15. 라플라스변환에서의 미분과 적분

15. 라플라스변환에서의 미분과 적분

구간 $[0,\,\infty)$에서 조각연속이고 $i=0,\,1,\,...,\,n$에 대하여 $f^{(i)}(t)\leq Me^{kt}$ ($M$, $k$는 상수, $s>k$)를 만족하는 함수 $f(t),\,f'(t),\,...,\,f^{(n)}(t)$에 대하여 $\mathcal{L}(f'(t))=s\mathcal{L}(f(t))-f(0)$이다. 이는 부분적분을 이용하여 보일 수 있다. 즉 $$\mathcal{L}(f'(t))=\int_{0}^{\infty}{e^{-st}f'(t)dt}=\left[f(t)e^{-st}\right]_{0}^{\infty}+s\int_{0}^{\infty}{e^{-st}f(t)}=s\mathcal{L}(f(t))-f(0)$$ 이다. 또한 수학적귀납법을 이용하여 $$\mathcal{L}(f^{(n)}(t))=s^{n}\mathcal{L}(f(t))-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f(0)-\cdots-sf^{(n-2)}(0)-f^{(n-1)}(0)$$ 이 성립함을 보일 수 있다.

위의 조건을 만족하는 함수 $f(t)$에 대하여 $\displaystyle g(t)=\int_{0}^{t}{f(\tau)d\tau}$라고 하자. 그러면 $g(0)=0$, $g'(t)=f(t)$이므로 $\displaystyle\int_{0}^{t}{f(\tau)d\tau}$의 라플라스 변환 $\displaystyle\mathcal{L}\left(\int_{0}^{t}{f(\tau)d\tau}\right)$은 위의 결과를 이용하여 구할 수 있다. $\displaystyle\mathcal{L}(f(t))=s\mathcal{L}\left(\int_{0}^{t}{f(\tau)d\tau}\right)$이므로 $\displaystyle\mathcal{L}\left(\int_{0}^{t}{f(\tau)d\tau}\right)=\frac{1}{s}\mathcal{L}(f(t))$이다.

라플라스 변환이 존재하는 함수 $f(t)$의 라플라스 변환을 $F(s)$라 하자. 그러면 $$\frac{d}{ds}F(s)=\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty}{e^{-st}f(t)dt}=\int_{0}^{\infty}{f(t)\left(\frac{d}{ds}e^{-st}\right)dt}=-\int_{0}^{\infty}{f(t)te^{-st}dt}=\int_{0}^{\infty}{\{-tf(t)\}e^{-st}dt}$$ 이므로 $F(s)=\mathcal{L}(f(t))$라 하면 $F'(s)=\mathcal{L}(-tf(t))$이다. 수학적 귀납법으로부터 $F^{(n)}(s)=\mathcal{L}((-1)^{n}t^{n}f(t))$임을 알 수 있다.

$\displaystyle f(t)=\frac{1}{\omega}\sin\omega t$에 대하여 $\displaystyle\mathcal{L}(f(t))=\frac{1}{\omega^{2}+s^{2}}$, $f'(t)=\cos\omega t$, $f(0)=0$이므로 $\displaystyle\mathcal{L}(f'(t))=s\mathcal{L}(f(t))=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}$이다. 또한 $g(t)=e^{at}\,(a<0)$에 대하여 $\displaystyle\int_{0}^{t}{g(\tau)d\tau}=\frac{e^{at}-1}{a}$, $\displaystyle\mathcal{L}(g(t))=\frac{1}{s-a}$이므로 $\displaystyle\mathcal{L}\left(\frac{e^{at}-1}{a}\right)=\frac{1}{s(s-a)}$이다. $h(t)=t\sin t$에 대하여 $\displaystyle\mathcal{L}(\sin t)=\frac{1}{s^{2}+1}$이므로 $\displaystyle\frac{d}{ds}\frac{1}{s^{2}+1}=-\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}$이고 따라서 $\displaystyle\mathcal{L}(h(t))=\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}$이다.

참고자료:

미분방정식 입문: 김병수, 양영균, 북스힐

선형미분방정식과 그 응용, 심재동, 하준홍, 경문사

미분방정식 및 그 응용, 김병학, 김진용, 박성일, 하성남, 홍범일(공저), 청문각