7. 2계 동차미분방정식

7. 2계 동차미분방정식

2계 동차미분방정식 \(y''+f(x)y'+g(x)y=0\)의 해가 \(y_{1}\)일 때, 다른 해 \(y_{2}\)가 \(y_{2}=cy_{1}\)이면 일차종속이 되기 때문에 \(y_{2}(x)=u(x)y_{1}(x)\)이고 \(u(x)\)는 \(x\)에 대한 함수이다. \(y_{2}\)를 미분하면 \(y_{2}'=u'y_{1}+uy_{1}'\), \(y_{2}''=u''y_{1}+2u'y_{1}'+uy_{1}''\)이므로 미분방정식에 대입하여 정리하면 \(u''y_{1}+u'(2y_{1}'+fy_{1})+u(y_{1}''+fy_{1}'+gy_{1})=0\)이고 이때 \(y_{1}\)은 \(y''+fy'+gy=0\)의 해이므로 \(y_{1}''+fy_{1}'+gy_{1}=0\)이고 \(u''y_{1}+u'(2y_{1}'+fy_{1})=0\)이다. 변수분리법을 이용하여 풀면 \(\displaystyle\ln|u'|=-\int{\left(2\frac{y_{1}'}{y_{1}}+f\right)dx}=-2\ln|y_{1}|-\int{fdx}\)이고 \(\displaystyle u'=\frac{1}{y_{1}^{2}}e^{-\int{fdx}}\)이므로 따라서 \(\displaystyle u(x)=\int{\frac{1}{\{y_{1}(x)\}^{2}}e^{-\int{f(x)dx}}dx}\)이고 \(\displaystyle y_{2}(x)=u(x)y_{1}(x)=y_{1}(x)\int{\frac{1}{\{f(x)\}^{2}}e^{-\int{f(x)dx}}dx}\)이다. 이 방법을 계수축소법이라고 한다.

\(y_{1}=x^{2}\)는 2계 미분방정식 \(\displaystyle y''-\frac{3}{x}y'+\frac{4}{x^{2}}y=0\)의 해이다. 계수축소법을 이용하여 두번째 해 \(y_{2}\)를 구하면 \(\displaystyle y_{2}=x^{2}\int{\frac{1}{x^{4}}e^{3\ln x}dx}=x^{2}\int{\frac{1}{x}dx}=x^{2}\ln x\)이고 일반해는 \(y=c_{1}x^{2}+c_{2}x^{2}\ln x\)이다.

계수가 상수인 2계 동차 상미분방정식 \(y''+ay'+by=0\)의 해를 구하자. 1계 미분방정식 \(y'-y=0\)의 해는 \(y=ce^{x}\)였다. 그러면 미분방정식 \(y''+ay'+by=0\)의 해는 \(y=e^{\lambda x}\)형태일 수 있고 만약 해가 된다면 해가 되기 위한 \(\lambda\)의 조건을 구한다. \(y=e^{\lambda x}\)를 미분하면 \(y'=\lambda e^{\lambda x}\), \(y''=\lambda^{2}e^{\lambda x}\)이므로 이 식들을 미분방정식에 대입하면 \((\lambda^{2}+a\lambda+b)e^{\lambda x}=0\)이고 따라서 해가 되기 위한 \(\lambda\)의 조건은 \(\lambda^{2}+a\lambda+b=0\)이다. 이 이차방정식을 특성방정식(또는 보조방정식)이라 한다. 이차방정식 \(\lambda^{2}+a\lambda+b=0\)의 해는 \(\displaystyle\lambda_{1}=\frac{-a+\sqrt{a^{2}-4b}}{2}\), \(\displaystyle\lambda_{2}=\frac{-a-\sqrt{a^{2}-4b}}{2}\)이므로 \(y=e^{\lambda_{1}x}\)와 \(y=e^{\lambda_{2}x}\)는 미분방정식 \(y''+ay'+by=0\)의 해이다. \(a\)와 \(b\)는 실수이므로 특성방정식의 근은 서로 다른 실근이거나 이중근, 또는 켤레복소수근이다.

특성방정식의 근	일반해
서로 다른 두 실근 \(\lambda_{1}\), \(\lambda_{2}\)	\(y=c_{1}e^{\lambda_{1}x}+c_{2}e^{\lambda_{2}x}\)
이중근 \(\lambda\)	\(y=(c_{1}+c_{2}x)e^{\lambda x}\)
켤레복소수근 \(\lambda=\alpha\pm\beta i\,(i=\sqrt{-1})\)	\(y=e^{\alpha}(c_{1}\sin\beta x+c_{2}\cos\beta x)\)

서로다른 두 실근 \(\lambda_{1}\)과 \(\lambda_{2}\)의 경우, \(\lambda_{1}\neq\lambda_{2}\)이므로 \(e^{\lambda_{1}x}\)와 \(e^{\lambda_{2}x}\)는 일차독립이고 따라서 일반해는 \(y=c_{1}e^{\lambda_{1}x}+c_{2}e^{\lambda_{2}x}\)이고 일반해는 \(y=(c_{1}+c_{2}x)e^{\lambda x}\)이다.

이중근 \(\lambda\)의 경우, 알 수 있는 해가 \(y=e^{\lambda x}\)뿐이지만 계수축소법을 이용하여 또다른 해 \(y=xe^{\lambda}x\)를 구할 수 있다. 켤레복소수근 \(\lambda=\alpha\pm\beta i\,(i=\sqrt{-1})\)의 경우, 오일러 공식 \(e^{ix}=\cos x+i\sin x\)를 이용하여 해가 \(e^{\alpha x}\sin\beta x\), \(e^{\alpha x}\cos\beta x\)임을 알 수 있고 따라서 일반해는 \(y=e^{\alpha x}(\sin\beta x+\cos\beta x)\)이다.

미분방정식 \(y''-y'-12y=0\)의 보조방정식은 \(\lambda^{2}-\lambda-12=(\lambda+3)(\lambda-4)=0\)이고 \(\lambda=-3\), \(\lambda=4\)이므로 일반해는 \(y=c_{1}e^{-3x}+c_{2}e^{4x}\)이다. \(y''-2y'+y=0\)의 보조방정식은 \(\lambda^{2}-2\lambda+1=(\lambda-1)^{2}=0\)이고 이중근 \(\lambda=1\)을 가지므로 일반해는 \(y=(c_{1}+c_{2}x)e^{x}\)이다. 또한 \(y''-4y'+5y=0\)의 보조방정식은 \(\lambda^{2}-4\lambda+5=(\lambda-2)^{2}+1=0\)이고 \(\lambda=2\pm i\)이므로 일반해는 \(y=e^{2x}(c_{1}\sin x+c_{2}\cos x)\)이다.

참고자료:
미분방정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐
선형미분방정식과 그 응용, 심재동, 하준홍, 경문사