3. 완전미분방정식과 적분인자

3. 완전미분방정식과 적분인자

미적분학 시간에 이변수함수 $u(x,\,y)$가 연속인 편도함수를 가질 때, $\displaystyle du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$를 $u$의 전미분이라고 배웠다. 함수 $y=y(x)$에 대한 라이프니츠의 미분의 정의를 사용하면 미분방정식 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\frac{P(x,\,y)}{Q(x,\,y)}\,\left(Q(x,\,y)\neq0\right)$을 $P(x,\,y)dx+Q(x,\,y)dy=0$으로 나타낼 수 있다. 여기서 식 $P(x,\,y)dx+Q(x,\,y)dy$이 이변수함수 $u(x,\,y)$의 전미분, 즉 완전미분 $\displaystyle du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$와 같으면 이 미분방정식을 완전미분방정식이라고 한다. 이 경우 $du=0$, 즉 $u(x,\,y)=c$ ($c$는 상수)이다. 또한 $\displaystyle P=\frac{\partial u}{\partial x}$, $\displaystyle Q=\frac{\partial u}{\partial y}$이고 연속이라는 가정에 의해 $\displaystyle\frac{\partial^{2}u}{\partial y\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}$이다. 이 조건은 $P(x,\,y)dx+Q(x,\,y)dy$가 전미분이 되기 위한 필요충분조건이다.

$P(x,\,y)dx+Q(x,\,y)dy$가 전미분이면 $\displaystyle u(x,\,y)=\int{P(x,\,y)dx}+k(y)$또는 $\displaystyle u(x,\,y)=\int{Q(x,\,y)dy}+\ell(x)$로 놓고 $\displaystyle P=\frac{\partial u}{\partial x}$, $\displaystyle Q=\frac{\partial u}{\partial y}$을 이용하여 $u(x,\,y)$를 구할 수 있다.

예를들어 미분방정식 $xy'+y+4=0$은 완전미분방정식이다. $(y+4)dx+xdy=0$이 되고 $\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}(y+4)=1=\frac{\partial}{\partial x}x$이기 때문이다. $\displaystyle P=\frac{\partial u}{\partial x}=y+4$, $\displaystyle Q=\frac{\partial u}{\partial y}=x$이므로 $u=xy+f(x)$이고 $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=y+f'(x)=y+4$이므로 $f'(x)=4$, $f(x)=4x+c'$. 따라서 $u(x,\,y)=xy+4x+c'=c$이다. 이를 양함수로 나타내면 $\displaystyle y=-4+\frac{k}{x}\,(k=c-c')$이고 다른 방법으로는 $(xy)'=xy'+x$라는 사실을 이용하여 $(xy)'=-4$, $xy=-4+k$라는 결과를 얻는다.

일반적으로 미분방정식 $P(x,\,y)dx+Q(x,\,y)dy=0$은 완전미분방정식이 아니다. 그러나 적당한 함수 $F(x,\,y)(\neq0)$을 곱해서 완전미분방정식으로 만들 수 있다. $P(x,\,y)F(x,\,y)dx+Q(x,\,y)F(x,\,y)dy=0$이 완전미분방정식이 되게 하는 함수 $F(x,\,y)$를 이 미분방정식의 적분인자라고 한다.

미분방정식 $xdy-ydx=0$은 완전미분방정식이 아니다. 그러나 함수 $\displaystyle F(x,\,y)=\frac{1}{x^{2}}$를 이 미분방정식의 양변에 곱하면 $\displaystyle\frac{xdy-ydx}{x^{2}}=0$은 완전미분방정식이 되고 그 해는 $\displaystyle\frac{y}{x}=c$이다. 또한 $\displaystyle\frac{1}{xy},\,\frac{1}{y^{2}},\,\frac{1}{x^{2}+y^{2}}$도 적분인자이고 이 적분인자를 곱했을 때의 해는 각각 $\displaystyle\frac{y}{x}=c,\,\ln\frac{y}{x}=c,\,\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)=c$이고 이 해들은 본질적으로 같은 것이다.

다음은 일반적으로 적분인자를 구하는 과정이다. 완전미분방정식이 아닌 미분방정식 $P(x,\,y)dx+Q(x,\,y)dy=0$에 적분인자 $F(x,\,y)$를 곱한 $P(x,\,y)F(x,\,y)dx+Q(x,\,y)F(x,\,y)=0$이 완전미분방정식이라고 가정하면 $\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}(FP)=\frac{\partial}{\partial x}(FQ)$이고 편미분방정식 $F_{y}P+FP_{y}=F_{x}Q+FQ_{x}$을 얻는다.

학부 수준에서 적분인자를 이변수함수라고 가정하고 구하는 것은 어렵기 때문에 일변수함수라고 가정하고 적분인자를 구한다.

먼저 $F$가 $x$만의 함수인 경우, $FP_{y}=F_{x}Q+FQ_{x}$이고 $F(P_{y}-Q_{x})=F_{x}Q$, $\displaystyle\frac{1}{F}\frac{dF}{dx}=\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)$. 이 식의 양변을 $x$에 대해 적분하면 $\displaystyle\ln|F|=\int{\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)dx}$이고 $\displaystyle F(x)=e^{\int{\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)dx}}$이다.

적분인자가 $y$만의 함수인 경우도 $x$만의 함수인 경우처럼 구할 수 있고 구하면 $\displaystyle F(y)=e^{\int{\frac{1}{P}\left(\frac{\partial P}{\partial x}-\frac{\partial Q}{\partial y}\right)}dy}$이다.

미분방정식 $2\sin(y^{2})dx+xy\cos(y^{2})dy=0$은 $\displaystyle4y\cos(y^{2})=\frac{\partial P}{\partial y}\neq\frac{\partial Q}{\partial x}=y\cos(y^{2})$이므로 완전미분방정식이 아니다. 적분인자 $F$를 $x$에 대한 함수라고 하면 $\displaystyle\frac{1}{Q}(P_{y}-Q_{x})=\frac{1}{xy\cos(y^{2})}(4y\cos(y^{2})-3y\cos(y^{2}))=\frac{3}{x}$이므로 $\displaystyle F(x)=e^{\int{\frac{3}{x}dx}}=x^{3}$이다. 그러면 미분방정식 $2x^{3}\sin(y^{2})dx+x^{2}y\cos(y^{2})dy=0$은 완전미분방정식이 되고 일반해는 $\displaystyle u(x,\,y)=\frac{1}{2}x^{4}\sin(y^{2})=c$이다. 여기에 초기조건 $\displaystyle y(2)=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$를 추가하면 특수해 $x^{4}\sin(y^{2})=16$을 얻는다.

참고자료:
미분방정식입문, 김병수, 양영균, 북스힐
미분방정식 및 응용, 김병학, 김진용, 박성일, 하성남, 홍범일(공저), 청문각