1. 미분방정식의 기본개념

1. 미분방정식의 기본개념

미분방정식이란 어떤 함수의 미분을 포함한 방정식이다. 일변수 이상의 도함수만 포함하고 있는 미분방정식을 상미분방정식이라 하고, 이변수 이상의 함수의 편도함수를 포함하고 있는 것을 편미분방정식이라고 한다.

미분방정식의 해는 어떤 구간(영역)에서 그 미분방정식을 만족하는 임의의 함수이다. 예를들어 \(y=ce^{2x}\)(\(c\)는 상수)는 미분방정식 \(y'-2y=0\)의 해이고 실수 전체에서 정의된다.

함수 \(y=ce^{2x}\)처럼 상수를 포함하는 해를 일반해라 하고 상수에 특정한 값이 정해진 해를 특수해라고 한다. 일계 미분방정식 \(y'=f(x,\,y)\)의 일반해는 무한히 많은 곡선으로 나타나는데 이 곡선 중 특정한 점 \((x_{0},\,y_{0})\)을 지나는 곡선을 찾는 문제를 초기값 문제라고 한다. 여기서 \(y_{0}=y(x_{0})\)를 초기조건이라고 한다.

실제로 모든 일계 미분방정식의 초기값 문제가 해를 갖는다는 보장이 없는데다가 해를 가져도 두 개 이상의 해를 가질 수 있다. 그러나 다음 정리에 의해 모든 초기값 문제의 해는 오직 하나씩만 존재한다.

정리 1.1 (존재정리). 초기값 문제 \(y'=f(x,\,y)\), \(y(x_{0})=y_{0}\)에서 \(f(x,\,y)\)가 적당한 영역 \(R=\{(x,\,y)\,|\,|x-x_{0}|<a,\,|y-y_{0}|<b\}\)에서 연속이고, 적당한 상수 \(K\)에 대하여 \(|f(x,\,y)|\leq K\), \((x,\,y)\in R\)이라 하자. 그러면 이 초기값 문제는 적어도 하나의 해를 갖는다.

정리 1.2 (유일성정리) 초기값 문제 \(y'=f(x,\,y)\), \(y(x_{0})=y_{0}\)에서 \(f\)와 \(f_{y}\)가 영역 \(R=\{(x,\,y)\,|\,|x-x_{0}|<a,\,|y-y_{0}|<b\}\)에서 연속이고, 적당한 상수 \(K\)와 \(M\)에 대하여 \(|f(x,\,y)|\leq K\), \(|f_{y}(x,\,y)|\leq M\), \((x,\,y)\in R\)이라 하자. 그러면 초기값 문제의 해는 유일하다.

참고자료: 미분방정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