9. 비동차 선형미분방정식

9. 비동차 선형미분방정식

미분방정식 $y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+p_{1}(x)y'+p_{0}(x)y=r(x)$는 비동차 미분방정식이다. $r(x)=0$인 경우의 동차미분방정식의 해와 $r(x)\neq0$인 경우의 비동차 미분방정식의 해의 합은 비동차 미분방정식의 해가 된다. $y_{h}$를 동차미분방정식의 해라 하고, $y_{p}$가 비동차미분방정식의 해라고 하자. $y=y_{h}+y_{p}$를 비동차 미분방정식에 대입하면 $y_{h}^{(n)}+p_{n-1}y_{h}^{(n-1)}+\cdots+p_{0}y_{h}'=0$, $y_{p}^{(n)}+p_{n-1}y_{p}^{(n-1)}+\cdots+p_{1}y'+p_{0}y_{p}=r(x)$이므로 $y=y_{h}+y_{p}$는 비동차 미분방정식의 해이다. 이 해가 비동차 미분방정식의 일반해이다.

해법 1: 미정계수법

$r(x)$가 다항함수, 지수함수, 삼각함수인 경우, 다음과 같이 비동차 미분방정식의 해 $y_{p}$를 결정할 수 있다.

$r(x)$의 항	선택할 $y_{p}$
$ke^{px}$	$Ce^{px}$
$kx^{n}\,(n=0,\,1,\,...)$	$K_{n}x^{n}+K_{n-1}x^{n-1}+\cdots+K_{1}x+K_{0}$
$k\sin qx$ 또는 $k\cos qx$	$K\cos qx+M\sin qx$

만약 비동차해가 미정계수법으로 구할 수 있고 두개 이상의 함수의 합으로 나타나는 경우는 다음의 중첩원리를 이용하여 구할 수 있다.

중첩원리 $y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{1}y'+p_{0}y=r_{1}$의 비동차해를 $y_{p_{1}}$, $y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{1}y'+p_{0}y=r_{2}$의 비동차해를 $y_{p_{2}}$라고 하자. 그러면 $y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{1}y'+p_{0}y=\alpha r_{1}+\beta r_{2}$의 비동차해는 $y=\alpha y_{p_{1}}+\beta y_{p_{2}}$이다.

미분방정식 $y''-y=2x^{2}+10\cos2x$의 해를 구하자. 우선 미분방정식 $y''-y=2x^{2}$의 비동차해를 구하자. 그 비동차해를 $y_{p_{1}}=ax^{2}+bx+c\,(a\neq0)$라 하고 미분방정식에 대입하자. $y_{p_{1}}'=2ax+b$, $y_{p_{1}}''=2a$이므로 $y_{p_{1}}''-y_{p_{1}}=2a-(ax^{2}+bx+c)=-ax^{2}-bx+(2a-c)=2x^{2}$이고 $a=-2$, $b=0$, $c=2a=-4$이므로 $y_{p_{1}}=-2x^{2}-4$이다.

미분방정식 $y''-y=10\cos2x$의 비동차해를 $y_{p_{2}}=a\cos2x+b\sin2x$라고 하면 $y_{p_{2}}'=-2a\sin2x+2b\cos2x$, $y_{p_{2}}''=-4a\cos2x-4b\sin2x=-4y_{p_{2}}$이므로 $y_{p_{2}}''-y_{p_{2}}=-4y_{p_{2}}-y_{p_{2}}=-5y_{p_{2}}=-5a\cos2x-5b\sin2x=10\cos2x$이고 $a=-2$, $b=0$. 따라서 $y_{p_{2}}=-2\cos2x$이다.
미분방정식 $y''-y=2x^{2}+10\cos2x$의 동차해를 구하면 동차해 부분의 특성방정식이 $\lambda^{2}-1=0$이므로 $\lambda=\pm1$이고 동차해는 $y_{h}=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{x}$이다.

따라서 미분방정식 $y''-y=2x^{2}+10\cos2x$의 일반해는 $y=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{x}-2x^{2}-4-2\cos2x$이다.  

해법 2: 수정법칙

미정계수법으로 대응시킨 비동차해가 동차해와 중복(일차종속)되는 경우, 중복도에 따라 $x$ 또는 $x^{2}$을 곱해준다. 예를들어 비동차 미분방정식 $y''+y=6\sin x$의 경우, 동차해가 $y_{h}=c_{1}\cos x+c_{2}\sin x$이고 비동차 부분에 $\sin x$가 있다. 비동차해를 $y_{p}=x(a\cos x+b\sin x)$라고 하면 $$y'_{p}=(a\cos x+b\sin x)+x(-a\sin x+b\cos x)\\y_{p}''=(-a\sin x+b\cos x)+(-a\sin x+b\cos x)+x(-a\cos x-b\sin x)=2(-a\sin x+b\cos x)-x(a\cos x+b\sin x)$$ 이므로 $y''_{p}+y_{p}=-2a\sin x+2b\cos x=6\sin x$이고 $a=-3$, $b=0$이다. 따라서 비동차해는 $y_{p}=-3x\cos x$이다.

만약 $r(x)$가 $\displaystyle\frac{1}{x}$이거나 $\tan x$이면, 미정계수법으로는 구할 수 없다. 따라서 비동차해를 구할 수 있는 일반적이 방법이 필요하다.

참고자료:
미분방정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐
선형미분방정식과 그 응용, 심재동, 하준홍, 경문사,
미분방정식 및 응용, 김병학, 김진용, 박성일, 하성남, 홍범일, 청문각