14. 단위계단함수, 디렉-델타함수, 합성곱

14. 단위계단함수, 디렉-델타함수, 합성곱

함수 \(\displaystyle u(t-a)=\begin{cases}0,\,&0\leq t<a\\1,\,&t\geq a\end{cases}\)를 단위계단함수 또는 헤비사이드 함수라고 한다.

충분히 작은 양수 \(\epsilon\)에 대하여 함수 \(\delta_{\epsilon}(t-a)\,(a\geq0)\)를 다음과 같이 정의하자.$$\delta_{\epsilon}(t)=\begin{cases}\frac{1}{\epsilon},\,&a\leq t<a+\epsilon\\0,\,&\text{otherwise}\end{cases}$$그러면 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\delta_{\epsilon}(t-a)dt}=\int_{a}^{a+\epsilon}{\frac{1}{\epsilon}dt}=1\)이다. 함수 \(\displaystyle\delta(t-a)=\lim_{\epsilon\,\rightarrow\,0+}{\delta_{\epsilon}(t-a)}\)를 디렉-델타함수라고 한다. 디렉-델타함수 \(\delta(t-a)\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\delta(t-a)dt}=\int_{0}^{\infty}{\left(\lim_{\epsilon\,\rightarrow\,0+}{\delta_{\epsilon}(t-a)}\right)dt}=\lim_{\epsilon\,\rightarrow\,0+}{\int_{0}^{\infty}{\delta_{\epsilon}(t-a)dt}}=1\)이 성립한다. 또한 임의의 함수 \(f(t)\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\delta(t-a)f(t)dt}=f(a)\)가 성립한다.

단위계단함수 \(u(t-a)\)와 디렉-델타함수 \(\delta(t-a)\)의 라플라스 변환을 구하면$$\int_{0}^{\infty}{u(t-a)e^{-st}dt}=\int_{a}^{\infty}{e^{-st}dt}=\frac{e^{-as}}{s},\,\int_{0}^{\infty}{\delta(t-a)e^{-st}dt}=e^{-as}$$이므로 단위계단함수 \(u(t-a)\)와 디렉-델타함수 \(\delta(t-a)\)의 라플라스 변환은 각각 \(\displaystyle\frac{e^{-as}}{s}\), \(e^{-as}\)이다.

라플라스 변환은 선형변환이다. 그러나 \(\mathcal{L}(f(t))=F(s)\), \(\mathcal{L}(g(t))=G(s)\)일 때 일반적으로 \(\mathcal{L}(f(t)g(t))\neq F(s)G(s)\)이다.

함수 \(f(t)\)와 \(g(t)\)의 합성곱 \((f*g)(t)\)는 다음과 같이 정의된다.$$(f*g)(t)=\int_{0}^{t}{f(\tau)g(t-\tau)d\tau}$$위의 합성곱에 \(y=t-\tau\)로 치환적분을 하면 합성곱 연산이 교환법칙을 만족함을 알 수 있다. 즉, \(f*g=g*f\).

앞에서 \(\mathcal{L}(f(t))=F(s)\), \(\mathcal{L}(g(t))=G(s)\)일 때 일반적으로 \(\mathcal{L}(f(t)g(t))\neq F(s)G(s)\)라고 했다. 하지만 \(\mathcal{L}((f*g)(t))\)를 구하면 \(\displaystyle\mathcal{L}(f(t))=F(s)=\int_{0}^{\infty}{e^{-st}f(t)dt}\), \(\mathcal{L}(g(t))=G(s)=\int_{0}^{\infty}{e^{-st}g(t)dt}\)이므로$$\begin{align*}\mathcal{L}((f*g)(t))&=\int_{0}^{\infty}{e^{-st}(f*g)(t)dt}=\int_{0}^{\infty}{e^{-st}\left\{\int_{0}^{t}{f(t-\tau)g(\tau)d\tau}\right\}dt}\\&=\int_{0}^{\infty}{e^{-st}\left\{\int_{0}^{\infty}{f(t-\tau)g(\tau)u(t-\tau)d\tau}\right\}dt}=\int_{0}^{\infty}{\int_{0}^{\infty}{e^{-st}f(t-\tau)g(\tau)u(t-\tau)dt}d\tau}\\&=\int_{0}^{\infty}{\left\{\int_{0}^{\infty}{e^{-st}f(t-\tau)g(t-\tau)dt}\right\}g(\tau)d\tau}=\int_{0}^{\infty}{e^{-\tau s}F(s)g(\tau)d\tau}\\&=F(s)\int_{0}^{\infty}{e^{-s\tau}g(\tau)d\tau}=F(s)G(s)\end{align*}$$그러므로 \(\mathcal{L}((f*g)(t))=F(s)G(s)\)이고 \(\mathcal{L}^{-1}(F(s)G(s))=(f*g)(t)\)이다.

\(f(t)=e^{t}\), \(g(t)=\sin t\)일 때 \((f*g)(t)\)를 구하자. \(\displaystyle\mathcal{L}(f(t))=F(s)=\frac{1}{s-1}\), \(\mathcal{L}(g(t))=G(s)=\frac{1}{s^{2}+1}\)이므로$$\mathcal{L}((f*g)(t))=\frac{1}{(s-1)(s^{2}+1)}=\frac{1}{2}\frac{1}{s-1}-\frac{1}{2}\frac{s}{s^{2}+1}-\frac{1}{2}\frac{1}{s^{2}+1}$$이고 따라서 \(\displaystyle(f*g)(t)=\frac{1}{2}(e^{t}-\cos t-\sin t)\)이다.

 

참고자료:

미분방정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐

선형미분방정식과 그 응용, 심재동, 하준홍, 경문사