21. 프로베니우스 해법

21. 프로베니우스 해법

프로베니우스 해법(Frobenius method)

함수 $p(x)$, $q(x)$가 $x=0$에서 해석적이면 미분방정식 $\displaystyle y''+\frac{p(x)}{x}y'+\frac{q(x)}{x^{2}}y=0$은 다음과 같은 형태의 해를 적어도 하나 갖는다. $$y=x^{r}\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}\left(=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n+r}}\right)\,(a_{0}\neq0,\,r\in\mathbb{C})$$ $p(x)$, $q(x)$는 해석적이므로 다음과 같이 나타낼 수 있고, $$p(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\cdots,\,q(x)=q_{0}+q_{1}x+q_{2}x^{2}+\cdots$$ $\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n+r}}$을 미분하면 $$\begin{align*}y'&=\sum_{n=0}^{\infty}{(n+r)a_{n}x^{n+r-1}}=x^{r-1}\{ra_{0}+(r+1)a_{1}x+\cdots\}\\y''&=\sum_{n=0}^{\infty}{(n+r)(n+r-1)a_{n}x^{n+r-2}}=x^{r-2}\{r(r-1)a_{0}+(r+1)ra_{1}x+\cdots\}\end{align*}$$ 앞의 미분방정식은 $x^{2}y''+xp(x)y'+q(x)y=0$이므로 이 방정식에 $p(x)$, $q(x)$, $y'$, $y''$을 대입하면 $$x^{r}\{r(r-1)a_{0}+(r+1)ra_{1}x+\cdots\}+x^{r}(p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\cdots)\{ra_{0}+(r+1)a_{1}x+\cdots\}+\\x^{r}(q_{0}+q_{1}x+q_{2}x^{2}+\cdots)\{a_{0}+a_{1}x+\cdots\}=0$$ 이고 $x^{r}$의 계수는 0이어야 하므로 $r(r-1)a_{0}+ra_{0}p_{0}+a_{0}q_{0}=0$이어야 한다. 이때 $a_{0}\neq0$이므로 $r(r-1)+rp_{0}+q_{0}=0$이어야 한다. 

따라서 $\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n+r}}$이 미분방정식 $\displaystyle y''+\frac{p(x)}{x}y'+\frac{q(x)}{x^{2}}y=0$의 해가 되려면 $r$은 이차방정식 $r(r-1)+rp_{0}+q_{0}=0$을 만족해야 한다. 이 이차방정식 $r(r-1)+rp_{0}+q_{0}=0$을 이 미분방정식의 결정방정식(indical equation)이라고 한다. 

결정방정식의 근의 형태에 따라 이 미분방정식의 해는 다른 형태가 된다. 

1. 두 근의 차가 정수가 아닌 서로 다른 근

2. 중근 

3. 두 근의 차가 정수인 서로 다른 근

1. 두 근의 차가 정수가 아닌 서로 다른 근일때

결정방정식이 서로 다른 두 근 $r_{1}$, $r_{2}$를 갖고 $r_{1}-r_{2}$는 정수가 아니라고 하자. 이때 두 해는 $$y_{1}=x^{r_{1}}(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots),\,y_{2}=x^{r_{2}}(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots)$$ 이고 $y_{1},\,y_{2}$는 일차독립이므로 일반해는 $y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$이다. 

미분방정식 $8x^{2}y''+10xy'+(x-1)y=0$을 프로베니우스 해법으로 풀면 $\displaystyle p(x)=\frac{5}{4}$, $\displaystyle q(x)=\frac{x-1}{8}$이므로 $p(x)$, $q(x)$는 해석적이다. $\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n+r}}$을 미분해서 대입하면 $$8\sum_{n=0}^{\infty}{(n+r)(n+r-1)a_{n}x^{n+r}}+10\sum_{n=0}^{\infty}{(n+r)a_{n}x^{n+r}}+\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n+r+1}}+-\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n+r}}=0$$ 이므로 $$\sum_{n=0}^{\infty}{\{4(n+r)-1\}\{2(n+r)+1\}a_{n}x^{n+r}}+\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n+r+1}}$$ 이다. 지수를 같게 만들면 $$\sum_{m=0}^{\infty}{\{4(m+r)-1\}\{2(m+r)+1\}a_{m}x^{m+r}}+\sum_{m=1}^{\infty}{a_{m-1}x^{m+r}}=0$$ 이고 $x^{r}$의 계수는 $(4r-1)(2r+1)a_{0}=0$이어야 하므로 $\displaystyle r=-\frac{1}{2}$ 또는 $\displaystyle r=\frac{1}{4}$이다. 

