19. 제곱급수와 제곱급수해법

19. 제곱급수와 제곱급수해법

제곱급수는 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-c)^{n}}$이고 여기서 $$R=\frac{1}{\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}}\,\text{or}\,R={\frac{1}{\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sqrt[n]{|a_{n}|}}}},\,a_{n}=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}$$ 라고 하면 $f(x)$는 $|x-c|<R$일 때 수렴하고 $|x-c|>R$일 때 발산한다. 이러한 $f(x)$에 대하여 다음 식이 성립한다. $$\begin{align*}f'(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}{na_{n}(x-c)^{n-1}},\,|x-c|<R\\ \int_{c}^{x}{f(t)dt}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{a_{n}}{n+1}(x-c)^{n+1}},\,|x-c|<R\end{align*}$$ 다음은 몇 가지 함수의 급수표현이다.

1. $\displaystyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}},\,-\infty<x<\infty$ 

2. $\displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}{x^{n}},\,-1<x<1$ 

3. $\displaystyle\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}},\,-\infty<x<\infty$ 

4. $\displaystyle\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}},\,-\infty<x<\infty$ 

5. $\displaystyle\sinh x=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\,\left(=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)$ 

6. $\displaystyle\cosh x=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n}}{(2n)!}}\,\left(=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)$ 

함수 $f(x)$가 $x=x_{0}$에서 해석적(analytic)일 필요충분조건은 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}},\,|x-x_{0}|<R$($R$은 수렴반지름)인 것이다.

미분방정식 $y'-y=0$의 해를 $\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$라고 하면 $$y'=\sum_{n=1}^{\infty}{na_{n}x^{n-1}}=\sum_{n=0}^{\infty}{(n+1)a_{n+1}x^{n}}$$ 이고 $$\sum_{n=0}^{\infty}{(n+1)a_{n+1}x^{n}}-\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}=0$$ 이므로 $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{n+1},\,\frac{a_{1}}{a_{0}}=\frac{1}{1},\,\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{1}{2},\,...,\,a_{n}=\frac{1}{n!}a_{0}$$ 이고 따라서 급수해는 다음과 같다. $$y=a_{0}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}}(=a_{0}e^{x})$$ 미분방정식 $y'-2xy=0$의 해를 $\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$라고 하면 $$\sum_{n=0}^{\infty}{(n+1)a_{n+1}x^{n}}-\sum_{n=0}^{\infty}{2xa_{n}x^{n}}$$ 이므로 $$\sum_{n=0}^{\infty}{(n+2)a_{n+2}x^{n+1}}-\sum_{n=0}^{\infty}{2a_{n}x^{n+1}}=0$$ 이고 식 $\displaystyle a_{n+2}=\frac{2}{n+2}a_{n}$을 얻는다. 원래의 식 $$\sum_{n=1}^{\infty}{na_{n}x^{n-1}}=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$$ 에서 $a_{1}=0$임을 알 수 있고 $$a_{1}=a_{3}=\cdots=0,\,\frac{a_{2}}{a_{0}}=\frac{2}{2},\,\frac{a_{4}}{a_{2}}=\frac{2}{4},\,...$$ 이므로 $\displaystyle a_{2n}=\frac{2^{n}}{2^{n}n!}a_{0}=\frac{1}{n!}a_{0}$이고 따라서 급수해는 다음과 같다. $$y=a_{0}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n}}{n!}}(=a_{0}e^{x^{2}})$$ 미분방정식 $y''+y=0$의 해를 $\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$라고 하면 $$y'=\sum_{n=1}^{\infty}{na_{n}x^{n-1}},\,y''=\sum_{n=2}^{\infty}{n(n-1)a_{n}x^{n-2}}$$ 이므로 $$\sum_{n=0}^{\infty}{(n+1)(n+2)a_{n+2}x^{n}}+\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}=0$$ 이고 식 $\displaystyle a_{n+2}=-\frac{a_{n}}{(n+1)(n+2)}$을 얻는다. $$a_{2}=-\frac{a_{0}}{1\cdot2},\,a_{3}=-\frac{a_{1}}{2\cdot3},\,a_{4}=-\frac{a_{2}}{3\cdot4}=\frac{a_{0}}{1\cdot2\cdot3\cdot4},\,a_{5}=\frac{a_{1}}{2\cdot3\cdot4\cdot5},...$$ 이므로 $$a_{2k}=\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}a_{0},\,a_{2k+1}=\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}a_{1}$$ 이고 따라서 급수해는 다음과 같다. $$y=a_{0}\left(1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots\right)+a_{1}\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots\right)(=a_{0}\cos x+a_{1}\sin x)$$

미분방정식 $y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$에서 $p(x)$, $q(x)$, $r(x)$가 해석적(analytic)이라 하자. 즉, $x-c$의 제곱급수로 나타낼 수 있고, 이 급수의 수렴반지름은 $R>0$이라 하자. 그러면 위 미분방정식의 모든 해는 $x-c$의 제곱급수로 나타낼 수 있고, 이 급수의 수렴반지름은 $R>0$이다. 

참고자료:

미분바정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