4. 선형 1계미분방정식

4. 선형 1계미분방정식

1계미분방정식을 \(y'+f(x)y=r(x)\)형태로 나타낼 수 있으면 그 1계미분방정식을 선형이라고 한다.

선형이란? 함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)가 상수 \(\alpha,\,\beta\)와 \(x,\,y\in X\)에 대하여 \(f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)\)를 만족하면 \(f\)를 선형이라고 한다.

예를들어 미분가능한 함수 \(f(x),\,g(x)\)와 상수 \(\alpha,\,\beta\)에 대하여 \(\displaystyle\frac{d}{dx}\{\alpha f(x)+\beta g(x)\}=\alpha\frac{d}{dx}f(x)+\beta\frac{d}{dx}g(x)\)이므로 미분은 선형이다. 또한 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{\{\alpha f(x)+\beta g(x)\}dx}=\alpha\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\beta\int_{a}^{b}{g(x)dx}\)이므로 적분 또한 선형이다.

그러므로 미분방정식 \(y'+f(x)y=r(x)\)는 선형이다. 여기서 \(f(x)\)와 \(r(x)\)는 임의로 주어진 함수이다. \(r(x)=0\)이면 이 미분방정식을 동차라 하고 그렇지 않으면(\(r(x)\neq0\)) 비동차라고 한다. 동차방정식 \(y'+f(x)y=0\)은 변수분리법을 이용하여 풀 수 있다. \(\displaystyle\frac{1}{y}dy=-f(x)dx\)이고 따라서 \(\displaystyle y=ce^{-\int{f(x)dx}}\)는 동차방정식의 해이다.

비동차방정식의 해는 다음과 같이 구한다: 미분방정식 \(y'+f(x)y=r(x)\,(r(x)\neq0)\)은 비동차방정식이다. 이 비동차방정식의 양변에 함수 \(F(x)\)를 곱하면 \(y'F(x)+f(x)F(x)y=r(x)F(x)\)이고 좌변이 \(yF(x)\)의 미분과 같다고 하자. 즉 \((yF(x))'=y'F(x)+yF'(x)=y'F(x)+F(x)f(x)y\). 그러면 \(yF'(x)=F(x)f(x)y\)이고 \(\displaystyle\frac{1}{F}dF=f(x)\)이므로 \(\displaystyle F(x)=e^{\int{f(x)dx}}\). 이제 \((yF(x))'=F(x)r(x)\)라고 하자. 그러면 \(\displaystyle yF(x)=\int{F(x)r(x)dx}+c\)이고 이때 \(\displaystyle F(x)=e^{\int{f(x)dx}}\)이므로 따라서 미분방정식 \(y'+f(x)y=r(x)\)의 해는 \(\displaystyle y=e^{-\int{f(x)dx}}\left[\int{e^{\int{f(x)dx}}r(x)dx}+c\right]\)이다.

비동차 미분방정식 \(y'+f(x)y=r(x)\)의 해를 구하는 다른 방법을 소개하고자 한다. \(\displaystyle F(x)=e^{-\int{f(x)dx}}\)는 동차방정식 \(y'+f(x)y=0\)의 해이다. 함수 \(y=F(x)u(x)\)가 앞의 비동차 미분방정식의 해가 되게 하는 함수 \(u(x)\)를 구하자. 함수 \(y=F(x)u(x)\)를 이 비동차 미분방정식에 대입하면 \(y'=F'(x)u(x)+F(x)u'(x)\)이므로 \(u'F(x)+u(F'(x)+f(x)F(x))=r(x)\)이고 \(F\)는 동차방정식의 해이므로 \(u'(x)F(x)=r(x)\), \(\displaystyle u'(x)=\frac{1}{F(x)}r(x)\)이고 \(\displaystyle u(x)=\int{\frac{r(x)}{F(x)}}dx+c=\int{e^{\int{f(x)dx}}r(x)dx}+c\)이다. 따라서 \(\displaystyle y=u(x)F(x)=e^{-\int{f(x)dx}}\left[\int{e^{\int{f(x)dx}}}+c\right]\)이고 이는 앞에서 구한 결과와 일치한다. 이러한 방법을 매개변수 변환법이라고 한다.

미분방정식 \(y'+3x^{2}y=6x^{2}\)의 해를 구하자. \(\displaystyle F(x)=e^{\int{f(x)dx}}=e^{\int{3x^{2}dx}}=e^{x^{3}}\)이므로 따라서 \(\displaystyle y=e^{-x^{3}}\left[\int{e^{x^{3}}6x^{2}dx}+c\right]=e^{-x^{3}}(2e^{x^{3}}+c)=2+ce^{-x^{3}}\)이 미분방정식 \(y'+3x^{2}y=6x^{2}\)의 해이다.

임의의 실수 \(a\)에 대하여 \(y'+f(x)y=g(x)y^{a}\)와 같은 형태의 미분방정식을 베르누이 방정식이라고 한다. \(a=0\)인 경우는 비동차방정식이고 \(a=1\)인 경우는 동차방정식이므로 앞의 결과를 이용하여 해를 구할 수 있다.

그 이외의 경우는 \(u=y^{1-a}\)로 치환해서 일반적인 해를 구할 수 있다. \(u'=(1-a)y^{-a}y'\)이므로 \(y'=g(x)y^{a}-f(x)y\)이므로 \(u'=(1-a)(g(x)-f(x)y^{1-a})\)이고 선형미분방정식 \(u'+(1-a)f(x)u=(1-a)g(x)\)를 얻는다. 풀이 방법은 1계 선형미분방정식과 동일하고 \(u=y^{1-a}\)임에 유의한다.

베르누이 방정식 \(y'-2y=-4y^{2}\)의 해를 구하자. \(u=y^{1-2}=y^{-1}\)로 치환하면 \(u'=-y^{-2}y'=-y^{-2}(-4y^{2}+2y)=4-2u\)이므로 \(u'+2u=4\)이다. \(\displaystyle F(x)=e^{\int{f(x)dx}}=e^{2x}\)이므로 \(\displaystyle u=e^{-2x}\left[\int{4e^{2x}}dx+c\right]=2+ce^{-2x}\)이고 따라서 \(\displaystyle y=\frac{1}{u}=\frac{1}{2+ce^{-2x}}\)는 베르누이 방정식 \(y'-2y=-4y^{2}\)의 해이다.

다음은 1계 미분방정식으로 나타낼 수 있는 모델이다.

저항과 인덕터가 직렬로 연결된 회로에 흐르는 전류가 \(I\)일 때 저항 양단에 걸리는 전압은 \(RI\), 인덕터 양단에 걸리는 전압은 \(\displaystyle L\frac{dI}{dt}\)이다.

키르히호프 전압법칙으로부터 다음이 성립한다:

\(\displaystyle L\frac{dI}{dt}+RI=V\)

저항과 커패시터(축전기)가 직렬로 연결된 회로에 흐르는 전류가 \(I\)일 때, 저항 양단에 걸리는 전압은 \(RI\), 커패시터 양단에 걸리는 전압은 \(\displaystyle\frac{Q}{C}\)이다.

\(Q\)는 전하량이고 \(\displaystyle I=\frac{dQ}{dt}\)이므로 키르히호프 전압법칙으로부터 다음이 성립한다:

\(\displaystyle R\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{C}Q=V\)     

참고자료:
미분방정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐
미분방정식 및 응용, 김병학, 김진용, 박성일, 하성남, 홍범일(공저), 청문각