2. 변수분리형 미분방정식

2. 변수분리형 미분방정식

일반형 미분방정식은 $y'=f(x)$의 형태이고 해는 이미 미적분학 또는 고등학교 미적분 시간에 배운 부정적분 $\displaystyle y=\int{f(x)dx}$이다. 예를들어 미분방정식 $y'=\sin x$, $y'=x^{2}$의 해는 각각 $y=-\cos x+C$, $\displaystyle y=\frac{1}{3}x^{3}+C$($C$는 적분상수)이다. 상수 $C$가 포함되어있기 때문에 앞의 문제의 해들은 모두 일반해이다.

미분방정식 $y'=f(x,\,y)$에서 $f(x,\,y)=p(x)q(y)\,(q(y)\neq0)$꼴로 나타나는 경우, $\displaystyle\frac{dy}{dx}=p(x)q(y)$이고, 미분의 정의로부터 $dy=p(x)q(y)dx$를 얻고 양변을 $q(y)$로 나누면 $\displaystyle\frac{1}{q(y)}dy=p(x)dx$이다. 이 식의 양변을 각각 적분하면 $\displaystyle\int{\frac{1}{q(y)}dy}=\int{p(x)dx}$이다. 이 식은 미분방정식 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=p(x)q(y)$의 해이다. 실제로 해를 $x$에 대해 미분하면 $\displaystyle\frac{d}{dx}\int{\frac{1}{q(y)}dy}=\frac{d}{dx}\int{p(x)dx}=p(x)$이고 연쇄법칙에 의해 $\displaystyle\frac{d}{dx}\int{\frac{1}{q(y)}dy}=\frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}\int{\frac{1}{q(y)}dy}=\frac{dy}{dx}\frac{1}{q(y)}$이므로 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=p(x)q(y)$이다.

(1) 미분방정식 $y'=-2xy^{2}$는 변수분리형 미분방정식이다. $\displaystyle\frac{1}{y^{2}}dy=-2x$이고 양변을 적분하면 $\displaystyle-\frac{1}{y}=-x^{2}+C_{1}$이고 따라서 일반해는 $\displaystyle y=\frac{1}{x^{2}+C}\,(C=-C_{1})$이다.

(2) 미분방정식 $\displaystyle y'=y-x-1+\frac{1}{x-y+2}$에서 $t=x-y+2$로 놓으면 $\displaystyle\frac{dt}{dx}=1-\frac{dy}{dx}$이고 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=1-\frac{dt}{dx}$, $1-\frac{dt}{dx}=-t+1+\frac{1}{t}$이고 $\displaystyle\frac{dt}{dx}=t-\frac{1}{t}=\frac{t^{2}-1}{t}$, $\displaystyle\frac{t}{t^{2}-1}dt=dx$이므로 양변을 적분하면 $\displaystyle\frac{1}{2}\ln|t^{2}-1|=x+C_{1}$이고 $t^{2}-1=Ce^{2x}\,(C=e^{2C_{1}})$. 따라서 일반해는 $(x-y+2)^{2}=Ce^{2x}+1$이다.

변수분리형 미분방정식으로 나타낼 수 있는 모델

자유낙하하는 물체: 중력가속도를 $g$, 질량은 $m$, 공기저항을 나타내는 양의 상수를 $b$라 하자. 물체에는 중력 $F_{g}=mg$와 공기저항력 $F_{d}=-bv$가 작용하기 때문에 물체의 알짜힘은 $\displaystyle F=ma=m\frac{dv}{dt}=mg-bv$이다. 물체의 초기속력을 $v_{0}$라고 하면 물체의 속력은 $\displaystyle v(t)=\frac{mg}{k}+\left(v_{0}-\frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{k}{m}t}$이다. 여기서 $\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{v(t)}=\frac{mg}{k}$를 물체의 종단속도라고 한다.

온도변화: 뉴턴의 냉각법칙에 따르면 물체의 온도변화율은 물체의 온도와 그 물체를 둘러싸고 있는 매질의 온도차에 비례한다고 한다. 시각 $t$에서의 물체의 온도를 $T=T(t)$, 주위 매질의 온도를 $M$이라 놓고 이를 뉴턴의 냉각법칙에 적용하면 미분방정식 $\displaystyle\frac{dT}{dt}=k(M-T)$을 얻는다. 시각 $t_{0}$에서의 온도를 $T_{0}$, 냉각이 시각 $t_{0}$에서부터 시작되면 시각 $t$에서의 온도는 $\displaystyle T(t)=M+(T_{0}-M)e^{-k(t-t_{0})}$이다.

로지스틱 미분방정식: 고립된 섬나라의 시각 $t$일 때의 인구를 $P(t)$라고 하면 $\displaystyle\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right)$이고 $y$가 $K$에 비해 무척 작으면 $\displaystyle\frac{y}{K}\approx0$이므로 $\displaystyle\frac{dP}{dt}\approx kP$이고 $y\,\rightarrow\,K$이면 $\displaystyle\frac{dP}{dt}\,\rightarrow\,0$이다. 또 $y$가 $K$에 비해 무척 크면 $\displaystyle1-\frac{P}{K}<0$이므로 $\displaystyle\frac{dP}{dt}<0$이다. 이 모델이 알려주는 것은 해당 섬나라의 적정인구가 $K$명이라는 것이다. ($P(t)$를 구하는 것은 여러분 몫이다.)  

참고자료:
미분방정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐
선형미분방정식과 그 응용, 심재동, 하준홍, 경문사