4. 선형 1계미분방정식

4. 선형 1계미분방정식

1계미분방정식을 $y'+f(x)y=r(x)$형태로 나타낼 수 있으면 그 1계미분방정식을 선형이라고 한다.

선형이란? 함수 $f:\,X\,\rightarrow\,Y$가 상수 $\alpha,\,\beta$와 $x,\,y\in X$에 대하여 $f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)$를 만족하면 $f$를 선형이라고 한다.

예를들어 미분가능한 함수 $f(x),\,g(x)$와 상수 $\alpha,\,\beta$에 대하여 $\displaystyle\frac{d}{dx}\{\alpha f(x)+\beta g(x)\}=\alpha\frac{d}{dx}f(x)+\beta\frac{d}{dx}g(x)$이므로 미분은 선형이다. 또한 $\displaystyle\int_{a}^{b}{\{\alpha f(x)+\beta g(x)\}dx}=\alpha\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\beta\int_{a}^{b}{g(x)dx}$이므로 적분 또한 선형이다.

그러므로 미분방정식 $y'+f(x)y=r(x)$는 선형이다. 여기서 $f(x)$와 $r(x)$는 임의로 주어진 함수이다. $r(x)=0$이면 이 미분방정식을 동차라 하고 그렇지 않으면($r(x)\neq0$) 비동차라고 한다. 동차방정식 $y'+f(x)y=0$은 변수분리법을 이용하여 풀 수 있다. $\displaystyle\frac{1}{y}dy=-f(x)dx$이고 따라서 $\displaystyle y=ce^{-\int{f(x)dx}}$는 동차방정식의 해이다.

비동차방정식의 해는 다음과 같이 구한다: 미분방정식 $y'+f(x)y=r(x)\,(r(x)\neq0)$은 비동차방정식이다. 이 비동차방정식의 양변에 함수 $F(x)$를 곱하면 $y'F(x)+f(x)F(x)y=r(x)F(x)$이고 좌변이 $yF(x)$의 미분과 같다고 하자. 즉 $(yF(x))'=y'F(x)+yF'(x)=y'F(x)+F(x)f(x)y$. 그러면 $yF'(x)=F(x)f(x)y$이고 $\displaystyle\frac{1}{F}dF=f(x)$이므로 $\displaystyle F(x)=e^{\int{f(x)dx}}$. 이제 $(yF(x))'=F(x)r(x)$라고 하자. 그러면 $\displaystyle yF(x)=\int{F(x)r(x)dx}+c$이고 이때 $\displaystyle F(x)=e^{\int{f(x)dx}}$이므로 따라서 미분방정식 $y'+f(x)y=r(x)$의 해는 $\displaystyle y=e^{-\int{f(x)dx}}\left[\int{e^{\int{f(x)dx}}r(x)dx}+c\right]$이다.

비동차 미분방정식 $y'+f(x)y=r(x)$의 해를 구하는 다른 방법을 소개하고자 한다. $\displaystyle F(x)=e^{-\int{f(x)dx}}$는 동차방정식 $y'+f(x)y=0$의 해이다. 함수 $y=F(x)u(x)$가 앞의 비동차 미분방정식의 해가 되게 하는 함수 $u(x)$를 구하자. 함수 $y=F(x)u(x)$를 이 비동차 미분방정식에 대입하면 $y'=F'(x)u(x)+F(x)u'(x)$이므로 $u'F(x)+u(F'(x)+f(x)F(x))=r(x)$이고 $F$는 동차방정식의 해이므로 $u'(x)F(x)=r(x)$, $\displaystyle u'(x)=\frac{1}{F(x)}r(x)$이고 $\displaystyle u(x)=\int{\frac{r(x)}{F(x)}}dx+c=\int{e^{\int{f(x)dx}}r(x)dx}+c$이다. 따라서 $\displaystyle y=u(x)F(x)=e^{-\int{f(x)dx}}\left[\int{e^{\int{f(x)dx}}}+c\right]$이고 이는 앞에서 구한 결과와 일치한다. 이러한 방법을 매개변수 변환법이라고 한다.

미분방정식 $y'+3x^{2}y=6x^{2}$의 해를 구하자. $\displaystyle F(x)=e^{\int{f(x)dx}}=e^{\int{3x^{2}dx}}=e^{x^{3}}$이므로 따라서 $\displaystyle y=e^{-x^{3}}\left[\int{e^{x^{3}}6x^{2}dx}+c\right]=e^{-x^{3}}(2e^{x^{3}}+c)=2+ce^{-x^{3}}$이 미분방정식 $y'+3x^{2}y=6x^{2}$의 해이다.

임의의 실수 $a$에 대하여 $y'+f(x)y=g(x)y^{a}$와 같은 형태의 미분방정식을 베르누이 방정식이라고 한다. $a=0$인 경우는 비동차방정식이고 $a=1$인 경우는 동차방정식이므로 앞의 결과를 이용하여 해를 구할 수 있다.

그 이외의 경우는 $u=y^{1-a}$로 치환해서 일반적인 해를 구할 수 있다. $u'=(1-a)y^{-a}y'$이므로 $y'=g(x)y^{a}-f(x)y$이므로 $u'=(1-a)(g(x)-f(x)y^{1-a})$이고 선형미분방정식 $u'+(1-a)f(x)u=(1-a)g(x)$를 얻는다. 풀이 방법은 1계 선형미분방정식과 동일하고 $u=y^{1-a}$임에 유의한다.

베르누이 방정식 $y'-2y=-4y^{2}$의 해를 구하자. $u=y^{1-2}=y^{-1}$로 치환하면 $u'=-y^{-2}y'=-y^{-2}(-4y^{2}+2y)=4-2u$이므로 $u'+2u=4$이다. $\displaystyle F(x)=e^{\int{f(x)dx}}=e^{2x}$이므로 $\displaystyle u=e^{-2x}\left[\int{4e^{2x}}dx+c\right]=2+ce^{-2x}$이고 따라서 $\displaystyle y=\frac{1}{u}=\frac{1}{2+ce^{-2x}}$는 베르누이 방정식 $y'-2y=-4y^{2}$의 해이다.

다음은 1계 미분방정식으로 나타낼 수 있는 모델이다.

저항과 인덕터가 직렬로 연결된 회로에 흐르는 전류가 $I$일 때 저항 양단에 걸리는 전압은 $RI$, 인덕터 양단에 걸리는 전압은 $\displaystyle L\frac{dI}{dt}$이다.

키르히호프 전압법칙으로부터 다음이 성립한다:

$\displaystyle L\frac{dI}{dt}+RI=V$

저항과 커패시터(축전기)가 직렬로 연결된 회로에 흐르는 전류가 $I$일 때, 저항 양단에 걸리는 전압은 $RI$, 커패시터 양단에 걸리는 전압은 $\displaystyle\frac{Q}{C}$이다.

$Q$는 전하량이고 $\displaystyle I=\frac{dQ}{dt}$이므로 키르히호프 전압법칙으로부터 다음이 성립한다:

$\displaystyle R\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{C}Q=V$     

참고자료:
미분방정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐
미분방정식 및 응용, 김병학, 김진용, 박성일, 하성남, 홍범일(공저), 청문각