5. 1계 미분방정식 요약

5. 1계 미분방정식 요약

변수분리형 미분방정식 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=p(x)q(y)$형태. 미분의 정의로부터 $\displaystyle\frac{1}{q(y)}dy=p(x)dx$이고 해는 $\displaystyle\int{\frac{1}{q(y)}dy}=\int{p(x)dx}$.

이변수함수 $u(x,\,y)$의 전미분: $\displaystyle du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$ 미분방정식 $du=Pdx+Qdy=0$이 완전미분방정식이 되기 위한 필요충분조건: $\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ 완전미분방정식인 경우: $\displaystyle u(x,\,y)=\int{P(x,\,y)dx}+k(y)$ 또는 $\displaystyle u(x,\,y)=\int{Q(x,\,y)dy}+\ell(x)$로 놓고 $\displaystyle P=\frac{\partial u}{\partial x}$, $\displaystyle Q=\frac{\partial u}{\partial y}$임을 이용. 완전미분방정식이 아닌 경우: 일변수함수 ($x$ 또는 $y$에 대한 함수) 적분인자 $F$를 미분방정식에 곱하고 완전미분방정식이 될 필요충분조건에 적용. $F$가 $x$만의 함수인 경우: $\displaystyle F(x)=e^{\int{\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)dx}}$, $F$가 $y$만의 함수인 경우: $\displaystyle F(y)=e^{\int{\frac{1}{P}\left(\frac{Q}{x}-\frac{P}{y}\right)dy}}$

 

선형 1계 미분방정식: $\displaystyle\frac{dy}{dx}+f(x)y=r(x)$. $r(x)=0$이면 동차, $r(x)\neq0$이면 비동차. 이 1계 미분방정식의 양변에 $F(x)$를 곱하고 그 미분방정식의 좌변이 $Fy'+Ffy=(yF)'$을 만족한다고 한다 (완전미분방정식이 되는 것과 같음). 그러면 $yF'=yFf$이고 $\displaystyle F(x)=e^{\int{f(x)dx}}$. 그러면 $(yF)'=Fr$이고 따라서 $y'+fy=r$의 해는 $\displaystyle y=e^{-\int{f(x)dx}}\left[\int{e^{\int{f(x)dx}}r(x)dx}+c\right]$이다. 또다른 방법: 매개변수변환법 $y'+fy=r$의 동차해 $\displaystyle F(x)=e^{-\int{f(x)dx}}$에 함수 $u(x)$를 곱한 $y=F(x)u(x)$가 미분방정식 $y'+fy=r$의 해가 되게 하는 $u(x)$를 구한다. 베르누이 방정식: $\displaystyle\frac{dy}{dx}+f(x)y=g(x)y^{a}\,(a\neq0,\,a\neq1)$($a=0$또는 $a=1$이면 선형 1계 미분방정식) 치환 $u=y^{1-a}$를 이용하여 푼다: $u'=(1-a)y^{-a}y'$이고 $y'=gy^{a}-fy$를 대입하면 $u'+(1-a)fu=(1-a)g$이고 이는 선형 1계 미분방정식이므로 앞의 방법을 이용하여 풀고 $u=y^{1-a}$에 유의.