6. 고계 선형미분방정식 기본
y(n)+pn−1(x)y(n−1)+⋯+p1(x)y′+p0(x)y=r(x) 형태의 미분방정식을 n차 선형미분방정식이라고 한다. 여기서 pi(x)(i=0,...n−1)과 r(x)는 x에 대한 함수이고 r(x)=0일 때 동차방정식, r(x)≠0일 때 비동차방정식이라고 한다. 임의의 상수 c1,...,cn에 대하여 c1y1+⋯+cnyn을 y1,...,yn의 일차결합(또는 선형결합)이라고 한다.
함수 y1(x),...,yn(x)가 모든 x∈I에 대하여 c1y1(x)+⋯+cnyn(x)=0인 경우가 오직 c1=⋯=cn=0뿐이면, y1,...,yn은 일차독립이라고 하고 그렇지 않은 경우, 즉 0이 아닌 c1,...,cn과 y1,...,yn에 대하여 c1y1+⋯+cnyn=0이면, y1,...,yn은 일차종속이라고 한다.
일차독립 또는 일차종속인지 확인하는 방법으로 론스키안 행렬식을 이용하는데 론스키안 행렬식은 구간 I에서 n−1번 미분가능한 함수 y1,...,yn에 대하여 다음과 같이 정의된다.
W=W[y1,...,yn]=det(y1y2⋯yny′1y′2⋯y′n⋮⋮⋱⋮y(n−1)1y(n−1)2⋯y(n−1)n)
y1,...,yn이 일차독립일 필요충분조건은 W[y1,...,yn]≠0이다.
함수 y1,...,yn이 구간 I에서 동차방정식 y(n)+pn−1(x)y(n−1)+⋯+p1(x)y′+p0(x)y=0의 일차독립인 해이면 y=c1y1+⋯+cnyn도 이 동차방정식의 해가 된다.
정리 2.1 (존재성과 유일성 정리). n계 선형미분방정식의 초기값 문제
y(n)+pn−1y(n−1)+⋯+p1(x)y′+p0(x)y=r(x),y(i)(x0)=Ki(i=0,...,n−1)
에서 pi(x)(i=0,...,n−1)과 r(x)가 x0를 포함하는 구간 I에서 연속이면, 이 초기값 문제는 구간 I에서 유일한 해를 가진다.
참고자료: 미분방정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐
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