11. 고계 선형방정식으로 나타나는 모델

11. 고계 선형방정식으로 나타나는 모델

1. 외력을 갖는 스프링-댐퍼-질량 모델

외력과 감쇠력을 동시에 고려한 스프링-댐퍼-질량 모델이다. 이를 미분방정식으로 나타내면 다음과 같다.

$$m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+b\frac{dx}{dt}+kx=F_{0}\cos\omega t$$

2. RLC회로

저항과 인덕터, 커패시터가 직렬로 연결된 회로의 전하를 $Q(t)$라 하면, 저항 양단에 걸리는 전압이 $\displaystyle RI=R\frac{dQ}{dt}$, 인덕터에 걸리는 전압이 $\displaystyle L\frac{dI}{dt}=L\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}$, 커패시터에 걸리는 전압이 $\displaystyle\frac{Q}{C}$이므로 키르히호프 전압법칙에 의해 다음 식이 성립한다. 

$$L\frac{dI}{dt}+RI+\frac{Q}{C}=L\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}+R\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{C}Q=V$$

3. 단진자

줄과 수직축 사이의 각 $\theta$를 시각 $t$의 함수 $\theta(t)$라 하자. 질량이 $m$인 공이 그리는 호의 길이를 $s(t)$라 하면 뉴턴의 운동 제2법칙으로부터 $\displaystyle F=m\frac{d^{2}s}{dt^{2}}$이고 공에 작용하는 힘은 $-mg\sin\theta$($g$는 중력가속도)이므로 $\displaystyle m\frac{d^{2}s}{dt^{2}}=-mg\sin\theta$이다. 이때 $s(t)=\ell\theta(t)$이므로 $\displaystyle\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g}{\ell}\sin\theta=0$을 얻는다. 만약 $\theta$가 작으면 식

$$\sin\theta=\theta-\frac{1}{3!}\theta^{3}+\frac{1}{5!}\theta^{5}-\frac{1}{7!}\theta^{7}+\cdots\approx\theta$$ 을 이용하여 $\displaystyle\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g}{\ell}\theta=0$으로 나타낼 수 있다. 

참고자료: 선형미분방정식과 그 응용, 심재동, 하준홍, 경문사