10. 비동차미분방정식의 일반적인 해법: 매개변수 변환법

10. 비동차미분방정식의 일반적인 해법: 매개변수 변환법

2계 비동차 미분방정식 $y''+f(x)y'+g(x)y=r(x)$의 일차독립인 동차해를 $y_{1}$, $y_{2}$라고 하면 이 미분방정식의 동차해는 $y_{h}=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$이다. 따라서 비동차해 $y_{p}$는 동차해 $y_{h}$와 다른 형태의 해여야 한다. 그러므로 $y_{p}=y_{1}u+y_{2}v$이고 여기서 $u$와 $v$는 $x$에 대한 함수이다. $y_{p}$를 미분하면 $y_{p}'=y_{1}'u+y_{1}u'+y_{2}'v+y_{2}v'$이고 이 조건만으로는 $u$와 $v$를 결정하기 어렵다. 추가조건 $y_{1}u'+y_{2}v'=0$을 추가하면 $y_{p}'=y_{1}'u+y_{2}'v$이고 또 $y_{p}''=y_{1}''u+y_{1}'u'+y_{2}''v+y_{2}'v'$이므로 $y_{p}''$과 $y_{p}'$, $y_{p}$를 비동차 미분방정식 $y''+f(x)y'+g(x)y=r(x)$에 대입한다. 이때 $y_{1}$과 $y_{2}$가 동차해이므로 $y_{1}''+fy_{1}'+gy_{1}=0$, $y_{2}''+fy_{2}'+gy_{2}=0$이고 $u'y_{1}'+v'y_{2}'=r$을 얻는다. 이 결과를 $y_{1}u'+y_{2}v'=0$과 연립해서 푼다.

연립방정식을 행렬로 나타내면 $\begin{pmatrix}y_{1}&y_{2}\\y_{1}'&y_{2}'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u'\\v'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\r\end{pmatrix}$이고 $y_{1}$, $y_{2}$는 일차독립이므로 이 연립방정식은 해를 갖는다. 따라서 $$\begin{pmatrix}u'\\v'\end{pmatrix}=\frac{1}{W[y_{1},\,y_{2}]}\begin{pmatrix}y_{2}'&-y_{2}\\y_{1}'&y_{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\r\end{pmatrix}$$ 이고 $\displaystyle u'=-\frac{y_{2}r}{W[y_{1},\,y_{2}]}$, $v'=\frac{y_{1}r}{W[y_{1},\,y_{2}]}$이므로 $\displaystyle u(x)=-\int{\frac{y_{2}(x)r(x)}{W[y_{1},\,y_{2}]}dx}$, $\displaystyle v(x)=\int{\frac{y_{1}(x)r(x)}{W[y_{1},\,y_{2}]}dx}$이고 비동차해는 $y_{p}=y_{1}u+y_{2}v$이다. 여기서 $W[y_{1},\,y_{2}]$는 $y_{1}$, $y_{2}$를 위한 론스키안이고 이러한 방법을 매개변수변환법이라고 한다. 

미분방정식 $y''+y=\sec x$의 비동차부분이 $\sec x$여서 미정계수법을 사용할 수 없고 매개변수변환법으로 풀어야 한다. 동차해가 $y_{1}=\cos x$, $y_{2}=\sin x$이고 이 동차해들에 대한 론스키안은 $W[y_{1},\,y_{2}]=\cos x\cos x-(-\sin x\sin x)=\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$이므로 $\displaystyle u(x)=-\int{\sin x\sec xdx}=-\int{\tan xdx}=\ln|\cos x|$, $\displaystyle v(x)=\int{\cos x\sec xdx}=\int{1dx}=x$이므로 비동차해는 $y_{p}=\cos x\ln|\cos x|+x\sin x$이고 따라서 일반해는 $y=y_{h}+y_{p}=c_{1}\cos x+c_{2}\sin x+\cos\ln|\cos x|+x\sin x$이다.

오일러-코시 방정식 $x^{2}y''+2xy'-12y=7$의 동차해의 특성방정식은 $m^{2}+m-12=(m-3)(m+4)=0$이다. 그러면 동차해는 $y_{h}=c_{1}x^{-4}+c_{2}x^{2}$이고 $\displaystyle W[x^{-4},\,x^{3}]=\det\begin{pmatrix}x^{3}&x^{-4}\\3x^{2}&-4x^{-5}\end{pmatrix}=-\frac{7}{x^{2}}$이다. 오일러-코시 방정식에서 일반 미분방정식으로 바꾸면 $\displaystyle y''+\frac{2}{x}y'-\frac{12}{x^{2}}y=\frac{7}{x^{2}}$이고 위의 방법대로 비동차해를 구하면 $\displaystyle u(x)=\int{x^{3}dx}=\frac{1}{4}x^{4}$, $\displaystyle v(x)=\int{x^{-4}dx}=-\frac{1}{3}x^{-3}$이므로 $y_{p}=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{12}$이므로 따라서 일반해는 $\displaystyle y=y_{h}+y_{p}=c_{1}x^{-4}+c_{2}x^{3}-\frac{1}{12}$이다.

