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22. 베셀방정식



다음의 미분방정식을 베셀방정식(Bessel's equation)이라고 한다.x2y+xy+(x2ν2)y=0(ν0)베셀방정식을 y+1xy+x2ν2x2y=0으로 나타낼 수 있고, p(x)=1, q(x)=x2ν2는 해석적이므로 프로베니우스 해법으로 이 방정식을 풀 수 있다.

y=n=0anxn+r을 미분하여 베셀방정식에 대입하면n=0(n+r)(n+r1)anxn+r+n=0(n+r)anxn+r+n=0anxn+r+2ν2n=0anxn+r=0이므로n=0(n+r+ν)(n+rν)anxn+r+n=0xn+r+2=0이고 지수를 같게 만들면m=0(m+r+ν)(m+rν)amxm+r+m=2am2xm+r=0이므로(r+ν)(rν)a0xr+(r+1+ν)(r+1ν)a1xr+1+m=2{(m+r+ν)(m+rν)am+am2}xm+r=0이다. xr의 계수 (r+ν)(rν)a0는 0이어야 하므로 r=ν, r=ν이다. r=ν일 때(2ν+1)a1=0,(m+2ν)mam+am2=0(m=2,3,...)이므로a1=0,am=am2m(m+2ν)(m=2,3,...)이고 a1=a3=a5==0a2=a02(2+2ν)=a022(ν+1),a4=a24(4+2ν)=a0242!(ν+1)(ν+2),...a2m=(1)ma022mm!(ν+1)(ν+2)(ν+m)(m=1,2,...)이므로 y1은 다음과 같다.y1=a0xνn=0(1)nx2n22nn!(ν+1)(ν+2)(ν+n)감마함수 Γ(ν)=0ettν1dt에 대해 다음의 성질들이 성립한다.Γ(1)=1,Γ(n+1)=n!(nN),Γ(12)=πa0=12νΓ(ν+1)라고 하면a2m=(1)m22mm!(ν+1)(ν+2)(ν+m)2νΓ(ν+1)=(1)m22m+νm!Γ(ν+m+1)이고 다음과 같이 y1을 나타낼 수 있는데 이 함수를 제 1종 베셀함수(Bessel function of the 1st kind)라고 한다.Jν(x)=xνn=0(1)nx2n22n+νn!Γ(ν+n+1)ν가 정수가 아니면 Jν, Jν는 독립인 반면 ν가 정수이면 JνJν는 종속이다. 따라서 ν가 정수가 아니면 베셀방정식의 일반해는 다음과 같다.y=c1Jν(x)+c2Jν(x)ν가 0 또는 자연수이면, Jm(x)=(1)mJm(x)이다.

m=0,1,2,...라고 하면 Jm(x)=m=0(1)nx2nm22nmn!Γ(m+n+1)이고 0 또는 음의 정수값에서 감마함수값은 무한대()이므로Jm=n=m(1)nx2nm22nmn!(nm)!s=nm이라 하면 다음의 식으로부터 성립한다.Jm(x)=s=0(1)s+mx2s+m22s+m(s+m)!s!=(1)mxms=0(1)sx2s22s+ms!Γ(m+s+1)=(1)mJm(x)ν가 정수이면 계수축소법으로 Jν와 일차독립인 해를 구해야 한다.


ν가 정수이면 베셀방정식의 일반해는 다음과 같다.y=c1Jν(x)+c2Yν(x)(Yν(x)=1sinνx{Jν(x)cosνπJν(x)})여기서 Yν(x)를 제 2종 베셀함수(Bessel function of 2nd kind)라고 한다. Yν(x)Jν에 계수축소법을 적용하여 구할 수 있으나 과정이 너무 복잡하기 때문에 식 유도는 생략하겠다. 


베셀함수 

1. (xνJν(x))=xνJν1(x) 

2. (xνJν(x))=xνJν+1(x) 

증명: 

1. xνJν(x)=n=0(1)nx2n+2ν22n+νn!Γ(ν+n+1)x에 대해 미분하면 다음의 결과를 얻는다.(xνJν(x))=n=0(1)n2(n+ν)x2n+2ν122n+νn!Γ(ν+n+1)=xνxν1n=0(1)nx2n22n+ν1n!Γ(ν+n)=xνJν1(x) 

2. (xνJν(x))=n=1(1)n2nx2n122n+νn!Γ(ν+n+1)이고 n=s+1이라고 하면n=1(1)n2nx2n+122n+νn!Γ(ν+n+1)=s=0(1)s+12(s+1)x2s+122s+ν+2(s+1)!Γ(ν+s+2)=xνs=0(1)sx2s+(ν+1)22s+(ν+1)s!Γ((ν+1)+s+1)=xνJν+1(x)이므로 (xνJν(x))=xνJν+1(x)이다.      


베셀함수 Jν(x)에 대하여 다음의 두 식 들이 성립한다.  

1. Jν1(x)+Jν+1(x)=2νxJν(x) 

2. Jν1(x)Jν+1(x)=2Jν(x) 

증명: 다음의 두 식xνJν1(x)=νxν1Jν(x)+xνJν(x),xνJν+1(x)=νxν1Jν(x)+xνJν(x)을 다음과 같이 나타낼 수 있고,Jν1(x)=νx1Jν(x)+Jν(x),Jν+1(x)=νx1Jν(x)+Jν(x)이 두 식들을 서로 더하고 뺌으로써 위의 결과를 얻는다. 


베셀함수 Jν(x)에 대해 다음의 두 식들이 성립한다.J12(x)=2πxsinx,J12(x)=2πxcosx그 이유는J12(x)=xn=0(1)nx2n22n+12n!Γ(n+32)=2xn=0(1)nx2n+122n+1n!Γ(n+32)이고2nn!=2nn(n1)21=2n(2n2)42,Γ(12)=π이므로2n+1Γ(n+32)=2n+1(n+12)(n12)3212Γ(12)=(2n+1)(2n1)31π이고 J12(x)는 다음과 같다.J12(x)=2πxn=0(1)nx2n+1(2n+1)!=2πxsinx또한 xJ12(x)=2πsinx이므로 (xJ12(x))=2πcosx이고 (xJ12(x))=xJ12(x)이므로 J12(x)=2πxcosx이다.


참고자료:

미분방정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐   

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Posted by skywalker222