[일반물리학 실험] 중력가속도 측정-Borda 진자

중력가속도 측정-Borda 진자

실험목적

Borda진자의 주기와 길이를 측정하여 그 지점의 중력가속도 $g$를 구한다.

실험원리

1) 단진자의 경우

 단진자는 질량이 무시되는 길이 $l$인 끈에 크기가 무시되는 질량 $m$인 추가 추 중심에서 진자 끝까지의 거리가 $L$이 되도록 매달려 주기운동하는 것이다. 즉, $m$ 인 추가 되돌아가려는 힘인 복원력이 존재한다. 즉, $$F=-mg\sin\theta=m\frac{d^{2}S}{dt^{2}}$$ 이다. $\sin\theta$가 매우 작다면 $\theta$로 근사가 가능하다. 그러므로 $$\theta=\frac{S}{L}$$

($L=l+r$, $r$: 추의 반지름)

이고 $$m\frac{d^{2}S}{dt^{2}}=-mg\theta=-mg\frac{S}{L}$$ 이므로 $$m\frac{d^{2}S}{dt^{2}}=-\frac{g}{L}S=-\omega^{2}S\,\,\left(\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}\right)$$ 즉, $$\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$$ 이다. 그러므로 $$\sqrt{\frac{g}{L}}=\frac{2\pi}{T},\,\,\frac{g}{L}=\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}$$ 이고, 중력가속도는 $$g=\frac{4\pi^{2}L}{T^{2}}$$ 이다.

2)물리진자의 경우

물리진자는 질량 $M$인 강체가 임의의 회전축 $O$를 중심으로 연직선 내에서 진동하는 것이므로 운동방정식은 $$\tau=I\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=-mg(l+r)\sin\theta$$ 이고 $\theta$가 매우 작기 때문에 $\sin\theta$를 $\theta$로 근사가 가능하다. 그러므로 $$\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=-\frac{mg(l+r)\theta}{I},\,\,\theta=A\cos\sqrt{\frac{mg(l+r)}{I}}t$$ 이고 $$\omega^{2}=\frac{mg(l+r)}{I},\,\,\omega=\sqrt{\frac{mg(l+r)}{I}}=\frac{2\pi}{T}, \frac{mg(l+r)}{I}=\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}$$ 진자의 관성모멘트가 $I=\frac{2}{5}mr^{2}+m(l+r)^{2}$이므로 $$g=\frac{4\pi^{2}}{m(l+r)T^{2}}\left(\frac{2}{5}mr^{2}+m(l+r)^{2}\right)=\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}\left(\frac{2}{5}\frac{r^{2}}{(l+r)}+(l+r)\right)$$ 이다.

실험기구 및 장치

(1) Borda 진자

(2) 초시계, 미터자

실험방법

1) 예비실험

(1) 진자가 양쪽 지지대 사이에서 진동시킴과 동시에 하도록 초시계를 누른다.(한 평면에서 진자가 진동할 수 있도록 한다.)

(2) 10회 진동시간을 측정하여 주기 $T$를 구한다.

(3) 추를 제외하고 받침날을 흔들어 10회 진동시간을 측정하여 주기 $T'$을 계산한다.

(4) $T$와 $T'$이 같다면 본 실험을 계속한다.

(5) 만약 $T$와 $T'$이 같지 않다면, 받침날에 부착된 이동 나사추를 위 아래로 움직이면서 (1)과 (2)를 반복한다. 또 이동나사로 $T$와 $T'$가 같아지지 않는다면, 철사를 조금씩 줄이거나 늘이면서 (1)과 (2)를 반복한다.

2) 본실험

(1) $T$와 $T'$이 같아지면 받침날에 철사가 달린 진자를 고정시킨다.

※주의: 고정이 끝난 후에는 받침날의 이동나사를 움직이지 말아야 하며, 철사의 길이도 자르거나 늘이지 말아야 한다.

(2) 예비실험의 실험과정 (1)과 (2)를 하고, 매 10회마다 190회까지 시간을 계속 기록하여 100회차 시간의 평균값으로 주기를 구한다. (예: 100회~0회, 110회~10회)

(3) 받침날 끝부터 진자 바로 위까지 줄자로 길이 1을 5회 측정하여 기록하고 평균값을 구한다.

(4) 진자의 직경을 버니어 캘리퍼를 이용하여 5회 측정하여 반경 $r$을 구한 후 평균을 구한다.

(5) 중력가속도 $g$을 계산한다.

※지구의 질량을 $M_{E}$, 지구의 반지름을 $R_{E}$, 지면에서의 높이를 $h$라 하자. 그러면 만유인력 공식으로부터 지구중심에서 $R_{E}+h$만큼 떨어져 있는 물체의 중력가속도는 $$g=G\frac{M_{E}}{(R_{E}+h)^{2}}$$ 이다.($G$는 만유인력상수 이다.) $R_{E}$의 값이 $h$보다 엄청 크기 때문에 $h$를 무시해서 $$g=G\frac{M_{E}}{R_{E}^{2}}$$ 로 나타낸다.

참고자료:

http://contents.kocw.net/KOCW/document/2015/chosun/parksohee/05.pdf

http://hompi.sogang.ac.kr/physlab/pds/gep1-7.pdf

이, 공대생을 위한 일반물리학 실험, 경기대학교 일반물리학실험 교재편찬위원회, 북스힐