7. 2계 동차미분방정식

7. 2계 동차미분방정식

2계 동차미분방정식 $y''+f(x)y'+g(x)y=0$의 해가 $y_{1}$일 때, 다른 해 $y_{2}$가 $y_{2}=cy_{1}$이면 일차종속이 되기 때문에 $y_{2}(x)=u(x)y_{1}(x)$이고 $u(x)$는 $x$에 대한 함수이다. $y_{2}$를 미분하면 $y_{2}'=u'y_{1}+uy_{1}'$, $y_{2}''=u''y_{1}+2u'y_{1}'+uy_{1}''$이므로 미분방정식에 대입하여 정리하면 $u''y_{1}+u'(2y_{1}'+fy_{1})+u(y_{1}''+fy_{1}'+gy_{1})=0$이고 이때 $y_{1}$은 $y''+fy'+gy=0$의 해이므로 $y_{1}''+fy_{1}'+gy_{1}=0$이고 $u''y_{1}+u'(2y_{1}'+fy_{1})=0$이다. 변수분리법을 이용하여 풀면 $\displaystyle\ln|u'|=-\int{\left(2\frac{y_{1}'}{y_{1}}+f\right)dx}=-2\ln|y_{1}|-\int{fdx}$이고 $\displaystyle u'=\frac{1}{y_{1}^{2}}e^{-\int{fdx}}$이므로 따라서 $\displaystyle u(x)=\int{\frac{1}{\{y_{1}(x)\}^{2}}e^{-\int{f(x)dx}}dx}$이고 $\displaystyle y_{2}(x)=u(x)y_{1}(x)=y_{1}(x)\int{\frac{1}{\{f(x)\}^{2}}e^{-\int{f(x)dx}}dx}$이다. 이 방법을 계수축소법이라고 한다.

$y_{1}=x^{2}$는 2계 미분방정식 $\displaystyle y''-\frac{3}{x}y'+\frac{4}{x^{2}}y=0$의 해이다. 계수축소법을 이용하여 두번째 해 $y_{2}$를 구하면 $\displaystyle y_{2}=x^{2}\int{\frac{1}{x^{4}}e^{3\ln x}dx}=x^{2}\int{\frac{1}{x}dx}=x^{2}\ln x$이고 일반해는 $y=c_{1}x^{2}+c_{2}x^{2}\ln x$이다.

계수가 상수인 2계 동차 상미분방정식 $y''+ay'+by=0$의 해를 구하자. 1계 미분방정식 $y'-y=0$의 해는 $y=ce^{x}$였다. 그러면 미분방정식 $y''+ay'+by=0$의 해는 $y=e^{\lambda x}$형태일 수 있고 만약 해가 된다면 해가 되기 위한 $\lambda$의 조건을 구한다. $y=e^{\lambda x}$를 미분하면 $y'=\lambda e^{\lambda x}$, $y''=\lambda^{2}e^{\lambda x}$이므로 이 식들을 미분방정식에 대입하면 $(\lambda^{2}+a\lambda+b)e^{\lambda x}=0$이고 따라서 해가 되기 위한 $\lambda$의 조건은 $\lambda^{2}+a\lambda+b=0$이다. 이 이차방정식을 특성방정식(또는 보조방정식)이라 한다. 이차방정식 $\lambda^{2}+a\lambda+b=0$의 해는 $\displaystyle\lambda_{1}=\frac{-a+\sqrt{a^{2}-4b}}{2}$, $\displaystyle\lambda_{2}=\frac{-a-\sqrt{a^{2}-4b}}{2}$이므로 $y=e^{\lambda_{1}x}$와 $y=e^{\lambda_{2}x}$는 미분방정식 $y''+ay'+by=0$의 해이다. $a$와 $b$는 실수이므로 특성방정식의 근은 서로 다른 실근이거나 이중근, 또는 켤레복소수근이다.

특성방정식의 근	일반해
서로 다른 두 실근 $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$	$y=c_{1}e^{\lambda_{1}x}+c_{2}e^{\lambda_{2}x}$
이중근 $\lambda$	$y=(c_{1}+c_{2}x)e^{\lambda x}$
켤레복소수근 $\lambda=\alpha\pm\beta i\,(i=\sqrt{-1})$	$y=e^{\alpha}(c_{1}\sin\beta x+c_{2}\cos\beta x)$

서로다른 두 실근 $\lambda_{1}$과 $\lambda_{2}$의 경우, $\lambda_{1}\neq\lambda_{2}$이므로 $e^{\lambda_{1}x}$와 $e^{\lambda_{2}x}$는 일차독립이고 따라서 일반해는 $y=c_{1}e^{\lambda_{1}x}+c_{2}e^{\lambda_{2}x}$이고 일반해는 $y=(c_{1}+c_{2}x)e^{\lambda x}$이다.

이중근 $\lambda$의 경우, 알 수 있는 해가 $y=e^{\lambda x}$뿐이지만 계수축소법을 이용하여 또다른 해 $y=xe^{\lambda}x$를 구할 수 있다. 켤레복소수근 $\lambda=\alpha\pm\beta i\,(i=\sqrt{-1})$의 경우, 오일러 공식 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$를 이용하여 해가 $e^{\alpha x}\sin\beta x$, $e^{\alpha x}\cos\beta x$임을 알 수 있고 따라서 일반해는 $y=e^{\alpha x}(\sin\beta x+\cos\beta x)$이다.

미분방정식 $y''-y'-12y=0$의 보조방정식은 $\lambda^{2}-\lambda-12=(\lambda+3)(\lambda-4)=0$이고 $\lambda=-3$, $\lambda=4$이므로 일반해는 $y=c_{1}e^{-3x}+c_{2}e^{4x}$이다. $y''-2y'+y=0$의 보조방정식은 $\lambda^{2}-2\lambda+1=(\lambda-1)^{2}=0$이고 이중근 $\lambda=1$을 가지므로 일반해는 $y=(c_{1}+c_{2}x)e^{x}$이다. 또한 $y''-4y'+5y=0$의 보조방정식은 $\lambda^{2}-4\lambda+5=(\lambda-2)^{2}+1=0$이고 $\lambda=2\pm i$이므로 일반해는 $y=e^{2x}(c_{1}\sin x+c_{2}\cos x)$이다.

참고자료:
미분방정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐
선형미분방정식과 그 응용, 심재동, 하준홍, 경문사