3. 완전미분방정식과 적분인자

3. 완전미분방정식과 적분인자

미적분학 시간에 이변수함수 \(u(x,\,y)\)가 연속인 편도함수를 가질 때, \(\displaystyle du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy\)를 \(u\)의 전미분이라고 배웠다. 함수 \(y=y(x)\)에 대한 라이프니츠의 미분의 정의를 사용하면 미분방정식 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\frac{P(x,\,y)}{Q(x,\,y)}\,\left(Q(x,\,y)\neq0\right)\)을 \(P(x,\,y)dx+Q(x,\,y)dy=0\)으로 나타낼 수 있다. 여기서 식 \(P(x,\,y)dx+Q(x,\,y)dy\)이 이변수함수 \(u(x,\,y)\)의 전미분, 즉 완전미분 \(\displaystyle du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy\)와 같으면 이 미분방정식을 완전미분방정식이라고 한다. 이 경우 \(du=0\), 즉 \(u(x,\,y)=c\) (\(c\)는 상수)이다. 또한 \(\displaystyle P=\frac{\partial u}{\partial x}\), \(\displaystyle Q=\frac{\partial u}{\partial y}\)이고 연속이라는 가정에 의해 \(\displaystyle\frac{\partial^{2}u}{\partial y\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}\)이다. 이 조건은 \(P(x,\,y)dx+Q(x,\,y)dy\)가 전미분이 되기 위한 필요충분조건이다.

\(P(x,\,y)dx+Q(x,\,y)dy\)가 전미분이면 \(\displaystyle u(x,\,y)=\int{P(x,\,y)dx}+k(y)\)또는 \(\displaystyle u(x,\,y)=\int{Q(x,\,y)dy}+\ell(x)\)로 놓고 \(\displaystyle P=\frac{\partial u}{\partial x}\), \(\displaystyle Q=\frac{\partial u}{\partial y}\)을 이용하여 \(u(x,\,y)\)를 구할 수 있다.

예를들어 미분방정식 \(xy'+y+4=0\)은 완전미분방정식이다. \((y+4)dx+xdy=0\)이 되고 \(\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}(y+4)=1=\frac{\partial}{\partial x}x\)이기 때문이다. \(\displaystyle P=\frac{\partial u}{\partial x}=y+4\), \(\displaystyle Q=\frac{\partial u}{\partial y}=x\)이므로 \(u=xy+f(x)\)이고 \(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=y+f'(x)=y+4\)이므로 \(f'(x)=4\), \(f(x)=4x+c'\). 따라서 \(u(x,\,y)=xy+4x+c'=c\)이다. 이를 양함수로 나타내면 \(\displaystyle y=-4+\frac{k}{x}\,(k=c-c')\)이고 다른 방법으로는 \((xy)'=xy'+x\)라는 사실을 이용하여 \((xy)'=-4\), \(xy=-4+k\)라는 결과를 얻는다.

일반적으로 미분방정식 \(P(x,\,y)dx+Q(x,\,y)dy=0\)은 완전미분방정식이 아니다. 그러나 적당한 함수 \(F(x,\,y)(\neq0)\)을 곱해서 완전미분방정식으로 만들 수 있다. \(P(x,\,y)F(x,\,y)dx+Q(x,\,y)F(x,\,y)dy=0\)이 완전미분방정식이 되게 하는 함수 \(F(x,\,y)\)를 이 미분방정식의 적분인자라고 한다.

미분방정식 \(xdy-ydx=0\)은 완전미분방정식이 아니다. 그러나 함수 \(\displaystyle F(x,\,y)=\frac{1}{x^{2}}\)를 이 미분방정식의 양변에 곱하면 \(\displaystyle\frac{xdy-ydx}{x^{2}}=0\)은 완전미분방정식이 되고 그 해는 \(\displaystyle\frac{y}{x}=c\)이다. 또한 \(\displaystyle\frac{1}{xy},\,\frac{1}{y^{2}},\,\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\)도 적분인자이고 이 적분인자를 곱했을 때의 해는 각각 \(\displaystyle\frac{y}{x}=c,\,\ln\frac{y}{x}=c,\,\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)=c\)이고 이 해들은 본질적으로 같은 것이다.

다음은 일반적으로 적분인자를 구하는 과정이다. 완전미분방정식이 아닌 미분방정식 \(P(x,\,y)dx+Q(x,\,y)dy=0\)에 적분인자 \(F(x,\,y)\)를 곱한 \(P(x,\,y)F(x,\,y)dx+Q(x,\,y)F(x,\,y)=0\)이 완전미분방정식이라고 가정하면 \(\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}(FP)=\frac{\partial}{\partial x}(FQ)\)이고 편미분방정식 \(F_{y}P+FP_{y}=F_{x}Q+FQ_{x}\)을 얻는다.

학부 수준에서 적분인자를 이변수함수라고 가정하고 구하는 것은 어렵기 때문에 일변수함수라고 가정하고 적분인자를 구한다.

먼저 \(F\)가 \(x\)만의 함수인 경우, \(FP_{y}=F_{x}Q+FQ_{x}\)이고 \(F(P_{y}-Q_{x})=F_{x}Q\), \(\displaystyle\frac{1}{F}\frac{dF}{dx}=\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)\). 이 식의 양변을 \(x\)에 대해 적분하면 \(\displaystyle\ln|F|=\int{\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)dx}\)이고 \(\displaystyle F(x)=e^{\int{\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)dx}}\)이다.

적분인자가 \(y\)만의 함수인 경우도 \(x\)만의 함수인 경우처럼 구할 수 있고 구하면 \(\displaystyle F(y)=e^{\int{\frac{1}{P}\left(\frac{\partial P}{\partial x}-\frac{\partial Q}{\partial y}\right)}dy}\)이다.

미분방정식 \(2\sin(y^{2})dx+xy\cos(y^{2})dy=0\)은 \(\displaystyle4y\cos(y^{2})=\frac{\partial P}{\partial y}\neq\frac{\partial Q}{\partial x}=y\cos(y^{2})\)이므로 완전미분방정식이 아니다. 적분인자 \(F\)를 \(x\)에 대한 함수라고 하면 \(\displaystyle\frac{1}{Q}(P_{y}-Q_{x})=\frac{1}{xy\cos(y^{2})}(4y\cos(y^{2})-3y\cos(y^{2}))=\frac{3}{x}\)이므로 \(\displaystyle F(x)=e^{\int{\frac{3}{x}dx}}=x^{3}\)이다. 그러면 미분방정식 \(2x^{3}\sin(y^{2})dx+x^{2}y\cos(y^{2})dy=0\)은 완전미분방정식이 되고 일반해는 \(\displaystyle u(x,\,y)=\frac{1}{2}x^{4}\sin(y^{2})=c\)이다. 여기에 초기조건 \(\displaystyle y(2)=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\)를 추가하면 특수해 \(x^{4}\sin(y^{2})=16\)을 얻는다.

참고자료:
미분방정식입문, 김병수, 양영균, 북스힐
미분방정식 및 응용, 김병학, 김진용, 박성일, 하성남, 홍범일(공저), 청문각