16. 라플라스 변환을 이용한 미분방정식의 풀이

16. 라플라스 변환을 이용한 미분방정식의 풀이

초기값이 정해진 상수계수 미분방정식을 기존의 방법대로 풀면 매우 복잡하다. 그러나 라플라스 변환을 이용하면 좀 더 쉽게 풀 수 있다.

복습: $\mathcal{L}(f^{(n)}(t))=s^{n}\mathcal{L}(f(t))-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-sf^{(n-2)}(0)-f^{(n-1)}(0)$

참고: 라플라스 변환을 이용하여 미분방정식을 풀기 위해서 반드시 초기값이 있어야 하고 그 초기값은 $t=0$일 때의 값이어야 한다.

라플라스 변환이 존재하는 함수 $f(t)$에 대하여 $$F(s-a)=\int_{0}^{\infty}{e^{-(s-a)t}f(t)dt}=\int_{0}^{\infty}{e^{-st}(e^{at}f(t))dt}=\mathcal{L}(e^{at}f(t))$$ 이다.

상수계수 2계 미분방정식 $y''+ay'+by=f(x),\,y(0)=y_{0},\,y'(0)=y_{1}$에서 $F(s)=\mathcal{L}(y(x))$, $G(s)=\mathcal{L}(f(x))$라고 하고 미분방정식의 각 항들을 라플라스 변환하면 $(s^{2}F(s)-sy_{0}-y_{1})+a(sF(s)-y_{0})+bF(s)=G(s)$이고 $(s^{2}+as+b)F(s)=(s+a)y_{0}+y_{1}+G(s)$이므로 $\displaystyle F(s)=\frac{(s+a)y_{0}+y_{1}+G(s)}{s^{2}+as+b}$이고 따라서 $y=\mathcal{L}^{-1}(F(s))$이다.

왼쪽의 회로는 직렬 RLC회로이다. 전류 $i(t)$와 전하량 $Q(t)$의 관계가 $\displaystyle i(t)=\frac{dQ}{dt}$라는 것이 알려져있다. 초기 전류와 전하량을 각각 $i(0)=I_{0}$, $Q(0)=Q_{0}$이라고 하면 인덕터에 걸리는 전압이 $\displaystyle L\frac{di}{dt}=L\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}$, 저항에 걸리는 전압이 $\displaystyle Ri=R\frac{dQ}{dt}$, 커패시터에 걸리는 전압이 $\displaystyle\frac{1}{C}Q$, 전압이 $V(t)$인 전원이 직렬로 연결되어있기 때문에 키르히호프 전압법칙에 의해 미분방정식 $$L\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}+R\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{C}Q=V(t),\,Q(0)=Q_{0},\,i(0)=I_{0}$$ 를 얻는다. 이 미분방정식은 초기값 문제이고 $F(s)=\mathcal{L}(Q(t))$, $G(s)=\mathcal{L}(V(t))$라고 하고 미분방정식의 각 항들을 라플라스 변환하면 $\displaystyle L(s^{2}F(s)-sQ_{0}-I_{0})+R(sF(s)-Q_{0})+\frac{1}{C}F(s)=G(s)$이고 $\displaystyle\left(Ls^{2}+Rs+\frac{1}{C}\right)F(s)=(Ls+R)Q_{0}+LI_{0}+G(s)$ 따라서 $\displaystyle F(s)=\frac{(Ls+R)Q_{0}+LI_{0}+G(s)}{Ls^{2}+Rs+\frac{1}{C}}$이고 $Q(t)=\mathcal{L}^{-1}(F(s))$이다.

초기값 문제 $y''-4y'+13y=13+18e^{-t},\,y(0)=0,\,y'(0)=0$을 라플라스 변환을 이용하여 풀면 $\mathcal{L}(y)=Y(s)$라 할 때 $s^{2}Y(s)-4sY(s)+13Y(s)=\frac{13}{s}+\frac{18}{s+1}$이고 $\displaystyle(s^{2}-4s+13)Y(s)=\frac{31s+13}{s(s+1)}$이므로 $$Y(s)=\frac{31s+13}{s(s+1)(s^{2}+4s+13)}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s+1}+\frac{-2s+9}{s^{2}+4s+13}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s+1}+\frac{-2(s-2)+5}{(s-2)^{2}+3^{2}}$$ 이고 따라서 $\displaystyle y(t)=1+e^{-t}-2e^{-2t}\cos3t+\frac{5}{3}e^{-2t}\sin3t$이다.

참고자료:

미분방정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐

미분방정식 및 응용, 김병학, 김진용, 박성일, 하성남, 홍범일(공저), 청문각