17. 선형연립미분방정식(1)

17. 선형연립미분방정식(1)

*본 내용은 선형대수학의 고유값, 고유벡터, 대각화, 지수행렬의 개념을 알아야 합니다.

고유값, 고유벡터: https://mathphysics.tistory.com/464?category=607901

대각화: https://mathphysics.tistory.com/465?category=607901

지수행렬: 행렬 $A$의 지수행렬은 $\displaystyle e^{A}=I+A+\frac{A^{2}}{2!}+\cdots$이다. 

선형연립미분방정식의 풀이는 선형대수학의 방법을 이용하면 편리하다. 다음의 선형연립미분방정식을 고려하자.

$$\begin{align*}y_{1}'(t)&=a_{11}y_{1}(t)+a_{12}y_{2}(t)+\cdots+a_{1n}y_{n}(t)\\y_{2}'(t)&=a_{21}y_{1}(t)+a_{22}y_{2}(t)+\cdots+a_{2n}y_{n}(t)\\ \vdots&\\y_{n}'(t)&=a_{n1}y_{1}(t)+a_{n2}y_{2}(t)+\cdots+a_{nn}y_{n}(t)\end{align*}$$ 여기서 $y_{i}=f_{i}(t)\,(i=1,\,2,\,...,\,n)$들은 구간 $I=[a,\,b]$에서 미분가능한 실함수이고 $\displaystyle y_{i}'=\frac{d}{dt}f_{i}(t)$는 $y_{i}$의 도함수, $f_{i}(0)=y_{i}$는 $0\in I$일 때의 초기값이다.    

위의 선형연립미분방정식을 다음과 같이 행렬로 나타낼 수 있다.

$$\mathbf{y}'(t)=\begin{pmatrix}y_{1}'(t)\\y_{2}'(t)\\ \vdots\\y_{n}'(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{1}(t)\\y_{2}(t)\\ \vdots\\y_{n}(t)\end{pmatrix}=A\mathbf{y}(t),\,\mathbf{y}_{0}=\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\ \vdots\\y_{n}\end{pmatrix}$$ 즉 다음과 같이 나타낼 수 있고, $$\mathbf{y}'(t)=A\mathbf{y}(y)$$ 초기값은 $\mathbf{y}_{0}$이다.   

(1) 행렬 $A$가 대각행렬 $D$라고 하자. 그러면

$$\begin{pmatrix}y_{1}'(t)\\ \vdots y_{n}'(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda_{1}&&0\\&\ddots&\\0&&\lambda_{n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{1}(t)\\ \vdots\\y_{n}(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda_{1}y_{1}(t)\\ \vdots\\ \lambda_{n}y_{n}(t)\end{pmatrix}$$ 이고 이것은 다음과 같은 $n$개의 1계선형미분방정식과 같다. $$y_{i}'(t)=\lambda_{i}y_{i}(t),\,i=1,\,2,\,...,\,n$$ 이 미분방정식의 해는 $y_{i}(t)=y_{i}e^{\lambda_{i}t}$이고 초기값은 $y_{i}(0)=y_{i}$이다. 이것을 다음과 같이 행렬로 나타낼 수 있고 $$\mathbf{y}(t)=\begin{pmatrix}y_{1}(t)\\ \vdots\\y_{n}(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^{\lambda_{1}t}&&0\\&\ddots&\\0&&e^{\lambda_{n}t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\y_{n}\end{pmatrix}=e^{tD}\mathbf{y}_{0}$$ 여기서 $e^{tD}$는 다음과 같다. $$e^{tD}=\begin{pmatrix}e^{\lambda_{1}t}&&0\\&\ddots&\\0&&e^{\lambda_{n}t}\end{pmatrix}$$

