14. 단위계단함수, 디렉-델타함수, 합성곱

14. 단위계단함수, 디렉-델타함수, 합성곱

함수 $\displaystyle u(t-a)=\begin{cases}0,\,&0\leq t<a\\1,\,&t\geq a\end{cases}$를 단위계단함수 또는 헤비사이드 함수라고 한다.

충분히 작은 양수 $\epsilon$에 대하여 함수 $\delta_{\epsilon}(t-a)\,(a\geq0)$를 다음과 같이 정의하자. $$\delta_{\epsilon}(t)=\begin{cases}\frac{1}{\epsilon},\,&a\leq t<a+\epsilon\\0,\,&\text{otherwise}\end{cases}$$ 그러면 $\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\delta_{\epsilon}(t-a)dt}=\int_{a}^{a+\epsilon}{\frac{1}{\epsilon}dt}=1$이다. 함수 $\displaystyle\delta(t-a)=\lim_{\epsilon\,\rightarrow\,0+}{\delta_{\epsilon}(t-a)}$를 디렉-델타함수라고 한다. 디렉-델타함수 $\delta(t-a)$에 대하여 $\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\delta(t-a)dt}=\int_{0}^{\infty}{\left(\lim_{\epsilon\,\rightarrow\,0+}{\delta_{\epsilon}(t-a)}\right)dt}=\lim_{\epsilon\,\rightarrow\,0+}{\int_{0}^{\infty}{\delta_{\epsilon}(t-a)dt}}=1$이 성립한다. 또한 임의의 함수 $f(t)$에 대하여 $\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\delta(t-a)f(t)dt}=f(a)$가 성립한다.

단위계단함수 $u(t-a)$와 디렉-델타함수 $\delta(t-a)$의 라플라스 변환을 구하면 $$\int_{0}^{\infty}{u(t-a)e^{-st}dt}=\int_{a}^{\infty}{e^{-st}dt}=\frac{e^{-as}}{s},\,\int_{0}^{\infty}{\delta(t-a)e^{-st}dt}=e^{-as}$$ 이므로 단위계단함수 $u(t-a)$와 디렉-델타함수 $\delta(t-a)$의 라플라스 변환은 각각 $\displaystyle\frac{e^{-as}}{s}$, $e^{-as}$이다.

라플라스 변환은 선형변환이다. 그러나 $\mathcal{L}(f(t))=F(s)$, $\mathcal{L}(g(t))=G(s)$일 때 일반적으로 $\mathcal{L}(f(t)g(t))\neq F(s)G(s)$이다.

함수 $f(t)$와 $g(t)$의 합성곱 $(f*g)(t)$는 다음과 같이 정의된다. $$(f*g)(t)=\int_{0}^{t}{f(\tau)g(t-\tau)d\tau}$$ 위의 합성곱에 $y=t-\tau$로 치환적분을 하면 합성곱 연산이 교환법칙을 만족함을 알 수 있다. 즉, $f*g=g*f$.

앞에서 $\mathcal{L}(f(t))=F(s)$, $\mathcal{L}(g(t))=G(s)$일 때 일반적으로 $\mathcal{L}(f(t)g(t))\neq F(s)G(s)$라고 했다. 하지만 $\mathcal{L}((f*g)(t))$를 구하면 $\displaystyle\mathcal{L}(f(t))=F(s)=\int_{0}^{\infty}{e^{-st}f(t)dt}$, $\mathcal{L}(g(t))=G(s)=\int_{0}^{\infty}{e^{-st}g(t)dt}$이므로 $$\begin{align*}\mathcal{L}((f*g)(t))&=\int_{0}^{\infty}{e^{-st}(f*g)(t)dt}=\int_{0}^{\infty}{e^{-st}\left\{\int_{0}^{t}{f(t-\tau)g(\tau)d\tau}\right\}dt}\\&=\int_{0}^{\infty}{e^{-st}\left\{\int_{0}^{\infty}{f(t-\tau)g(\tau)u(t-\tau)d\tau}\right\}dt}=\int_{0}^{\infty}{\int_{0}^{\infty}{e^{-st}f(t-\tau)g(\tau)u(t-\tau)dt}d\tau}\\&=\int_{0}^{\infty}{\left\{\int_{0}^{\infty}{e^{-st}f(t-\tau)g(t-\tau)dt}\right\}g(\tau)d\tau}=\int_{0}^{\infty}{e^{-\tau s}F(s)g(\tau)d\tau}\\&=F(s)\int_{0}^{\infty}{e^{-s\tau}g(\tau)d\tau}=F(s)G(s)\end{align*}$$ 그러므로 $\mathcal{L}((f*g)(t))=F(s)G(s)$이고 $\mathcal{L}^{-1}(F(s)G(s))=(f*g)(t)$이다.

$f(t)=e^{t}$, $g(t)=\sin t$일 때 $(f*g)(t)$를 구하자. $\displaystyle\mathcal{L}(f(t))=F(s)=\frac{1}{s-1}$, $\mathcal{L}(g(t))=G(s)=\frac{1}{s^{2}+1}$이므로 $$\mathcal{L}((f*g)(t))=\frac{1}{(s-1)(s^{2}+1)}=\frac{1}{2}\frac{1}{s-1}-\frac{1}{2}\frac{s}{s^{2}+1}-\frac{1}{2}\frac{1}{s^{2}+1}$$ 이고 따라서 $\displaystyle(f*g)(t)=\frac{1}{2}(e^{t}-\cos t-\sin t)$이다.

 

참고자료:

미분방정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐

선형미분방정식과 그 응용, 심재동, 하준홍, 경문사