$\displaystyle r=-\frac{1}{2}$일 때 $x^{m+r}$의 계수를 구하면 $(4m-3)2ma_{m}+a_{m-1}=0\,(m=1,\,2,\,...)$이므로 $$a_{m}=-\frac{1}{2m(4m-3)}a_{m-1}$$ 이고 $\displaystyle a_{1}=-\frac{1}{2}a_{0},\,a_{2}=\frac{1}{40}a_{0},\,...$이므로 $y_{1}$은 다음과 같다. $$y_{1}=a_{0}x^{-\frac{1}{2}}\left(1-\frac{1}{2}x+\frac{1}{40}x^{2}-\cdots\right)$$ $\displaystyle r=\frac{1}{4}$일 때 $x^{m+r}$의 계수를 구하면 $\displaystyle 4m\left(2m+\frac{3}{2}\right)a_{m}+a_{m-1}=0\,(m=1,\,2,\,...)$이므로 $$a_{m}=-\frac{1}{2m(4m+3)}a_{m-1}$$ 이고 $\displaystyle a_{1}=-\frac{1}{14}a_{0},\,a_{2}=\frac{1}{616}a_{0},\,...$이므로 $y_{2}$는 다음과 같다. $$y_{2}=a_{0}x^{\frac{1}{4}}\left(1-\frac{1}{14}x+\frac{1}{616}x^{2}-\cdots\right)$$

2. 중근

결정방정식이 중근 $r$을 가지면 $y_{1}=x^{r}(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots)$이므로 $y_{1}$과 일차독립인 해는 계수축소법을 이용해 구한다. 

미분방정식 $xy''+(2x+1)y'+(x+1)y=0$을 프로베니우스 해법으로 풀면 $p(x)=2x+1$, $q(x)=x^{2}+x$이므로 $\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n+r}}$을 미분해서 대입하면 $$\sum_{n=0}^{\infty}{(n+r)(n+r-1)a_{n}x^{n+r-1}}+2\sum_{n=0}^{\infty}{(n+r)a_{n}x^{n-r}}+\sum_{n=0}^{\infty}{(n+r)a_{n}x^{n+r-1}}+\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n+r+1}}+\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n+r}}=0$$ 이므로 $$\sum_{n=0}^{\infty}{(n+r)^{2}a_{n}x^{n+r-1}}+\sum_{n=0}^{\infty}{\{2(n+r)+1\}a_{n}x^{n+r}}+\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n+r+1}}=0$$ 이다. 지수를 같게 만들면 $$\sum_{m=-1}^{\infty}{(m+r+1)^{2}a_{m+1}x^{m+r}}+\sum_{m=0}^{\infty}{\{2(m+r)+1\}a_{m}x^{m+r}}+\sum_{m=1}^{\infty}{a_{m-1}x^{m+r}}=0$$ 이고 $$r^{2}a_{0}x^{r-1}+\{(r+1)^{2}a_{1}+(2r+1)a_{0}\}x^{r}+\sum_{m=1}^{\infty}{\{(m+r+1)^{2}a_{m+1}+\{2(m+r)+1\}a_{m}+a_{m-1}\}x^{m+r}}=0$$ 이며 $x^{r-1}$의 계수는 0이어야 하므로 $r=0$(중근)이다. $r=0$일 때 다른 계수들은 $$a_{1}+a_{0}=0,\,(m+1)^{2}a_{m+1}+(2m+1)a_{m}+a_{m-1}=0$$ 이므로 $$a_{1}=-a_{0},\,a_{2}=-\frac{3a_{1}+a_{0}}{2^{2}}=\frac{a_{0}}{2!},\,a_{3}=-\frac{5a_{2}+a_{1}}{3^{2}}=-\frac{a_{0}}{3!},\,a_{4}=-\frac{7a_{3}+a_{2}}{4^{2}}=\frac{a_{0}}{4!},\,...$$ 이고 $a_{0}=1$이라고 하면 $y_{1}$은 다음과 같다. $$y_{1}=1-x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3!}+\cdots=e^{-x}$$ $y_{1}$과 일차독립인 두 번째 해를 구하기 위해 계수축소법을 적용하자.($y_{2}=uy_{1}$) $$y_{2}'=u'y_{1}+uy_{1}',\,y_{2}''=u''y_{1}+2u'y_{1}'+uy_{1}''$$ 을 미분방정식 $xy''+(2x+1)y'+(x+1)y=0$에 대입해 정리하면 $$xy_{1}u''+\{2xy_{1}'+(2x+1)y_{1}'\}u'+\{xy_{1}''+(2x+1)y_{1}'+(x+1)y_{1}\}u=0$$ 이고 $y_{1}$은 미분방정식의 해이므로 $$xy_{1}''+(2x+1)y_{1}'=0$$ 이며 $2xy_{1}'+(2x+1)y_{1}'=e^{-x}$이므로 다음의 미분방정식을 얻는다. $$xe^{-x}u''+e^{-x}u'=0$$ 이 미분방정식을 풀면 $xu''+u'=0$이고 $\displaystyle\frac{u''}{u'}=-\frac{1}{x}$이므로 $\displaystyle\ln u'=-\ln x=\ln\frac{1}{x}$이고 $\displaystyle u'=\frac{1}{x}$이므로 $u=\ln x$이고 $y_{2}=e^{-x}\ln x$이다. 

