19. 제곱급수와 제곱급수해법

19. 제곱급수와 제곱급수해법

제곱급수는 \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-c)^{n}}\)이고 여기서$$R=\frac{1}{\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}}\,\text{or}\,R={\frac{1}{\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sqrt[n]{|a_{n}|}}}},\,a_{n}=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}$$라고 하면 \(f(x)\)는 \(|x-c|<R\)일 때 수렴하고 \(|x-c|>R\)일 때 발산한다. 이러한 \(f(x)\)에 대하여 다음 식이 성립한다.$$\begin{align*}f'(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}{na_{n}(x-c)^{n-1}},\,|x-c|<R\\ \int_{c}^{x}{f(t)dt}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{a_{n}}{n+1}(x-c)^{n+1}},\,|x-c|<R\end{align*}$$다음은 몇 가지 함수의 급수표현이다.

1. \(\displaystyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}},\,-\infty<x<\infty\) 

2. \(\displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}{x^{n}},\,-1<x<1\) 

3. \(\displaystyle\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}},\,-\infty<x<\infty\) 

4. \(\displaystyle\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}},\,-\infty<x<\infty\) 

5. \(\displaystyle\sinh x=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\,\left(=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)\) 

6. \(\displaystyle\cosh x=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n}}{(2n)!}}\,\left(=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)\) 

함수 \(f(x)\)가 \(x=x_{0}\)에서 해석적(analytic)일 필요충분조건은 \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}},\,|x-x_{0}|<R\)(\(R\)은 수렴반지름)인 것이다.

미분방정식 \(y'-y=0\)의 해를 \(\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}\)라고 하면$$y'=\sum_{n=1}^{\infty}{na_{n}x^{n-1}}=\sum_{n=0}^{\infty}{(n+1)a_{n+1}x^{n}}$$이고$$\sum_{n=0}^{\infty}{(n+1)a_{n+1}x^{n}}-\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}=0$$이므로$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{n+1},\,\frac{a_{1}}{a_{0}}=\frac{1}{1},\,\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{1}{2},\,...,\,a_{n}=\frac{1}{n!}a_{0}$$이고 따라서 급수해는 다음과 같다.$$y=a_{0}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}}(=a_{0}e^{x})$$미분방정식 \(y'-2xy=0\)의 해를 \(\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}\)라고 하면$$\sum_{n=0}^{\infty}{(n+1)a_{n+1}x^{n}}-\sum_{n=0}^{\infty}{2xa_{n}x^{n}}$$이므로$$\sum_{n=0}^{\infty}{(n+2)a_{n+2}x^{n+1}}-\sum_{n=0}^{\infty}{2a_{n}x^{n+1}}=0$$이고 식 \(\displaystyle a_{n+2}=\frac{2}{n+2}a_{n}\)을 얻는다. 원래의 식$$\sum_{n=1}^{\infty}{na_{n}x^{n-1}}=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$$에서 \(a_{1}=0\)임을 알 수 있고$$a_{1}=a_{3}=\cdots=0,\,\frac{a_{2}}{a_{0}}=\frac{2}{2},\,\frac{a_{4}}{a_{2}}=\frac{2}{4},\,...$$이므로 \(\displaystyle a_{2n}=\frac{2^{n}}{2^{n}n!}a_{0}=\frac{1}{n!}a_{0}\)이고 따라서 급수해는 다음과 같다.$$y=a_{0}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n}}{n!}}(=a_{0}e^{x^{2}})$$미분방정식 \(y''+y=0\)의 해를 \(\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}\)라고 하면$$y'=\sum_{n=1}^{\infty}{na_{n}x^{n-1}},\,y''=\sum_{n=2}^{\infty}{n(n-1)a_{n}x^{n-2}}$$이므로$$\sum_{n=0}^{\infty}{(n+1)(n+2)a_{n+2}x^{n}}+\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}=0$$이고 식 \(\displaystyle a_{n+2}=-\frac{a_{n}}{(n+1)(n+2)}\)을 얻는다. $$a_{2}=-\frac{a_{0}}{1\cdot2},\,a_{3}=-\frac{a_{1}}{2\cdot3},\,a_{4}=-\frac{a_{2}}{3\cdot4}=\frac{a_{0}}{1\cdot2\cdot3\cdot4},\,a_{5}=\frac{a_{1}}{2\cdot3\cdot4\cdot5},...$$이므로$$a_{2k}=\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}a_{0},\,a_{2k+1}=\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}a_{1}$$이고 따라서 급수해는 다음과 같다.$$y=a_{0}\left(1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots\right)+a_{1}\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots\right)(=a_{0}\cos x+a_{1}\sin x)$$

미분방정식 \(y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)\)에서 \(p(x)\), \(q(x)\), \(r(x)\)가 해석적(analytic)이라 하자. 즉, \(x-c\)의 제곱급수로 나타낼 수 있고, 이 급수의 수렴반지름은 \(R>0\)이라 하자. 그러면 위 미분방정식의 모든 해는 \(x-c\)의 제곱급수로 나타낼 수 있고, 이 급수의 수렴반지름은 \(R>0\)이다. 

참고자료:

미분바정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