9. 비동차 선형미분방정식

9. 비동차 선형미분방정식

미분방정식 \(y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+p_{1}(x)y'+p_{0}(x)y=r(x)\)는 비동차 미분방정식이다. \(r(x)=0\)인 경우의 동차미분방정식의 해와 \(r(x)\neq0\)인 경우의 비동차 미분방정식의 해의 합은 비동차 미분방정식의 해가 된다. \(y_{h}\)를 동차미분방정식의 해라 하고, \(y_{p}\)가 비동차미분방정식의 해라고 하자. \(y=y_{h}+y_{p}\)를 비동차 미분방정식에 대입하면 \(y_{h}^{(n)}+p_{n-1}y_{h}^{(n-1)}+\cdots+p_{0}y_{h}'=0\), \(y_{p}^{(n)}+p_{n-1}y_{p}^{(n-1)}+\cdots+p_{1}y'+p_{0}y_{p}=r(x)\)이므로 \(y=y_{h}+y_{p}\)는 비동차 미분방정식의 해이다. 이 해가 비동차 미분방정식의 일반해이다.

해법 1: 미정계수법

\(r(x)\)가 다항함수, 지수함수, 삼각함수인 경우, 다음과 같이 비동차 미분방정식의 해 \(y_{p}\)를 결정할 수 있다.

\(r(x)\)의 항	선택할 \(y_{p}\)
\(ke^{px}\)	\(Ce^{px}\)
\(kx^{n}\,(n=0,\,1,\,...)\)	\(K_{n}x^{n}+K_{n-1}x^{n-1}+\cdots+K_{1}x+K_{0}\)
\(k\sin qx\) 또는 \(k\cos qx\)	\(K\cos qx+M\sin qx\)

만약 비동차해가 미정계수법으로 구할 수 있고 두개 이상의 함수의 합으로 나타나는 경우는 다음의 중첩원리를 이용하여 구할 수 있다.

중첩원리 \(y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{1}y'+p_{0}y=r_{1}\)의 비동차해를 \(y_{p_{1}}\), \(y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{1}y'+p_{0}y=r_{2}\)의 비동차해를 \(y_{p_{2}}\)라고 하자. 그러면 \(y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{1}y'+p_{0}y=\alpha r_{1}+\beta r_{2}\)의 비동차해는 \(y=\alpha y_{p_{1}}+\beta y_{p_{2}}\)이다.

미분방정식 \(y''-y=2x^{2}+10\cos2x\)의 해를 구하자. 우선 미분방정식 \(y''-y=2x^{2}\)의 비동차해를 구하자. 그 비동차해를 \(y_{p_{1}}=ax^{2}+bx+c\,(a\neq0)\)라 하고 미분방정식에 대입하자. \(y_{p_{1}}'=2ax+b\), \(y_{p_{1}}''=2a\)이므로 \(y_{p_{1}}''-y_{p_{1}}=2a-(ax^{2}+bx+c)=-ax^{2}-bx+(2a-c)=2x^{2}\)이고 \(a=-2\), \(b=0\), \(c=2a=-4\)이므로 \(y_{p_{1}}=-2x^{2}-4\)이다.

미분방정식 \(y''-y=10\cos2x\)의 비동차해를 \(y_{p_{2}}=a\cos2x+b\sin2x\)라고 하면 \(y_{p_{2}}'=-2a\sin2x+2b\cos2x\), \(y_{p_{2}}''=-4a\cos2x-4b\sin2x=-4y_{p_{2}}\)이므로 \(y_{p_{2}}''-y_{p_{2}}=-4y_{p_{2}}-y_{p_{2}}=-5y_{p_{2}}=-5a\cos2x-5b\sin2x=10\cos2x\)이고 \(a=-2\), \(b=0\). 따라서 \(y_{p_{2}}=-2\cos2x\)이다.
미분방정식 \(y''-y=2x^{2}+10\cos2x\)의 동차해를 구하면 동차해 부분의 특성방정식이 \(\lambda^{2}-1=0\)이므로 \(\lambda=\pm1\)이고 동차해는 \(y_{h}=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{x}\)이다.

따라서 미분방정식 \(y''-y=2x^{2}+10\cos2x\)의 일반해는 \(y=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{x}-2x^{2}-4-2\cos2x\)이다.  

해법 2: 수정법칙

미정계수법으로 대응시킨 비동차해가 동차해와 중복(일차종속)되는 경우, 중복도에 따라 \(x\) 또는 \(x^{2}\)을 곱해준다. 예를들어 비동차 미분방정식 \(y''+y=6\sin x\)의 경우, 동차해가 \(y_{h}=c_{1}\cos x+c_{2}\sin x\)이고 비동차 부분에 \(\sin x\)가 있다. 비동차해를 \(y_{p}=x(a\cos x+b\sin x)\)라고 하면$$y'_{p}=(a\cos x+b\sin x)+x(-a\sin x+b\cos x)\\y_{p}''=(-a\sin x+b\cos x)+(-a\sin x+b\cos x)+x(-a\cos x-b\sin x)=2(-a\sin x+b\cos x)-x(a\cos x+b\sin x)$$이므로 \(y''_{p}+y_{p}=-2a\sin x+2b\cos x=6\sin x\)이고 \(a=-3\), \(b=0\)이다. 따라서 비동차해는 \(y_{p}=-3x\cos x\)이다.

만약 \(r(x)\)가 \(\displaystyle\frac{1}{x}\)이거나 \(\tan x\)이면, 미정계수법으로는 구할 수 없다. 따라서 비동차해를 구할 수 있는 일반적이 방법이 필요하다.

참고자료:
미분방정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐
선형미분방정식과 그 응용, 심재동, 하준홍, 경문사,
미분방정식 및 응용, 김병학, 김진용, 박성일, 하성남, 홍범일, 청문각