22. 베셀방정식

22. 베셀방정식

다음의 미분방정식을 베셀방정식(Bessel's equation)이라고 한다.$$x^{2}y''+xy'+(x^{2}-\nu^{2})y=0\,(\nu\geq0)$$베셀방정식을 \(\displaystyle y''+\frac{1}{x}y'+\frac{x^{2}-\nu^{2}}{x^{2}}y=0\)으로 나타낼 수 있고, \(p(x)=1\), \(q(x)=x^{2}-\nu^{2}\)는 해석적이므로 프로베니우스 해법으로 이 방정식을 풀 수 있다.

\(\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n+r}}\)을 미분하여 베셀방정식에 대입하면$$\sum_{n=0}^{\infty}{(n+r)(n+r-1)a_{n}x^{n+r}}+\sum_{n=0}^{\infty}{(n+r)a_{n}x^{n+r}}+\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n+r+2}}-\nu^{2}\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n+r}}=0$$이므로$$\sum_{n=0}^{\infty}{(n+r+\nu)(n+r-\nu)a_{n}x^{n+r}}+\sum_{n=0}^{\infty}{x^{n+r+2}}=0$$이고 지수를 같게 만들면$$\sum_{m=0}^{\infty}{(m+r+\nu)(m+r-\nu)a_{m}x^{m+r}}+\sum_{m=2}^{\infty}{a_{m-2}x^{m+r}}=0$$이므로$$(r+\nu)(r-\nu)a_{0}x^{r}+(r+1+\nu)(r+1-\nu)a_{1}x^{r+1}+\sum_{m=2}^{\infty}{\{(m+r+\nu)(m+r-\nu)a_{m}+a_{m-2}\}x^{m+r}}=0$$이다. \(x^{r}\)의 계수 \((r+\nu)(r-\nu)a_{0}\)는 0이어야 하므로 \(r=\nu\), \(r=-\nu\)이다. \(r=\nu\)일 때$$(2\nu+1)a_{1}=0,\,(m+2\nu)ma_{m}+a_{m-2}=0\,(m=2,\,3,\,...)$$이므로$$a_{1}=0,\,a_{m}=-\frac{a_{m-2}}{m(m+2\nu)}\,(m=2,\,3,\,...)$$이고 \(a_{1}=a_{3}=a_{5}=\cdots=0\)$$\begin{align*}a_{2}&=-\frac{a_{0}}{2(2+2\nu)}=-\frac{a_{0}}{2^{2}(\nu+1)},\,a_{4}=-\frac{a_{2}}{4(4+2\nu)}=\frac{a_{0}}{2^{4}2!(\nu+1)(\nu+2)},\,...\\a_{2m}&=\frac{(-1)^{m}a_{0}}{2^{2m}m!(\nu+1)(\nu+2)\cdots(\nu+m)}\,(m=1,\,2,\,...)\end{align*}$$이므로 \(y_{1}\)은 다음과 같다.$$y_{1}=a_{0}x^{\nu}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2^{2n}n!(\nu+1)(\nu+2)\cdots(\nu+n)}}$$감마함수 \(\displaystyle\Gamma(\nu)=\int_{0}^{\infty}{e^{-t}t^{\nu-1}dt}\)에 대해 다음의 성질들이 성립한다.$$\Gamma(1)=1,\,\Gamma(n+1)=n!\,(n\in\mathbb{N}),\,\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$$\(\displaystyle a_{0}=\frac{1}{2^{\nu}\Gamma(\nu+1)}\)라고 하면$$a_{2m}=\frac{(-1)^{m}}{2^{2m}m!(\nu+1)(\nu+2)\cdots(\nu+m)2^{\nu}\Gamma(\nu+1)}=\frac{(-1)^{m}}{2^{2m+\nu}m!\Gamma(\nu+m+1)}$$이고 다음과 같이 \(y_{1}\)을 나타낼 수 있는데 이 함수를 제 1종 베셀함수(Bessel function of the 1st kind)라고 한다.$$J_{\nu}(x)=x^{\nu}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2^{2n+\nu}n!\Gamma(\nu+n+1)}}$$\(\nu\)가 정수가 아니면 \(J_{\nu}\), \(J_{-\nu}\)는 독립인 반면 \(\nu\)가 정수이면 \(J_{\nu}\), \(J_{-\nu}\)는 종속이다. 따라서 \(\nu\)가 정수가 아니면 베셀방정식의 일반해는 다음과 같다.$$y=c_{1}J_{\nu}(x)+c_{2}J_{-\nu}(x)$$\(\nu\)가 0 또는 자연수이면, \(J_{-m}(x)=(-1)^{m}J_{m}(x)\)이다.

\(m=0,\,1,\,2,\,...\)라고 하면 \(\displaystyle J_{-m}(x)=\sum_{m=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}x^{2n-m}}{2^{2n-m}n!\Gamma(-m+n+1)}}\)이고 0 또는 음의 정수값에서 감마함수값은 무한대(\(\infty\))이므로$$J_{-m}=\sum_{n=m}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}x^{2n-m}}{2^{2n-m}n!(n-m)!}}$$\(s=n-m\)이라 하면 다음의 식으로부터 성립한다.$$\begin{align*}J_{-m}(x)&=\sum_{s=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{s+m}x^{2s+m}}{2^{2s+m}(s+m)!s!}}=(-1)^{m}x^{m}\sum_{s=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{s}x^{2s}}{2^{2s+m}s!\Gamma(m+s+1)}}\\&=(-1)^{m}J_{m}(x)\end{align*}$$\(\nu\)가 정수이면 계수축소법으로 \(J_{\nu}\)와 일차독립인 해를 구해야 한다.

