6. 고계 선형미분방정식 기본

6. 고계 선형미분방정식 기본

\(y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+p_{1}(x)y'+p_{0}(x)y=r(x)\) 형태의 미분방정식을 \(n\)차 선형미분방정식이라고 한다. 여기서 \(p_{i}(x)\,(i=0,\,...\,n-1)\)과 \(r(x)\)는 \(x\)에 대한 함수이고 \(r(x)=0\)일 때 동차방정식, \(r(x)\neq0\)일 때 비동차방정식이라고 한다. 임의의 상수 \(c_{1},\,...,\,c_{n}\)에 대하여 \(c_{1}y_{1}+\cdots+c_{n}y_{n}\)을 \(y_{1},\,...,\,y_{n}\)의 일차결합(또는 선형결합)이라고 한다.

함수 \(y_{1}(x),\,...,\,y_{n}(x)\)가 모든 \(x\in I\)에 대하여 \(c_{1}y_{1}(x)+\cdots+c_{n}y_{n}(x)=0\)인 경우가 오직 \(c_{1}=\cdots=c_{n}=0\)뿐이면, \(y_{1},\,...,\,y_{n}\)은 일차독립이라고 하고 그렇지 않은 경우, 즉 \(0\)이 아닌 \(c_{1},\,...,\,c_{n}\)과 \(y_{1},\,...,\,y_{n}\)에 대하여 \(c_{1}y_{1}+\cdots+c_{n}y_{n}=0\)이면, \(y_{1},\,...,\,y_{n}\)은 일차종속이라고 한다.

일차독립 또는 일차종속인지 확인하는 방법으로 론스키안 행렬식을 이용하는데 론스키안 행렬식은 구간 \(I\)에서 \(n-1\)번 미분가능한 함수 \(y_{1},\,...,\,y_{n}\)에 대하여 다음과 같이 정의된다.

$$W=W[y_{1},\,...,\,y_{n}]=\det\begin{pmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots&y_{n}\\y_{1}'&y_{2}'&\cdots&y_{n}'\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ y_{1}^{(n-1)}&y_{2}^{(n-1)}&\cdots&y_{n}^{(n-1)}\end{pmatrix}$$

\(y_{1},\,...,\,y_{n}\)이 일차독립일 필요충분조건은 \(W[y_{1},\,...,\,y_{n}]\neq0\)이다.

함수 \(y_{1},\,...,\,y_{n}\)이 구간 \(I\)에서 동차방정식 \(y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+p_{1}(x)y'+p_{0}(x)y=0\)의 일차독립인 해이면 \(y=c_{1}y_{1}+\cdots+c_{n}y_{n}\)도 이 동차방정식의 해가 된다.

정리 2.1 (존재성과 유일성 정리). \(n\)계 선형미분방정식의 초기값 문제

$$y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{1}(x)y'+p_{0}(x)y=r(x),\,y^{(i)}(x_{0})=K_{i}\,(i=0,\,...,\,n-1)$$

에서 \(p_{i}(x)\,(i=0,\,...,\,n-1)\)과 \(r(x)\)가 \(x_{0}\)를 포함하는 구간 \(I\)에서 연속이면, 이 초기값 문제는 구간 \(I\)에서 유일한 해를 가진다.

참고자료: 미분방정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