5. 1계 미분방정식 요약

5. 1계 미분방정식 요약

변수분리형 미분방정식 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=p(x)q(y)\)형태. 미분의 정의로부터 \(\displaystyle\frac{1}{q(y)}dy=p(x)dx\)이고 해는 \(\displaystyle\int{\frac{1}{q(y)}dy}=\int{p(x)dx}\).

이변수함수 \(u(x,\,y)\)의 전미분: \(\displaystyle du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy\) 미분방정식 \(du=Pdx+Qdy=0\)이 완전미분방정식이 되기 위한 필요충분조건: \(\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\) 완전미분방정식인 경우: \(\displaystyle u(x,\,y)=\int{P(x,\,y)dx}+k(y)\) 또는 \(\displaystyle u(x,\,y)=\int{Q(x,\,y)dy}+\ell(x)\)로 놓고 \(\displaystyle P=\frac{\partial u}{\partial x}\), \(\displaystyle Q=\frac{\partial u}{\partial y}\)임을 이용. 완전미분방정식이 아닌 경우: 일변수함수 (\(x\) 또는 \(y\)에 대한 함수) 적분인자 \(F\)를 미분방정식에 곱하고 완전미분방정식이 될 필요충분조건에 적용. \(F\)가 \(x\)만의 함수인 경우: \(\displaystyle F(x)=e^{\int{\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)dx}}\), \(F\)가 \(y\)만의 함수인 경우: \(\displaystyle F(y)=e^{\int{\frac{1}{P}\left(\frac{Q}{x}-\frac{P}{y}\right)dy}}\)

 

선형 1계 미분방정식: \(\displaystyle\frac{dy}{dx}+f(x)y=r(x)\). \(r(x)=0\)이면 동차, \(r(x)\neq0\)이면 비동차. 이 1계 미분방정식의 양변에 \(F(x)\)를 곱하고 그 미분방정식의 좌변이 \(Fy'+Ffy=(yF)'\)을 만족한다고 한다 (완전미분방정식이 되는 것과 같음). 그러면 \(yF'=yFf\)이고 \(\displaystyle F(x)=e^{\int{f(x)dx}}\). 그러면 \((yF)'=Fr\)이고 따라서 \(y'+fy=r\)의 해는 \(\displaystyle y=e^{-\int{f(x)dx}}\left[\int{e^{\int{f(x)dx}}r(x)dx}+c\right]\)이다. 또다른 방법: 매개변수변환법 \(y'+fy=r\)의 동차해 \(\displaystyle F(x)=e^{-\int{f(x)dx}}\)에 함수 \(u(x)\)를 곱한 \(y=F(x)u(x)\)가 미분방정식 \(y'+fy=r\)의 해가 되게 하는 \(u(x)\)를 구한다. 베르누이 방정식: \(\displaystyle\frac{dy}{dx}+f(x)y=g(x)y^{a}\,(a\neq0,\,a\neq1)\)(\(a=0\)또는 \(a=1\)이면 선형 1계 미분방정식) 치환 \(u=y^{1-a}\)를 이용하여 푼다: \(u'=(1-a)y^{-a}y'\)이고 \(y'=gy^{a}-fy\)를 대입하면 \(u'+(1-a)fu=(1-a)g\)이고 이는 선형 1계 미분방정식이므로 앞의 방법을 이용하여 풀고 \(u=y^{1-a}\)에 유의.