[일반물리학 실험] 직선무마찰실험(뉴턴의 운동 제 2법칙)

직선무마찰실험(뉴턴의 운동 제 2법칙)

실험목적

마찰이 없는 미끄럼판 트랙(air track)에서 병진운동, 진동운동 및 충돌에 의한 운동량 보존법칙 등 여러 가지 역학적 현상을 관찰한다.

실험영상

1차원 등속운동, 가속도와 뉴턴의 운동 제 2법칙

운동량과 충돌

실험이론

1) 1차원 등속운동

평평한 면 위에서 어떤 물체를 밀었다 놓으면 점점 속력이 줄어 멈추게 됨을 알 수 있다. 이 현상은 물체에 작용하는 외력이 없어지면 마찰력에 의해 운동이 멈춘다는 것을 보여준다.

 갈릴레이(Galileo Galilei: 1564-1642)는 "더 매끄러운(마찰이 거의 없는) 면 위에서 물체에 외력이 가해진다면 보다 천천히 속력이 감소할 것이며, 더욱 더 마찰을 줄이면 좀 더 먼 거리를 움직일 것이고, 결국 마찰이 전혀 없다면 무한히 일정한 속력으로 움직이게 될 것이다"라는 추리를 통해 이상적 물체의 운동을 생각했다. 뉴턴(Newton)은 이 원리를 자신의 세 가지 운동법칙 중 하나인 관성의 법칙(운동 제 1법칙)으로 택했다.

이 실험에서는 직선형 미끄럼판 트랙(track)에 압축공기를 균일하게 공급하여 활차(glider)와 트랙의 마찰을 최대한 줄여 무마찰 운동을 실현한 실험이다. 두 포토게이트를 통과한 활차의 속력을 비교함으로써, 물체의 운동을 이해하고자 하였다.

2) 가속도와 뉴턴의 운동 제 2법칙

(1) 등가속도 직선 운동시, 평균 가속도와 순간 가속도는 같다. 따라서 등가속도 직선 운동을 하는 물체의 속력은 다음과 같다.$$v=v_{0}+at$$

(\(t\): 시간, \(v_{0}\): 초기속도(\(t=0\)일 때의 속도), \(a\): 가속도)

마찬가지로 이 물체의 변위는 다음과 같다.$$x=x_{0}+\overline{v}t=x_{0}+\left(\frac{v_{0}+v}{2}\right)t=x_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}$$

(\(x_{0}\): 초기위치(\(t=0\)일 때의 물체의 위치), \(\overline{v}=\frac{v_{0}+v}{2}\): 평균속력)

※ 여기서 평균속도를 초기속도와 나중속도의 산술평균으로 나타냈다. 아마 일반물리학 이론수업시간에 평균속도가 초기속도와 나중속도의 산술평균이 아닌 위치변화량을 시간변화량으로 나눈 값이라고 배웠을 것이다. 그러나 등가속도 직선운동의 경우 초기속도와 나중속도의 평균으로 나타낼 수 있다. 등가속도 직선 운동하는 물체의 속도와 변위는 위와 같이 \(v=v_{0}+at,\,x=x_{0}+v_{0}+\frac{1}{2}at^{2}\)이고$$\overline{v}=\frac{x-x_{0}}{t}=v_{0}+\frac{1}{2}at=\frac{v+v_{0}}{2}$$이므로 등가속도 직선운동의 경우는 평균속도가 초기속도와 나중속도의 산술평균이 된다.

속도를 나타내는 식 \(v=v_{0}+at\)를 시간 \(t\)에 대해 나타내면 \(t=\frac{v-v_{0}}{a}\)이고 이 \(t\)를 위치를 나타내는 식 \(x=x_{0}+\frac{v_{0}+v}{2}t\)에 대입하면 \(x=x_{0}+\frac{v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}\)이고 \(v^{2}-v_{0}^{2}=2a(x-x_{0})\)이다. 그러므로 가속도 \(a\)는$$a=\frac{v^{2}-v_{0}^{2}}{2(x-x_{0})}$$이다.

