8. 상수계수 동차미분방정식과 오일러-코시 방정식

8. 상수계수 동차미분방정식과 오일러-코시 방정식

계수가 상수인 $n$계 선형미분방정식 $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{1}y'+a_{0}y=0$의 해를 2계 상수계수 미분방정식의 경우처럼 해가 $y=e^{\lambda x}$라고 하자. 그러면 특성방정식 $\lambda^{n}+a_{n-1}\lambda^{n-1}+c\dots+a_{1}\lambda+a_{0}=0$을 얻는다. 이 특성방정식이 서로 다른 $n$개의 실근 $\lambda_{1},\,...,\,\lambda_{n}$을 가지면 $y_{1}=e^{\lambda_{1}x},\,...,\,y_{n}=e^{\lambda_{n}x}$는 해가 되고 일차독립이므로 일반해는 $y=c_{1}e^{\lambda_{1}x}+\cdots+c_{n}e^{\lambda_{n}}x$이다. 실중근을 갖는 경우, $\lambda$가 특성방정식의 $m(<n)$중근이면, $m$개의 일차독립인 해는 $y_{1}=e^{\lambda x}$, $y_{2}=xe^{\lambda x},\,...,\,y_{m}=x^{m}e^{\lambda x}$이다. 이는 계수축소법을 이용하여 구한 것이다.

특성방정식의 실근이 일부는 서로 다른 근이고, 나머지는 중근일 경우, 각각에 대하여 위의 방법으로 일차독립인 해를 구하여 일차결합으로 나타낼 수 있다.

미분방정식 $y^{(3)}-6y''+11y'-6y=0$의 특성방정식은 $\lambda^{3}-6\lambda^{2}+11\lambda-6=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)=0$이므로 $\lambda=1$, $\lambda=2$, $\lambda=3$이다. 따라서 $e^{x}$, $e^{2x}$, $e^{3x}$가 미분방정식의 해이고 일반해는 $y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{2x}+c_{3}e^{3x}$이다.

미분방정식 $y^{(5)}-3y^{(4)}+3y^{(3)}-y''=0$의 특성방정식은 $\lambda^{5}-3\lambda^{4}+3\lambda^{3}-\lambda^{2}=\lambda^{2}(\lambda-1)^{3}=0$이므로 해는 이중근 $\lambda=0$과 삼중근 $\lambda=1$이다. 각 경우에 대한 일차독립인 해는 $c$(상수), $x$, $e^{x}$, $xe^{x}$, $x^{2}e^{x}$이고 따라서 일반해는 $y=c_{1}+c_{2}x+c_{3}e^{x}+c_{4}xe^{x}+c_{5}x^{2}e^{x}$이다.

복소중근의 경우, 계수가 실수이므로 $\lambda=\alpha+\beta i\,(i=\sqrt{-1})$가 특성방정식의 이중근이면 $\overline{\lambda}=\alpha-\beta i$도 이중근이다. 이때 일차독립인 해들은 $e^{\alpha x}\sin\beta x$, $e^{\alpha x}\cos\beta x$, $xe^{\alpha x}\sin\beta x$, $xe^{\alpha x}\cos\beta x$이고 계수축소법으로 얻어진 해들이다.

예를들어 미분방정식 $y^{(4)}-4y^{(3)}+8y''-8y'+4y=0$의 특성방정식은 $\lambda^{4}-4\lambda^{3}+8\lambda^{2}-8\lambda+4=(\lambda^{2}-2\lambda+2)^{2}=0$이고 이중근 $\lambda=1+i$와 $\lambda=1-i$를 갖는다. 따라서 일차독립인 해는 $e^{x}\cos x$, $e^{x}\sin x$, $xe^{x}\cos x$, $xe^{x}\sin x$이고 일반해는 $y=c_{1}e^{x}\sin x+c_{2}e^{x}\cos x+c_{3}xe^{x}\sin x+c_{4}e^{x}\cos x$이다.

$n$계 선형미분방정식 $x^{n}y^{(n)}+a_{n-1}x^{(n-1)}y^{(n-1)}+\cdots+a_{1}xy'+a_{0}y=0$을 $n$계 오일러-코시 방정식이라고 한다. $n=2$인 경우의 오일러-코시 방정식 $x^{2}y''+axy'+by=0\,(x>0)$의 해를 구하자. $x=e^{t}$, $y(x)=w(t)$라 하자. 연쇄법칙으로부터 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{dw}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dw}{dt}$, $\displaystyle\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{1}{x^{2}}\frac{d^{2}w}{dt^{2}}-\frac{1}{x^{2}}\frac{dw}{dt}$이므로 이를 $x^{2}y''+axy'+by=0$에 대입하면 $x^{2}y''+axy'+by=w''-w'+aw'+cw=w''+(a-1)w'+bw=0$을 얻는다. 이 미분방정식은 상수계수 미분방정식의 풀이방법대로 풀은 다음 $t=\ln x$로 치환하면 $y(x)$를 구할 수 있다.

변환된 미분방정식 $w''+(a-1)w'+bw=0$의 변수가 $t$임에 유의한다. $y=x^{m}$을 미분방정식 $x^{2}y''+axy'+by=0$에 대입하면 $y'=mx^{m-1}$, $y''=m(m-1)x^{m-2}$이므로 $\{m(m-1)+am+b\}x^{m}=0$이고 정리하면 $m^{2}+(a-1)m+b=0$이다. 상수계수 2계 동차미분방정식의 경우와 비슷하게 특성방정식 $m^{2}+(a-1)m+b=0$의 근의 모양에 따라 해가 결정된다.

특성방정식의 근	일반해
서로다른 두 실근 $m_{1}$, $m_{2}$	$y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}$
이중근 $m$	$y=(c_{1}+c_{2}\ln x)x^{m}$
켤레복소수근 $m=\alpha\pm\beta i\,(i=\sqrt{-1})$	$y=x^{\alpha}\{c_{1}\sin(\beta\ln x)+c_{2}\cos(\beta\ln x)\}$

이중근의 경우는 계수축소법으로, 켤레복소수근의 경우는 오일러공식 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$로부터 성립한다. 오일러-코시 방정식 $x^{2}y''+2xy'-6y=0$, $x^{2}y''-3xy'+4y=0$, $x^{2}y''+3xy'+3y=0$의 일반해는 각각 $y=c_{1}x^{2}+c_{2}x^{3}$, $y=(c_{1}+c_{2}\ln x)x^{2}$, $y=x^{-1}\{c_{1}\sin(\sqrt{2}\ln x)+c_{2}\cos(\sqrt{2}\ln x)\}$이다.

고계 오일러-코시 방정식에서도 비슷한 방법을 적용할 수 있다. 예를들어 $x^{3}y^{(3)}+x^{2}y^{(2)}-2xy'+2y=0$에 $y=x^{m}$을 대입하여 특성방정식 $m^{3}-2m^{2}-m+2=(m+1)(m-1)(m-2)=0$을 얻고 이로부터 $y=x^{-1}$, $y=x$, $y=x^{2}$가 해임을 알 수 있다. 따라서 일반해는 $y=c_{1}x^{-1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}$이다. 

참고자료:
미분방정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐
선형미분방정식과 그 응용, 심재동, 하준홍, 경문사