12. 고계 미분방정식 요약

12. 고계 미분방정식 요약

 

$y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+p_{1}(x)y'+p_{0}(x)y=r(x)$: $n$계 비동차 선형미분방정식 ($r(x)=0$이면 동차) $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{1}y'+a_{0}y=r(x)$: 상수계수 $n$계 비동차 선형미분방정식 ($r(x)=0$이면 동차) $x^{n}y^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{1}xy'+a_{0}y=r(x)$: 오일러-코시 방정식

 

2계 미분방정식 $y''+f(x)y'+g(x)y=0$의 알려진 해가 $y_{1}$이면 계수축소법을 이용하여 다른 해 $y_{2}$를 구한다. $y_{2}=u(x)y_{1}(x)$이고 미분방정식에 직접 대입하여 구하면 $\displaystyle y_{2}=y_{1}\int{\frac{1}{\{y_{1}(x)\}^{2}}e^{-\int{f(x)dx}}dx}$

 

상수계수 동차미분방정식의 경우 $y=e^{\lambda x}$를 대입하여 특성방정식을 얻고 오일러-코시 방정식의 경우 $y=x^{m}\,(x>0)$를 대입하여 특성방정식을 얻는다.

 

특성방정식의 해에 따른 동차해의 형태
	상수계수 동차 미분방정식	오일러-코시 방정식
서로다른 실근	$y=c_{1}e^{\lambda_{1}x}+\cdots+c_{n}e^{\lambda_{n}x}$	$y=c_{1}x^{m_{1}}+\cdots+c_{n}x^{m_{n}}$
$m$중근 (계수축소법을 이용하여 얻음)	$y=(c_{0}+c_{1}x+\cdots+c_{m}x^{m})y_{s}+\cdots$ ($y_{s}$는 $m$번 중복되는 해)	$y=(c_{0}+c_{1}\ln x+\cdots+c_{m}(\ln x)^{m})y_{s}+\cdots$ ($y_{s}$는 $m$번 중복되는 해)
켤레복소수근 (오일러공식을 이용하여 얻음)	$y=e^{\alpha x}(c_{1}\cos\beta x+c_{2}\sin\beta x)+\cdots$	$y=x^{\alpha x}\{c_{1}\cos(\beta\ln x)+c_{2}\sin(\beta\ln x)\}+\cdots$

 

$n$계 비동차 선형미분방정식에서 비동차해를 구하는 방법 $r(x)$가 다항함수, 지수함수, 삼각함수인 경우, 미정계수법을 이용하여 비동차해 $y_{p}$를 구한다. $r(x)$의 항 선택할 $y_{p}$ $ke^{px}$ $Ce^{px}$ $kx^{n}\,(n=0,\,1,\,...)$ $K_{n}x^{n}+K_{n-1}x^{n-1}+\cdots+K_{1}x+K_{0}$ $k\sin qx$또는 $k\cos qx$ $K\cos qx+M\sin qx$   비동차해를 미정계수법으로 구할 수 있고 $r(x)$가 2개 이상의 함수들의 합으로 나타나는 경우는 다음의 중첩원리를 이용한다. 중첩원리 $y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{1}y'+p_{0}y=r_{1}$의 비동차해를 $y_{p_{1}}$, $y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{1}y'+p_{0}y=r_{2}$의 비동차해를 $y_{p_{2}}$라고 하자. 그러면 $y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{1}y'+p_{0}y=\alpha r_{1}+\beta r_{2}$의 비동차해는 $y=\alpha y_{p_{1}}+\beta y_{p_{2}}$이다.   미정계수법으로 대응되는 함수가 동차해의 함수와 중복되는 경우, 중복도에 따라 $x$ 또는 $x^{2}$을 곱한다. (오일러-코시 방정식의 경우는 $\ln x$ 또는 $(\ln x)^{2}$)   미정계수법으로 비동차해를 구할 수 없는 경우, 동차해를 $y_{1},\,...,\,y_{n}$이라고 하면 비동차해는 $$y_{p}=y_{1}\int{\frac{W_{1}}{W}r(x)dx}+\cdots+y_{n}\int{\frac{W_{n}}{W}r(x)dx}$$ 이고 여기서 $W=W[y_{1},\,...,\,y_{n}]$는 $y_{1},\,...,\,y_{n}$의 론스키안이고 $W_{i}\,(i=1,\,...,\,n)$는 $W$의 $i$번째 열을 열벡터 $\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 1\end{pmatrix}$로 바꾼 행렬식이다. 오일러-코시 방정식의 경우는 $\displaystyle y^{(n)}+\frac{a_{n-1}}{x}y^{(n-1)}+\cdots+\frac{a_{1}}{x^{n-1}}y'+\frac{a_{0}}{x^{n}}y=\frac{r(x)}{x^{n}}$형태로 고치고 구한다.