(2) 질량이 \(m_{2}\)인 물체와 질량이 \(m_{1}\)인 물체가 도르래를 사이에 두고 연결되어있다. 질량이 \(m_{1}\)인 물체는 마찰이 없는 면 위에 있고, 질량이 \(m_{2}\)인 물체는 도르래에 매달려 있다. 뉴턴의 운동 제 2법칙에 의해 도르래에 매달린 질량 \(m_{2}\)에 의해 \(m_{1}\), \(m_{2}\)에 가속도 \(a\)가 생기므로 \(m_{2}g=(m_{1}+m_{2})a\)이고$$a=\frac{m_{2}g}{m_{1}+m_{2}}$$이다.

이것은 마찰을 무시한 질량 \(m_{2}\)의 이론적인 가속도이다.

3) 운동량과 충돌

 운동량 보존법칙과 에너지 보존법칙을 사용하여 충돌 후 결과를 생각할 수 있다. 질량이 \(m_{a}\), \(m_{b}\)이고 충돌전의 속도 \(v_{ai}\), \(v_{bi}\), 충돌후의 속도 \(v_{af}\), \(v_{bf}\)라 하자. 한쪽 방향을 운동량과 속도의 양의 방햐응로 잡는다. 우선 탄성충돌일 경우에 운동량 보존법칙에 따라$$m_{a}v_{ai}+m_{b}v_{bi}=m_{a}v_{af}+m_{b}v_{bf}$$가 성립한다. 이때 운동에너지가 보존되는 경우$$\frac{1}{2}m_{a}v_{ai}^{2}+\frac{1}{2}m_{b}v_{bi}^{2}=\frac{1}{2}m_{a}v_{af}^{2}+\frac{1}{2}m_{b}v_{bf}^{2}$$이며 위 두 식으로부터 충돌 후 속도

$$v_{af}=\frac{m_{a}-m_{b}}{m_{a}+m_{b}}v_{ai}+\frac{2m_{b}}{m_{a}+m_{b}}v_{bi}\\v_{bf}=\frac{2m_{a}}{m_{a}+m_{b}}v_{ai}+\frac{m_{b}-m_{a}}{m_{a}+m_{b}}v_{bi}$$를 얻는다. 완전 비탄성 충돌(충돌 후 한 덩어리가 됨)일 경우에는 운동량 보존원리를 사용해서$$m_{a}v_{ai}+m_{b}v_{bi}=(m_{a}+m_{b})v_{f}$$에서 \(v_{f}\)를 알 수 있다.

실험기구 및 장치

(1) 에어트랙(air track) 부속품

(2) 에어트랙(air track), 공기주입기(air supply), 호스(hose), 포토게이트(photogate) 2대

(3) 도르래

실험방법

1) 1차원 등속운동

1. 포토게이트 전원 버튼을 누른다.

2. gate와 start 버튼을 누르고(on), RESET을 누르면 포토게이트의 디스플레이는 0이 표시된다.

3. 공기주입기를 트랙에 연결하고 전원을 켠다. 이때 공기주입량은 활차가 트랙상에 가볍게 떠서 마찰없이 부드럽게 움직일 수 있을만큼 적당히 다이얼을 돌려 조절한다.

4. 수평계등을 이용하여 트랙을 완전한 수평이 되도록 한다. 공기주입기가 작동상태에서 활차가 어느쪽으로도 움직이지 않도록 한다.

5. 활차에 범퍼 및 플레그를 꼽고, 한 쪽에서 살짝 밀어주어 움직이도록 한다. 이때 활차가 포토게이트를 통과한 시각(gate mode: 플레그가 통과한 시간)을 측정하여 속도를 계산해 본다.

6. 플레그는 폭이 다른 것으로 사용해 보고 활차의 속도를 변화시켜가며 두 포토게이트를 통과하는 속도의 변화를 관찰해 본다.

7. 속도의 변화가 있었는가? 공기 주입기가 켜진 상태와 꺼진 상태의 물체의 운동은 어떤가?

