8. 상수계수 동차미분방정식과 오일러-코시 방정식

8. 상수계수 동차미분방정식과 오일러-코시 방정식

계수가 상수인 \(n\)계 선형미분방정식 \(y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{1}y'+a_{0}y=0\)의 해를 2계 상수계수 미분방정식의 경우처럼 해가 \(y=e^{\lambda x}\)라고 하자. 그러면 특성방정식 \(\lambda^{n}+a_{n-1}\lambda^{n-1}+c\dots+a_{1}\lambda+a_{0}=0\)을 얻는다. 이 특성방정식이 서로 다른 \(n\)개의 실근 \(\lambda_{1},\,...,\,\lambda_{n}\)을 가지면 \(y_{1}=e^{\lambda_{1}x},\,...,\,y_{n}=e^{\lambda_{n}x}\)는 해가 되고 일차독립이므로 일반해는 \(y=c_{1}e^{\lambda_{1}x}+\cdots+c_{n}e^{\lambda_{n}}x\)이다. 실중근을 갖는 경우, \(\lambda\)가 특성방정식의 \(m(<n)\)중근이면, \(m\)개의 일차독립인 해는 \(y_{1}=e^{\lambda x}\), \(y_{2}=xe^{\lambda x},\,...,\,y_{m}=x^{m}e^{\lambda x}\)이다. 이는 계수축소법을 이용하여 구한 것이다.

특성방정식의 실근이 일부는 서로 다른 근이고, 나머지는 중근일 경우, 각각에 대하여 위의 방법으로 일차독립인 해를 구하여 일차결합으로 나타낼 수 있다.

미분방정식 \(y^{(3)}-6y''+11y'-6y=0\)의 특성방정식은 \(\lambda^{3}-6\lambda^{2}+11\lambda-6=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)=0\)이므로 \(\lambda=1\), \(\lambda=2\), \(\lambda=3\)이다. 따라서 \(e^{x}\), \(e^{2x}\), \(e^{3x}\)가 미분방정식의 해이고 일반해는 \(y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{2x}+c_{3}e^{3x}\)이다.

미분방정식 \(y^{(5)}-3y^{(4)}+3y^{(3)}-y''=0\)의 특성방정식은 \(\lambda^{5}-3\lambda^{4}+3\lambda^{3}-\lambda^{2}=\lambda^{2}(\lambda-1)^{3}=0\)이므로 해는 이중근 \(\lambda=0\)과 삼중근 \(\lambda=1\)이다. 각 경우에 대한 일차독립인 해는 \(c\)(상수), \(x\), \(e^{x}\), \(xe^{x}\), \(x^{2}e^{x}\)이고 따라서 일반해는 \(y=c_{1}+c_{2}x+c_{3}e^{x}+c_{4}xe^{x}+c_{5}x^{2}e^{x}\)이다.

복소중근의 경우, 계수가 실수이므로 \(\lambda=\alpha+\beta i\,(i=\sqrt{-1})\)가 특성방정식의 이중근이면 \(\overline{\lambda}=\alpha-\beta i\)도 이중근이다. 이때 일차독립인 해들은 \(e^{\alpha x}\sin\beta x\), \(e^{\alpha x}\cos\beta x\), \(xe^{\alpha x}\sin\beta x\), \(xe^{\alpha x}\cos\beta x\)이고 계수축소법으로 얻어진 해들이다.

예를들어 미분방정식 \(y^{(4)}-4y^{(3)}+8y''-8y'+4y=0\)의 특성방정식은 \(\lambda^{4}-4\lambda^{3}+8\lambda^{2}-8\lambda+4=(\lambda^{2}-2\lambda+2)^{2}=0\)이고 이중근 \(\lambda=1+i\)와 \(\lambda=1-i\)를 갖는다. 따라서 일차독립인 해는 \(e^{x}\cos x\), \(e^{x}\sin x\), \(xe^{x}\cos x\), \(xe^{x}\sin x\)이고 일반해는 \(y=c_{1}e^{x}\sin x+c_{2}e^{x}\cos x+c_{3}xe^{x}\sin x+c_{4}e^{x}\cos x\)이다.