$y_{1}=e^{-x}$, $y_{2}=e^{-x}\ln x$는 일차독립이므로 일반해는 $y=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-x}\ln x$이다. 

3. 두 근의 차가 정수인 서로 다른 근

결정방정식이 서로 다른 두 근 $r_{1},\,r_{2}$를 갖고 $r_{1}>r_{2}$라 하자. $$y_{1}=x^{r_{1}}(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots)$$ 는 해이고 $y_{1}$과 일차독립인 해를 구하기 위해 중근인 경우와 마찬가지로 계수축소법을 이용한다. 

미분방정식 $xy''+2y'+xy=0$을 프로베니우스 해법으로 풀면 $p(x)=2$, $q(x)=x^{2}$이므로 $\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n+r}}$을 미분해서 대입하면 $$\sum_{n=0}^{\infty}{(n+r)(n+r-1)a_{n}x^{n+r-1}}+2\sum_{n=0}^{\infty}{(n+r)a_{n}x^{n+r-1}}+\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n+r+1}}=0$$ 이므로 $$\sum_{m=-1}^{\infty}{(m+r+1)(m+r+2)a_{m+1}x^{m+r}}+sum_{m=1}^{\infty}{a_{m-1}x^{m+r}}=0$$ 이고 $$r(r+1)a_{0}x^{r-1}+(r+1)(r+2)a_{1}x^{r}+\sum_{m=1}^{\infty}{\{(m+r+1)(m+r+2)a_{m+1}+a_{m-1}\}x^{m+r}}=0$$ 이다. 식 $r(r+1)a_{0}=0$에서 $r=0$ 또는 $r=-1$이고, $r=0$일 때 $$1\cdot2a_{1}=0,\,(m+1)(m+2)a_{m+1}+a_{m-1}=0$$ 이므로 $$a_{1}=0,\,a_{2}=-\frac{a_{0}}{2\cdot3}=-\frac{a_{0}}{3!},\,a_{3}=-\frac{a_{1}}{3\cdot4}=0,\,a_{4}=-\frac{a_{2}}{4\cdot5}=\frac{a_{0}}{5!},\,...$$ 이고 $a_{0}=1$이라고 하면 $$y_{1}=1-\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}-\cdots=\frac{\sin x}{x}$$ 이다. 계수축소법으로 두 번째 해를 구하자($y_{2}=uy_{1}$) $$y_{2}'=u'y_{1}+uy_{1}',\,y_{2}''=u''y_{1}+2u'y_{1}'+uy_{1}''$$ 을 미분방정식 $xy''+2y'+xy=0$에 대입하면 $$x(u''y_{1}+2u'y_{1}'+uy_{1}'')+2(u'y_{1}+uy_{1}')+xuy_{1}=0$$ 이고 $$xy_{1}u''+(2xy_{1}'+2y_{1})u'+(xy_{1}''+2y_{1}'+xy_{1})u=0$$ 이며 $y_{1}$은 해이므로 $xy_{1}''+2y_{1}'+xy_{1}=0$이고 $$2xy_{1}'+2y_{1}=2x\frac{x\cos x-\sin x}{x^{2}}+\frac{2\sin x}{x}=2\cos x$$ 이다. 이 식으로부터 $\sin xu''+2\cos xu'=0$이고 $\displaystyle\frac{u''}{u'}=-2\frac{\cos x}{\sin x}$이므로 $\ln u'=-2\ln\sin x$이고 $\displaystyle u'=\frac{1}{\sin^{2}x}=\csc^{2}x$이므로 $u=-\cot x$이다. 그러면 $\displaystyle y_{2}=-\cot x\frac{\sin x}{x}=-\frac{\cos x}{x}$이고 따라서 일반해는 $\displaystyle y=c_{1}\frac{\sin x}{x}+c_{2}\frac{\cos x}{x}$이다. 

참고자료: 

미분방정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