2. 변수분리형 미분방정식

2. 변수분리형 미분방정식

일반형 미분방정식은 \(y'=f(x)\)의 형태이고 해는 이미 미적분학 또는 고등학교 미적분 시간에 배운 부정적분 \(\displaystyle y=\int{f(x)dx}\)이다. 예를들어 미분방정식 \(y'=\sin x\), \(y'=x^{2}\)의 해는 각각 \(y=-\cos x+C\), \(\displaystyle y=\frac{1}{3}x^{3}+C\)(\(C\)는 적분상수)이다. 상수 \(C\)가 포함되어있기 때문에 앞의 문제의 해들은 모두 일반해이다.

미분방정식 \(y'=f(x,\,y)\)에서 \(f(x,\,y)=p(x)q(y)\,(q(y)\neq0)\)꼴로 나타나는 경우, \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=p(x)q(y)\)이고, 미분의 정의로부터 \(dy=p(x)q(y)dx\)를 얻고 양변을 \(q(y)\)로 나누면 \(\displaystyle\frac{1}{q(y)}dy=p(x)dx\)이다. 이 식의 양변을 각각 적분하면 \(\displaystyle\int{\frac{1}{q(y)}dy}=\int{p(x)dx}\)이다. 이 식은 미분방정식 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=p(x)q(y)\)의 해이다. 실제로 해를 \(x\)에 대해 미분하면 \(\displaystyle\frac{d}{dx}\int{\frac{1}{q(y)}dy}=\frac{d}{dx}\int{p(x)dx}=p(x)\)이고 연쇄법칙에 의해 \(\displaystyle\frac{d}{dx}\int{\frac{1}{q(y)}dy}=\frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}\int{\frac{1}{q(y)}dy}=\frac{dy}{dx}\frac{1}{q(y)}\)이므로 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=p(x)q(y)\)이다.

(1) 미분방정식 \(y'=-2xy^{2}\)는 변수분리형 미분방정식이다. \(\displaystyle\frac{1}{y^{2}}dy=-2x\)이고 양변을 적분하면 \(\displaystyle-\frac{1}{y}=-x^{2}+C_{1}\)이고 따라서 일반해는 \(\displaystyle y=\frac{1}{x^{2}+C}\,(C=-C_{1})\)이다.

(2) 미분방정식 \(\displaystyle y'=y-x-1+\frac{1}{x-y+2}\)에서 \(t=x-y+2\)로 놓으면 \(\displaystyle\frac{dt}{dx}=1-\frac{dy}{dx}\)이고 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=1-\frac{dt}{dx}\), \(1-\frac{dt}{dx}=-t+1+\frac{1}{t}\)이고 \(\displaystyle\frac{dt}{dx}=t-\frac{1}{t}=\frac{t^{2}-1}{t}\), \(\displaystyle\frac{t}{t^{2}-1}dt=dx\)이므로 양변을 적분하면 \(\displaystyle\frac{1}{2}\ln|t^{2}-1|=x+C_{1}\)이고 \(t^{2}-1=Ce^{2x}\,(C=e^{2C_{1}})\). 따라서 일반해는 \((x-y+2)^{2}=Ce^{2x}+1\)이다.

변수분리형 미분방정식으로 나타낼 수 있는 모델

자유낙하하는 물체: 중력가속도를 \(g\), 질량은 \(m\), 공기저항을 나타내는 양의 상수를 \(b\)라 하자. 물체에는 중력 \(F_{g}=mg\)와 공기저항력 \(F_{d}=-bv\)가 작용하기 때문에 물체의 알짜힘은 \(\displaystyle F=ma=m\frac{dv}{dt}=mg-bv\)이다. 물체의 초기속력을 \(v_{0}\)라고 하면 물체의 속력은 \(\displaystyle v(t)=\frac{mg}{k}+\left(v_{0}-\frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{k}{m}t}\)이다. 여기서 \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{v(t)}=\frac{mg}{k}\)를 물체의 종단속도라고 한다.

온도변화: 뉴턴의 냉각법칙에 따르면 물체의 온도변화율은 물체의 온도와 그 물체를 둘러싸고 있는 매질의 온도차에 비례한다고 한다. 시각 \(t\)에서의 물체의 온도를 \(T=T(t)\), 주위 매질의 온도를 \(M\)이라 놓고 이를 뉴턴의 냉각법칙에 적용하면 미분방정식 \(\displaystyle\frac{dT}{dt}=k(M-T)\)을 얻는다. 시각 \(t_{0}\)에서의 온도를 \(T_{0}\), 냉각이 시각 \(t_{0}\)에서부터 시작되면 시각 \(t\)에서의 온도는 \(\displaystyle T(t)=M+(T_{0}-M)e^{-k(t-t_{0})}\)이다.

로지스틱 미분방정식: 고립된 섬나라의 시각 \(t\)일 때의 인구를 \(P(t)\)라고 하면 \(\displaystyle\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right)\)이고 \(y\)가 \(K\)에 비해 무척 작으면 \(\displaystyle\frac{y}{K}\approx0\)이므로 \(\displaystyle\frac{dP}{dt}\approx kP\)이고 \(y\,\rightarrow\,K\)이면 \(\displaystyle\frac{dP}{dt}\,\rightarrow\,0\)이다. 또 \(y\)가 \(K\)에 비해 무척 크면 \(\displaystyle1-\frac{P}{K}<0\)이므로 \(\displaystyle\frac{dP}{dt}<0\)이다. 이 모델이 알려주는 것은 해당 섬나라의 적정인구가 \(K\)명이라는 것이다. (\(P(t)\)를 구하는 것은 여러분 몫이다.)  

참고자료:
미분방정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐
선형미분방정식과 그 응용, 심재동, 하준홍, 경문사