\(n\)계 선형미분방정식 \(x^{n}y^{(n)}+a_{n-1}x^{(n-1)}y^{(n-1)}+\cdots+a_{1}xy'+a_{0}y=0\)을 \(n\)계 오일러-코시 방정식이라고 한다. \(n=2\)인 경우의 오일러-코시 방정식 \(x^{2}y''+axy'+by=0\,(x>0)\)의 해를 구하자. \(x=e^{t}\), \(y(x)=w(t)\)라 하자. 연쇄법칙으로부터 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{dw}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dw}{dt}\), \(\displaystyle\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{1}{x^{2}}\frac{d^{2}w}{dt^{2}}-\frac{1}{x^{2}}\frac{dw}{dt}\)이므로 이를 \(x^{2}y''+axy'+by=0\)에 대입하면 \(x^{2}y''+axy'+by=w''-w'+aw'+cw=w''+(a-1)w'+bw=0\)을 얻는다. 이 미분방정식은 상수계수 미분방정식의 풀이방법대로 풀은 다음 \(t=\ln x\)로 치환하면 \(y(x)\)를 구할 수 있다.

변환된 미분방정식 \(w''+(a-1)w'+bw=0\)의 변수가 \(t\)임에 유의한다. \(y=x^{m}\)을 미분방정식 \(x^{2}y''+axy'+by=0\)에 대입하면 \(y'=mx^{m-1}\), \(y''=m(m-1)x^{m-2}\)이므로 \(\{m(m-1)+am+b\}x^{m}=0\)이고 정리하면 \(m^{2}+(a-1)m+b=0\)이다. 상수계수 2계 동차미분방정식의 경우와 비슷하게 특성방정식 \(m^{2}+(a-1)m+b=0\)의 근의 모양에 따라 해가 결정된다.

특성방정식의 근	일반해
서로다른 두 실근 \(m_{1}\), \(m_{2}\)	\(y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}\)
이중근 \(m\)	\(y=(c_{1}+c_{2}\ln x)x^{m}\)
켤레복소수근 \(m=\alpha\pm\beta i\,(i=\sqrt{-1})\)	\(y=x^{\alpha}\{c_{1}\sin(\beta\ln x)+c_{2}\cos(\beta\ln x)\}\)

이중근의 경우는 계수축소법으로, 켤레복소수근의 경우는 오일러공식 \(e^{ix}=\cos x+i\sin x\)로부터 성립한다. 오일러-코시 방정식 \(x^{2}y''+2xy'-6y=0\), \(x^{2}y''-3xy'+4y=0\), \(x^{2}y''+3xy'+3y=0\)의 일반해는 각각 \(y=c_{1}x^{2}+c_{2}x^{3}\), \(y=(c_{1}+c_{2}\ln x)x^{2}\), \(y=x^{-1}\{c_{1}\sin(\sqrt{2}\ln x)+c_{2}\cos(\sqrt{2}\ln x)\}\)이다.

고계 오일러-코시 방정식에서도 비슷한 방법을 적용할 수 있다. 예를들어 \(x^{3}y^{(3)}+x^{2}y^{(2)}-2xy'+2y=0\)에 \(y=x^{m}\)을 대입하여 특성방정식 \(m^{3}-2m^{2}-m+2=(m+1)(m-1)(m-2)=0\)을 얻고 이로부터 \(y=x^{-1}\), \(y=x\), \(y=x^{2}\)가 해임을 알 수 있다. 따라서 일반해는 \(y=c_{1}x^{-1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}\)이다. 

참고자료:
미분방정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐
선형미분방정식과 그 응용, 심재동, 하준홍, 경문사