$n$계 비동차 미분방정식 $y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+p_{1}(x)y'+p_{0}(x)y=r(x)$에 대해서도 매개변수 변환법을 적용할 수 있다. 동차해를 $y_{1},\,...,\,y_{n}$이라고 하면 비동차해는 $\displaystyle y_{p}=y_{1}\int{\frac{W_{1}}{W}r(x)dx}+\cdots+y_{n}\int{\frac{W_{n}}{W}r(x)dx}$이고 여기서 $W=W[y_{1},\,...,\,y_{n}]$는 $y_{1},\,...,\,y_{n}$의 론스키안이고 $W_{i}\,(i=1,\,...,\,n)$는 $W$의 $i$번째 열을 열벡터 $\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\1\end{pmatrix}$로 바꾼 행렬식이다.

미분방정식 $y^{(3)}+4y'=2\sin 4x$의 동차해의 특성방정식은 $\lambda^{3}+4\lambda=\lambda(\lambda^{2}+4)=0$이고 동차해는 $y_{h}=c_{1}+c_{2}\cos2x+c_{3}\sin2x$이다.

$W[1,\,\cos2x,\,\sin2x]=\det\begin{pmatrix}1&\cos2x&\sin2x\\0&-2\sin2x&2\cos2x\\0&-4\cos2x&-4\sin2x\end{pmatrix}=8$이고 $$W_{1}=\det\begin{pmatrix}0&\cos2x&\sin2x\\0&-2\sin2x&2\cos2x\\1&-4\cos2x&-4\sin2x\end{pmatrix}=2,\,W_{2}=\det\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&2\cos2x\\0&1&-4\sin2x\end{pmatrix}=-2\cos2x,\\W_{3}=\det\begin{pmatrix}1&\cos2x&0\\0&-2\sin2x&2\cos2x\\0&-4\cos2x&-4\sin2x\end{pmatrix}=8$$ 이므로 따라서 $$\begin{align*}y_{p}&=\int{\frac{2}{8}2\sin4xdx}+\cos2x\int{\frac{-2\cos2x}{8}2\sin4xdx}+\sin2x\int{\frac{-2\sin2x}{8}2\sin4xdx}\\&=\frac{1}{4}\sin^{2}2x+\frac{1}{6}\cos^{4}2x-\frac{1}{6}\sin^{4}2x\end{align*}$$ 이고 일반해는 $\displaystyle y=y_{h}+y_{p}=c_{1}+c_{2}\cos2x+c_{3}\sin2x+\frac{1}{4}\sin^{2}2x+\frac{1}{6}\cos^{4}2x-\frac{1}{6}\sin^{4}2x$이다.

오일러-코시 방정식 $x^{3}y^{(3)}-3x^{2}y''+6xy'-6y=x^{2}$의 경우 동차해의 특성방정식은 $m^{3}-6m^{2}+11m-6=(m-1)(m-2)(m-3)=0$이므로 동차해는 $y_{h}=c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}$이다. $\displaystyle W[x,\,x^{2},\,x^{3}]=\det\begin{pmatrix}x&x^{2}&x^{3}\\1&2x&3x^{2}\\0&2&6x\end{pmatrix}=x(12x^{2}-6x^{2})-(6x^{3}-2x^{3})=2x^{3}$ $$W_{1}=\det\begin{pmatrix}0&x^{2}&x^{3}\\0&2x&3x^{2}\\1&2&6x\end{pmatrix},\,W_{2}=\det\begin{pmatrix}x&0&x^{3}\\1&0&3x^{2}\\0&1&6x\end{pmatrix}=2x^{3}\,W_{3}=\det\begin{pmatrix}x&x^{2}&0\\1&2x&0\\0&2&1\end{pmatrix}=x^{2}$$ 이고 일반 미분방정식 형태는 $\displaystyle y^{(3)}-\frac{3}{x}y''+\frac{6}{x^{2}}y'-\frac{6}{x^{3}}y=\frac{1}{x}$이므로 $\displaystyle r(x)=\frac{1}{x}$,

비동차해는 $\displaystyle y_{p}=x\int{\frac{x^{4}}{2x^{3}}\frac{1}{x}dx}+x^{2}\int{\frac{2x^{3}}{2x^{3}}\frac{1}{x}dx}+x^{3}\int{\frac{x^{3}}{2x^{3}}\frac{1}{x}dx}=\frac{1}{2}x^{2}+x^{2}\ln|x|-x^{2}=x^{2}\left(\ln|x|-\frac{1}{2}\right)$이고 따라서 일반해는 $\displaystyle y=c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+x^{2}\left(\ln|x|-\frac{1}{2}\right)$이다.

참고자료:
미분방정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐
미분방정식 및 응용, 김병학, 김진용, 박성일, 하성남, 홍범일(공저), 청문각