2) 운동량과 충돌

(1) 탄성충돌

(i) 동일질량의 충돌 \((m_{a}=m_{b})\)

1. 트랙이 완전한 수평이 되도록 하고, gate와 start버튼을 누르고 (on), RESET을 눌러 디스플레이를 0으로 표시한다.

2. 포토게이트는 위의 그림처럼 장치하고 활차 \(m_{b}\)가 정지해 있는 경우(점선으로 그려진 활차)와 \(m_{b}\)가 운동하는 경우에 대해 각각 실험한다.

3. \(m_{a}\)에 살짝 힘을 가하여 포토게이트 A를 통과하는데 걸리는 시간과 충돌후 \(m_{b}\)가 포토게이트 B를 통과하는데 걸리는 시간을 측정한다.

4. 속도를 변화시켜 가며 위 과정을 5회 이상 반복하고 측정값을 기록하고, 충돌전과 후의 운동량 및 운동에너지를 구하여 운동량 및 운동에너지 보존법칙이 성립하는가를 확인한다.

(ii) 다른 질량의 충돌 (\(m_{a}\neq m_{b}\))

1. 위의 그림과 같이 동일질량의 충돌과 똑같다. 활차 양쪽의 추걸이 부분에 질량을 달고 \(m_{a}>m_{b}\) 또는 \(m_{b}>m_{a}\)인 경우에 대해 실험을 한다.

2. 결과에 대해서 논의하고 탄성충돌에 대한 종합적인 결과를 논의한다.

(2) 비탄성충돌의 경우

1. \(m_{a}\)에는 비늘을, \(m_{b}\)에는 바늘소켓(비탄성 충돌용 고무)을 끼우고 위의 그림과 같이 장치한 다음 트랙의 수평을 유지한다.

2. 탄성충돌의 경우와 같이 한쪽이 정지해 있는 경우에는 \(m_{b}\)를 두 포토게이트의 가운데 부분에 둘 다 운동하는 경우에는 두 포토게이트의 바깥쪽으로 초기위치를 잡는다.

3. 앞의 실험 과정과 똑같이 실험하여 측정값을 기록한다.

4. 속도와 질량을 변화시켜 여러번 실험을 반복하고, 운동량, 운동에너지, 총에너지 보존에 대해서 각각 알아보고 완전 탄성충돌과 비교한다.

3) 가속도와 뉴턴의 운동 제 2법칙

1. 미끄럼판을 완전한 수평이 되도록 한다.

2. 위의 그림과 같이 포토게이트를 장치하고, 추걸이에 질량 \(m_{1}(=5\mathrm{g})\)을 매달아 실로 활차와 연결하고 정지상태를 유지한다.

3. 두 포토게이트 사리의 거리(\(x\))를 측정한다. 트랙의 끝에는 완충기(bumper)를 반드시 부착하여 활차와 트랙이 부딫쳐 손상되지 않도록 주의한다.

4. 활차를 가만히 놓아서 두 포토게이트를 통과하는 시간(\(t_{0},\,t\))을 각각 측정한다.

5. 위 실험을 5회 반복하고 가속도 \(a\)를 구하여 뉴턴의 운동 제 2법칙에 의한 이론적인 값과 비교한다.

※ 이 실험은 에어트랙 위에 활차를 떠 있는 상태로 해서 실험하는 것이다. 공중에 떠 있을 때 공기저항이 있기 때문에 이론에 의해 구해진 값과 서로 다른 값을 얻게 된다. 또한 등속운동 실험에서 트랙을 살짝 미는 과정이 있는데 이 과정이 등속운동인지는 불분명하고 도르래에 실이 걸쳐있지만 마찰을 받기 때문에 이론적인 값과 다르게 나온다.

참고자료

Physics for scientists and engineers with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning

http://demoweb.physics.ucla.edu/sites/default/files/Physics6A_Exp3.pdf

http://phylab.yonsei.ac.kr/board.php?board=reference&body_only=y&button_view=n&command=body&no=3

이, 공대생을 위한 일반물리학실험, 경기대학교 일반물리학실험 교재편찬위원회, 북스힐