(2) 행렬 $A$가 대각화 가능한 행렬이라고 하자. 그러면 $A$는 $n$개의 고유값 $\lambda_{1},\,...,\,\lambda_{n}$과 선형독립인 고유벡터 $\mathbf{v}_{1},\,...,\,\mathbf{v}_{n}$을 갖고, 행렬 $Q=[\mathbf{v}_{1}\,\cdots\,\mathbf{v}_{n}]$와 대각행렬 $D$에 대하여 $A$를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$A=QDQ^{-1}=Q\begin{pmatrix}\lambda_{1}&&0\\&\ddots&\\0&&\lambda_{n}\end{pmatrix}Q^{-1}$$ 따라서 연립선형미분방정식 $\mathbf{y}'(t)=A\mathbf{y}(t)$를 $Q^{-1}\mathbf{y}'(t)=DQ^{-1}\mathbf{y}(t)$로 나타낼 수 있고, $\mathbf{x}=Q^{-1}\mathbf{y}$라고 하면 이 연립선형미분방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\mathbf{x}'=D\mathbf{x}\,\mathbf{x}_{0}=\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\c_{n}\end{pmatrix}=Q^{-1}\mathbf{y}_{0}$$ 여기서 $\mathbf{x}_{0}$은 초기조건이고 일반해는 다음과 같다. $$\mathbf{x}(t)=e^{tD}\mathbf{x_{0}}=\begin{pmatrix}c_{1}e^{\lambda_{1}t}\\ \vdots\\c_{n}e^{\lambda_{n}t}\end{pmatrix}$$ $\mathbf{x}=Q^{-1}\mathbf{y}$이므로 $\mathbf{y}=Q\mathbf{x}$이고 따라서 $\mathbf{y}'=A\mathbf{y}$의 해는 다음과 같다. $$\begin{align*}\mathbf{y}&=Q\mathbf{x}=Qe^{tD}Q^{-1}\mathbf{y}_{0}\\&=[\mathbf{v}_{1}\,\cdots\,\mathbf{v}_{n}]\begin{pmatrix}e^{\lambda_{1}t}&&0\\&\ddots&\\0&&e^{\lambda_{n}t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\c_{n}\end{pmatrix}\\&=c_{1}e^{\lambda_{1}t}\mathbf{v}_{1}+c_{2}e^{\lambda_{2}t}\mathbf{v}_{2}+\cdots+c_{n}e^{\lambda_{n}t}\mathbf{v}_{n}\end{align*}$$ 이 결과를 다음과 같이 정리할 수 있다.

$n\times n$행렬 $A$가 $n$개의 선형독립인 고유벡터들을 가지면, 임의의 $\mathbf{y}_{0}\in\mathbb{R}^{n}$에 대하여 다음의 선형미분방정식

$$\mathbf{y}'(t)=A\mathbf{y}(t),\,\mathbf{y}(0)=\mathbf{y}_{0}$$ 은 유일한 해 $\mathbf{y}=Qe^{tD}Q^{-1}\mathbf{y}_{0}$이고 여기서 $A=QDQ^{-1}$이다.

다음의 연립선형미분방정식을 풀자.

$$\begin{align*}y_{1}'&=5y_{1}-4y_{2}+4y_{3}\\y_{2}'&=12y_{1}-11y_{2}+12y_{3}\\y_{3}'&=4y_{1}-4y_{2}+5y_{3}\\y_{1}(0)&=0,\,y_{2}(0)=3,\,y_{3}(0)=2\end{align*}$$ 이 연립선형미분방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있고, $$\mathbf{y}'=\begin{pmatrix}y_{1}'\\y_{2}'\\y_{3}'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-4&4\\12&-11&12\\4&-4&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}=A\mathbf{y},\,\mathbf{y}_{0}=\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}$$ 행렬 $A$의 고유값을 구하면 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1$, $\lambda_{3}=-3$이고, 고유벡터가 $$\mathbf{v}_{1}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\,\mathbf{v}_{2}=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},\,\mathbf{v}_{3}=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}$$ 이므로 $A$는 다음과 같이 대각화된다. $$Q^{-1}AQ=D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-3\end{pmatrix}\,\left(Q=\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&0&3\\0&1&1\end{pmatrix}\right)$$ $\mathbf{x}=Q^{-1}\mathbf{y}$이므로 $$\mathbf{x}_{0}=Q^{-1}\mathbf{y}_{0}=\begin{pmatrix}3&-2&3\\1&-1&2\\-1&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$ 따라서 이 연립선형미분방정식의 해는 다음과 같다. $$\mathbf{y}(t)=e^{t}\mathbf{v}_{2}+e^{-3t}\mathbf{v}_{3}=\begin{pmatrix}-e^{t}+e^{-3t}\\3e^{-3t}\\e^{t}+e^{-3t}\end{pmatrix}$$  

앞의 계산은 편리한 방법(?)이긴 하지만 조금 복잡한 면도 있다. 

참고자료:

Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser

현대 선형대수학, 이상구, 경문사