[일반물리학 실험] 역학적 에너지 보존

역학적 에너지 보존

실험목적

 지상의 중력장에서 역학적 에너지 보존법칙을 확인하기 위하여 경사면과 원주궤도를 따라 구를 굴러 내려가게 하며 물리량들을 측정한다.

실험영상

실험원리

 구가 굴러서 운동을 진행할 때 운동에너지 $E_{k}$는

$$E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}I\omega^{2}$$ 이다. 여기서 $\frac{1}{2}I\omega^{2}$는 회전 운동에너지이고 구의 관성모멘트 $I$는 $I=\frac{2}{5}mr^{2}$이며(r: 구의 반지름) $v=r\omega$이므로 따라서 $$E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}I\omega^{2}=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{5}mv^{2}=\frac{7}{10}mv^{2}$$ 이다.

※구가 미끄러지지 않으면 실제 실험의 $v=r\omega$에서 $r$이 원주궤도와 구의 회전 중심축 사이의 거리로 대치되어야 한다($\frac{7}{10}$을 다소 큰 수로 바꾼다).

구가 점 $A$(높이 $h_{A}$에서 정지상태로 출발하여 아래의 그림과 같은 경로를 굴러내려 원형궤도를 이탈하지 않고 맨 윗점 $T$를 통과한, 경우, 점 $T$에서 역학적 에너지 $E_{T}$와 원형궤도에서 가장 밑부분에 있는 점 $D$에서 구의 속력 $v_{D}$를 구해보자. 궤도를 이탈하지 않고 점 $T$를 통과하였기 때문에 원심력과 중력이 같아야 한다.

금속구의 운동 경로

즉,

$$\frac{mv_{T}^{2}}{R}=mg$$ 여기에서 $R$은 원형궤도의 반지름이고 $g$는 중력가속도이다. 또 에너지가 보존되어야 하기 때문에 점 $T$를 지날 때의 금속 구의 에너지(운동에너지+위치에너지)는 점 $D$를 지날 때의 에너지와 같아야 한다. $$E=E_{k}+E_{p}=\frac{7}{10}mv_{T}^{2}+2Rmg=\frac{7}{10}mv_{D}^{2}$$ 즉, $$E=\frac{27}{10}mgR=\frac{7}{10}mv_{D}^{2}$$ 이다. 이 에너지는 높이 $h_{A}$에서 정지상태에 있는 금속 구의 위치에너지와 같다.

본 실험에서는

$$\frac{27}{10}mgR=mgh_{A}$$ 가 성립하는가를 확인하고자 한다.

높이가 $h_{A}$인 점 $A$에서 정지상태로 출발하여 점 $B$를 지나는 시간 $t_{B}$와 점 $C$를 지나는 시간 $t_{C}$의 차이 $\Delta t=t_{C}-t_{B}$를 센서(포토게이트)를 이용해 측정한다. 두 지점에서 에너지는 같으므로 에너지 보존의 법칙으로부터 경로상의 임의의 점에서의 속도 $v$와 그 지점의 높이 $h$에 대하여

$$\frac{7}{10}mv_{A}^{2}+mgh_{A}=\frac{7}{10}mv^{2}+mgh\,\,\,\,(*)$$ 의 관계가 성립한다. $v_{A}=0$이므로 $$v^{2}=\frac{10}{7}g(h_{A}-h)$$ 이다. 이 식을 시간 $t$에 대해 미분하면 $$2va=\frac{10}{7}gv\sin\theta$$ 이고 이 식을 정리하면 $a=\frac{5}{7}g\sin\theta$이다. $$v=\sqrt{\frac{10}{7}g(h_{A}-h)}$$

이고 점 $B$와 점 $C$를 지나는 시간 $t_{B}$와 $t_{C}$의 차이 $\Delta t=t_{C}-t_{B}$는 다음과 같이 주어진다.

$$\Delta t=\frac{v_{C}-v_{B}}{a}=\sqrt{\frac{14}{5g}}\frac{1}{\sin\theta}\left[\sqrt{h_{A}-h_{C}}-\sqrt{h_{A}-h_{B}}\right]$$

이 식은 에너지 보존식 $(*)$로부터 얻어진 식으로 실험과 일치하는지 확인한다.

실험방법

(1) 구의 공간운동 장치, 시간측정용 센서

(2) 캘리퍼, 줄자, 수직기, 각도기

실험방법

(1) 구의 공간운동 장치를 설치하고 직선 트랙의 기울기를 각도기를 이용하여 측정한다.

(2) 금속 구의 출발점 높이를 변화시키면서 금속 구가 원형 트랙을 겨우 접촉하면서 통과할 때의 높이 $h_{A}$를 구한다.

(3) (2)의 방법으로 구한 각각의 $h_{A}$가

$$\frac{27}{10}mgR=mgh_{A}$$ 를 만족시키는가를 확인하고, 이론값과의 오차를 구한다.

(4) 트랙의 직선구간의 서로 다른 점 $B$와 $C$에 센서를 장치하고 그 높이 $h_{B}$와 $h_{C}$를 측정한다.

(5) 두 점 $B$와 $C$ 사이의 사선 거리 $s_{BC}$와 두 점의 높이 차이 $h_{BC}=h_{B}-h_{C}$를 측정하여 트랙의 기울기 $\theta=\sin^{-1}\left(\frac{h_{BC}}{s_{BC}}\right)$를 구한다.

(6) 점 $A$로부터 정지상태로 출발한 금속 구가 점 $B$와 점 $C$를 통과하는 시간간격 $t_{BC}=t_{C}-t_{B}$를 측정한다.

(7) (6)에서 구한 $t_{BC}$가 식

$$\Delta t=\frac{v_{C}-v_{B}}{a}=\sqrt{\frac{14}{5g}}\frac{1}{\sin\theta}\left[\sqrt{h_{A}-h_{C}}-\sqrt{h_{A}-h_{B}}\right]$$ 와 일치하는지 확인하고 그 오차를 계산한다.

(8) 트랙의 각도를 달리하는 네 가지 다른 경우에 대해 (1)-(7)을 반복하고 트랙의 기울기와 오차와의 관계를 생각해 본다.

(이 실험에서 금속 구를 다른 구로 바꾸고 같은 실험을 수행하여 비교할 수 있다.)

주의: 역학적 에너지 보존실험 중 $h_{A}$, $h_{B}$, $h_{C}$ 길이를 측정 할 때, 각도 $\theta$를 높이면 원형궤도가 실험테이블에서 점차 떨어지기 때문에 길이 측정 시 측정한 길이에서 테이블에서 원형궤도가 떨어진 길이 만큼을 빼야 정확한 $h_{A},\,h_{B},\,h_{C}$의 길이를 측정할 수 있다.

※이 실험에서 구와 궤도 사이의 마찰로 인해 오차가 발생한다.

참고자료:

이, 공대생을 위한 일반물리학 실험, 경기대학교 일반물리학실험 교재편찬위원회, 북스힐

http://sirius.ucsc.edu/demoweb/mechan/collis.php

http://hompi.sogang.ac.kr/physlab/pds/gep1-6.pdf