12. 고계 미분방정식 요약

12. 고계 미분방정식 요약

 

\(y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+p_{1}(x)y'+p_{0}(x)y=r(x)\): \(n\)계 비동차 선형미분방정식 (\(r(x)=0\)이면 동차) \(y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{1}y'+a_{0}y=r(x)\): 상수계수 \(n\)계 비동차 선형미분방정식 (\(r(x)=0\)이면 동차) \(x^{n}y^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{1}xy'+a_{0}y=r(x)\): 오일러-코시 방정식

 

2계 미분방정식 \(y''+f(x)y'+g(x)y=0\)의 알려진 해가 \(y_{1}\)이면 계수축소법을 이용하여 다른 해 \(y_{2}\)를 구한다. \(y_{2}=u(x)y_{1}(x)\)이고 미분방정식에 직접 대입하여 구하면 \(\displaystyle y_{2}=y_{1}\int{\frac{1}{\{y_{1}(x)\}^{2}}e^{-\int{f(x)dx}}dx}\)

 

상수계수 동차미분방정식의 경우 \(y=e^{\lambda x}\)를 대입하여 특성방정식을 얻고 오일러-코시 방정식의 경우 \(y=x^{m}\,(x>0)\)를 대입하여 특성방정식을 얻는다.

 

특성방정식의 해에 따른 동차해의 형태
	상수계수 동차 미분방정식	오일러-코시 방정식
서로다른 실근	\(y=c_{1}e^{\lambda_{1}x}+\cdots+c_{n}e^{\lambda_{n}x}\)	\(y=c_{1}x^{m_{1}}+\cdots+c_{n}x^{m_{n}}\)
\(m\)중근 (계수축소법을 이용하여 얻음)	\(y=(c_{0}+c_{1}x+\cdots+c_{m}x^{m})y_{s}+\cdots\) (\(y_{s}\)는 \(m\)번 중복되는 해)	\(y=(c_{0}+c_{1}\ln x+\cdots+c_{m}(\ln x)^{m})y_{s}+\cdots\) (\(y_{s}\)는 \(m\)번 중복되는 해)
켤레복소수근 (오일러공식을 이용하여 얻음)	\(y=e^{\alpha x}(c_{1}\cos\beta x+c_{2}\sin\beta x)+\cdots\)	\(y=x^{\alpha x}\{c_{1}\cos(\beta\ln x)+c_{2}\sin(\beta\ln x)\}+\cdots\)

 

\(n\)계 비동차 선형미분방정식에서 비동차해를 구하는 방법 \(r(x)\)가 다항함수, 지수함수, 삼각함수인 경우, 미정계수법을 이용하여 비동차해 \(y_{p}\)를 구한다. \(r(x)\)의 항 선택할 \(y_{p}\) \(ke^{px}\) \(Ce^{px}\) \(kx^{n}\,(n=0,\,1,\,...)\) \(K_{n}x^{n}+K_{n-1}x^{n-1}+\cdots+K_{1}x+K_{0}\) \(k\sin qx\)또는 \(k\cos qx\) \(K\cos qx+M\sin qx\)   비동차해를 미정계수법으로 구할 수 있고 \(r(x)\)가 2개 이상의 함수들의 합으로 나타나는 경우는 다음의 중첩원리를 이용한다. 중첩원리 \(y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{1}y'+p_{0}y=r_{1}\)의 비동차해를 \(y_{p_{1}}\), \(y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{1}y'+p_{0}y=r_{2}\)의 비동차해를 \(y_{p_{2}}\)라고 하자. 그러면 \(y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{1}y'+p_{0}y=\alpha r_{1}+\beta r_{2}\)의 비동차해는 \(y=\alpha y_{p_{1}}+\beta y_{p_{2}}\)이다.   미정계수법으로 대응되는 함수가 동차해의 함수와 중복되는 경우, 중복도에 따라 \(x\) 또는 \(x^{2}\)을 곱한다. (오일러-코시 방정식의 경우는 \(\ln x\) 또는 \((\ln x)^{2}\))   미정계수법으로 비동차해를 구할 수 없는 경우, 동차해를 \(y_{1},\,...,\,y_{n}\)이라고 하면 비동차해는$$y_{p}=y_{1}\int{\frac{W_{1}}{W}r(x)dx}+\cdots+y_{n}\int{\frac{W_{n}}{W}r(x)dx}$$이고 여기서 \(W=W[y_{1},\,...,\,y_{n}]\)는 \(y_{1},\,...,\,y_{n}\)의 론스키안이고 \(W_{i}\,(i=1,\,...,\,n)\)는 \(W\)의 \(i\)번째 열을 열벡터 \(\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 1\end{pmatrix}\)로 바꾼 행렬식이다. 오일러-코시 방정식의 경우는 \(\displaystyle y^{(n)}+\frac{a_{n-1}}{x}y^{(n-1)}+\cdots+\frac{a_{1}}{x^{n-1}}y'+\frac{a_{0}}{x^{n}}y=\frac{r(x)}{x^{n}}\)형태로 고치고 구한다.