13. 라플라스 변환의 정의

13. 라플라스 변환의 정의

 

\(t\geq0\)에서 정의되는 함수 \(f(t)\)에 대하여 \(\displaystyle F(s)=\mathcal{L}(f(t))=\int_{0}^{\infty}{e^{-st}f(t)dt}\)가 존재하는 경우, \(F(s)\)를 \(f(t)\)의 라플라스 변환이라 한다. 또한 \(f(t)\)를 \(F(s)\)의 역 라플라스 변환이라 하고 \(f(t)=\mathcal{L}^{-1}(F(s))\)로 나타낸다.

 

적분의 선형성으로부터 라플라스 변환은 선형이다. 즉, \(\mathcal{L}(f(t))=F(s)\), \(\mathcal{L}(g(t))=G(s)\)라고 하면 \(\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(\mathcal{L}(\alpha f(t)+\beta g(t))=\alpha F(s)+\beta G(s)\). 또한 역변환도 선형변환이다. 즉, \(\mathcal{L}^{-1}(\alpha F(s)+\beta G(s))=\alpha f(t)+\beta g(t)\)

 

함수 \(f(t)\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 정의되어있고 \([a,\,b]\)가 유한개의 부분구간으로 나누어지고 각 부분구간에서 \(f(t)\)가 연속이고 양 끝점에서 좌, 우 극한값을 가지면 \(f(t)\)를 구간 \([a,\,b]\)에서 조각연속이라고 한다.

 

정리 3.1 함수 \(f(t)\)가 구간 \([0,\,\infty)\)의 모든 유한구간에서 조각연속이고 적당한 상수 \(M\)과 \(k\)에 대하여 \(|f(t)|\leq Me^{kt}\)를 만족한다고 하자. 그러면 \(s>k\)에 대하여 \(f(t)\)의 라플라스 변환이 존재한다.

증명: \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{|f(t)|e^{-st}dt}\leq M\int_{0}^{\infty}{e^{-(s-k)t}dt}=\frac{M}{s-k}\)이므로 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{e^{-st}f(t)dt}\)는 수렴한다.

 

양수 \(\alpha\)에 대하여 \(\Gamma(\alpha+1)=\int_{0}^{\infty}{t^{\alpha}e^{-t}dt}\)를 감마함수라고 한다. 부분적분 공식에 의해 \(\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)\)가 성립하고 특히 자연수 \(n\)에 대하여 \(\Gamma(n+1)=n!\)이고 \(\displaystyle\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\)이다.

 

다음은 기초함수의 라플라스 변환이다. 

	\(f(t)\)	\(\mathcal{L}(f(t))\)		\(f(t)\)	\(\mathcal{L}(f(t))\)
(1)	1	\(\displaystyle\frac{1}{s}\)	(5)	\(\cos\omega t\)	\(\displaystyle\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}\)
(2)	\(t^{n}\,(n\in\mathbb{N})\)	\(\displaystyle\frac{n!}{s^{n+1}}\)	(6)	\(\sin\omega t\)	\(\displaystyle\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\)
(3)	\(t^{\alpha}\,(\alpha>0)\)	\(\displaystyle\frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}}\)	(7)	\(\cosh at\)	\(\displaystyle\frac{s}{s^{2}-a^{2}}\)
(4)	\(e^{at}\)	\(\displaystyle\frac{1}{s-a}\)	(8)	\(\sinh at\)	\(\displaystyle\frac{a}{s^{2}-a^{2}}\)

 

증명:

(1): \(\displaystyle\mathcal{L}(1)=\int_{0}^{\infty}{e^{-st}dt}=\frac{1}{s}\)

(2), (3): \(\alpha>0\)에 대하여 \(\displaystyle\mathcal{L}(t^{\alpha})=\int_{0}^{\infty}{e^{-st}t^{\alpha}dt}=\int_{0}^{\infty}{\left(\frac{x}{s}\right)e^{-s}\frac{1}{s}dx}=\frac{1}{s^{\alpha+1}}\int_{0}^{\infty}{x^{\alpha}e^{-x}dx}=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}}\)

(\(x=st\)로 치환적분하고 감마함수의 정의 적용). 특히 \(\alpha=n\in\mathbb{N}\)인 경우 \(\displaystyle\mathcal{L}(t^{n})=\frac{\Gamma(n+1)}{s^{n+1}}=\frac{n!}{s^{n+1}}\)

(4): \(\displaystyle\mathcal{L}(e^{at})=\int_{0}^{\infty}{e^{-st}e^{at}dt}=\int_{0}^{\infty}{e^{-(s-a)t}dt}=\frac{1}{s-a}\)

(5), (6): 오일러공식 \(e^{i\omega t}=\cos\omega t+i\sin\omega t\)를 이용하면$$\mathcal{L}(\cos\omega t)+i\mathcal{L}(\sin\omega t)=\mathcal{L}(e^{i\omega t})=\int_{0}^{\infty}{e^{-st}e^{i\omega t}dt}=\int_{0}^{\infty}{e^{-(s-i\omega)t}dt}=\frac{1}{s-i\omega}=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}+i\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}$$

이고 실수부, 허수부와 각각 대응시키면 \(\displaystyle\mathcal{L}(\cos\omega t)=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}\), \(\displaystyle\mathcal{L}(\sin\omega t)=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\)를 얻는다.

(7), (8): \(\displaystyle\cosh at=\frac{e^{at}+e^{-at}}{2}\), \(\displaystyle\sinh at=\frac{e^{at}-e^{-at}}{2}\)이고 라플라스 변환은 선형이므로 (4)를 이용하여 구할 수 있다.

 

참고자료:

미분방정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐

선형미분방정식과 그 응용, 심재동, 하준홍, 경문사

미분방정식 및 응용, 김병학, 김진용, 박성일, 하성남, 홍범일(공저), 청문각