\(\nu\)가 정수이면 베셀방정식의 일반해는 다음과 같다.$$y=c_{1}J_{\nu}(x)+c_{2}Y_{\nu}(x)\,\left(Y_{\nu}(x)=\frac{1}{\sin\nu x}\left\{J_{\nu}(x)\cos\nu\pi-J_{-\nu}(x)\right\}\right)$$여기서 \(Y_{\nu}(x)\)를 제 2종 베셀함수(Bessel function of 2nd kind)라고 한다. \(Y_{\nu}(x)\)는 \(J_{\nu}\)에 계수축소법을 적용하여 구할 수 있으나 과정이 너무 복잡하기 때문에 식 유도는 생략하겠다. 

베셀함수 

1. \((x^{\nu}J_{\nu}(x))'=x^{\nu}J_{\nu-1}(x)\) 

2. \((x^{-\nu}J_{\nu}(x))'=-x^{-\nu}J_{\nu+1}(x)\) 

증명: 

1. \(\displaystyle x^{\nu}J_{\nu}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}x^{2n+2\nu}}{2^{2n+\nu}n!\Gamma(\nu+n+1)}}\)을 \(x\)에 대해 미분하면 다음의 결과를 얻는다.$$(x^{\nu}J_{\nu}(x))'=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}2(n+\nu)x^{2n+2\nu-1}}{2^{2n+\nu}n!\Gamma(\nu+n+1)}}=x^{\nu}x^{\nu-1}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2^{2n+\nu-1}n!\Gamma(\nu+n)}}=x^{\nu}J_{\nu-1}(x)$$ 

2. \(\displaystyle(x^{-\nu}J_{\nu}(x))'=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}2nx^{2n-1}}{2^{2n+\nu}n!\Gamma(\nu+n+1)}}\)이고 \(n=s+1\)이라고 하면$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}2nx^{2n+1}}{2^{2n+\nu}n!\Gamma(\nu+n+1)}}=\sum_{s=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{s+1}2(s+1)x^{2s+1}}{2^{2s+\nu+2}(s+1)!\Gamma(\nu+s+2)}}=-x^{-\nu}\sum_{s=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{s}x^{2s+(\nu+1)}}{2^{2s+(\nu+1)}s!\Gamma((\nu+1)+s+1)}}=-x^{-\nu}J_{\nu+1}(x)$$이므로 \((x^{-\nu}J_{\nu}(x))'=-x^{-\nu}J_{\nu+1}(x)\)이다.      

베셀함수 \(J_{\nu}(x)\)에 대하여 다음의 두 식 들이 성립한다.  

1. \(J_{\nu-1}(x)+J_{\nu+1}(x)=\frac{2\nu}{x}J_{\nu}(x)\) 

2. \(J_{\nu-1}(x)-J_{\nu+1}(x)=2J_{\nu}'(x)\) 

증명: 다음의 두 식$$x^{\nu}J_{\nu-1}(x)=\nu x^{\nu-1}J_{\nu}(x)+x^{\nu}J_{\nu}'(x),\,-x^{-\nu}J_{\nu+1}(x)=-\nu x^{-\nu-1}J_{\nu}(x)+x^{-\nu}J_{\nu}'(x)$$을 다음과 같이 나타낼 수 있고,$$J_{\nu-1}(x)=\nu x^{-1}J_{\nu}(x)+J_{\nu}'(x),\,-J_{\nu+1}(x)=-\nu x^{-1}J_{\nu}(x)+J_{\nu}'(x)$$이 두 식들을 서로 더하고 뺌으로써 위의 결과를 얻는다. 

베셀함수 \(J_{\nu}(x)\)에 대해 다음의 두 식들이 성립한다.$$J_{\frac{1}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin x,\,J_{-\frac{1}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos x$$그 이유는$$J_{\frac{1}{2}}(x)=\sqrt{x}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2^{2n+\frac{1}{2}}n!\Gamma\left(n+\frac{3}{2}\right)}}=\sqrt{\frac{2}{x}}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2^{2n+1}n!\Gamma\left(n+\frac{3}{2}\right)}}$$이고$$2^{n}n!=2^{n}n(n-1)\cdots2\cdot1=2n(2n-2)\cdots4\cdot2,\,\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$$이므로$$\begin{align*}2^{n+1}\Gamma\left(n+\frac{3}{2}\right)&=2^{n+1}\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(n-\frac{1}{2}\right)\cdots\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\\&=(2n+1)(2n-1)\cdots3\cdot1\cdot\sqrt{\pi}\end{align*}$$이고 \(J_{\frac{1}{2}}(x)\)는 다음과 같다.$$J_{\frac{1}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin x$$또한 \(\displaystyle\sqrt{x}J_{\frac{1}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin x\)이므로 \(\displaystyle\left(\sqrt{x}J_{\frac{1}{2}}(x)\right)'=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cos x\)이고 \(\displaystyle\left(\sqrt{x}J_{\frac{1}{2}}(x)\right)'=\sqrt{x}J_{-\frac{1}{2}}(x)\)이므로 \(\displaystyle J_{-\frac{1}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos x\)이다.

참고자료:

미분방정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