발생한다.

참고자료:

이, 공대생을 위한 일반물리학 실험, 경기대학교 일반물리학실험 교재편찬위원회

http://phylab.yonsei.ac.kr/board.php?board=experiment&command=body&no=19

http://hompi.sogang.ac.kr/physlab/pds/physlab1201_05.pdf

https://www.google.co.kr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=13&ved=0ahUKEwj3rdzW_4nSAhWCGJQKHfD_CwoQFghYMAw&url=http%3A%2F%2Fcfile213.uf.daum.net%2Fattach%2F1252861C49B85628398700&usg=AFQjCNFUDhq3gy2cPMED145B6W4kSLgrGw&sig2=albQmG8B-am1n_8gOTGIPw&bvm=bv.146786187,d.dGc&cad=rjt

http://vnatsci.ltu.edu/natsci/physics/labs/labmanuals/2012sp/P1/helppage/p1lab11.shtml