22. 베셀방정식
다음의 미분방정식을 베셀방정식(Bessel's equation)이라고 한다.x2y″+xy′+(x2−ν2)y=0(ν≥0)베셀방정식을 y″+1xy′+x2−ν2x2y=0으로 나타낼 수 있고, p(x)=1, q(x)=x2−ν2는 해석적이므로 프로베니우스 해법으로 이 방정식을 풀 수 있다.
y=∞∑n=0anxn+r을 미분하여 베셀방정식에 대입하면∞∑n=0(n+r)(n+r−1)anxn+r+∞∑n=0(n+r)anxn+r+∞∑n=0anxn+r+2−ν2∞∑n=0anxn+r=0이므로∞∑n=0(n+r+ν)(n+r−ν)anxn+r+∞∑n=0xn+r+2=0이고 지수를 같게 만들면∞∑m=0(m+r+ν)(m+r−ν)amxm+r+∞∑m=2am−2xm+r=0이므로(r+ν)(r−ν)a0xr+(r+1+ν)(r+1−ν)a1xr+1+∞∑m=2{(m+r+ν)(m+r−ν)am+am−2}xm+r=0이다. xr의 계수 (r+ν)(r−ν)a0는 0이어야 하므로 r=ν, r=−ν이다. r=ν일 때(2ν+1)a1=0,(m+2ν)mam+am−2=0(m=2,3,...)이므로a1=0,am=−am−2m(m+2ν)(m=2,3,...)이고 a1=a3=a5=⋯=0a2=−a02(2+2ν)=−a022(ν+1),a4=−a24(4+2ν)=a0242!(ν+1)(ν+2),...a2m=(−1)ma022mm!(ν+1)(ν+2)⋯(ν+m)(m=1,2,...)이므로 y1은 다음과 같다.y1=a0xν∞∑n=0(−1)nx2n22nn!(ν+1)(ν+2)⋯(ν+n)감마함수 Γ(ν)=∫∞0e−ttν−1dt에 대해 다음의 성질들이 성립한다.Γ(1)=1,Γ(n+1)=n!(n∈N),Γ(12)=√πa0=12νΓ(ν+1)라고 하면a2m=(−1)m22mm!(ν+1)(ν+2)⋯(ν+m)2νΓ(ν+1)=(−1)m22m+νm!Γ(ν+m+1)이고 다음과 같이 y1을 나타낼 수 있는데 이 함수를 제 1종 베셀함수(Bessel function of the 1st kind)라고 한다.Jν(x)=xν∞∑n=0(−1)nx2n22n+νn!Γ(ν+n+1)ν가 정수가 아니면 Jν, J−ν는 독립인 반면 ν가 정수이면 Jν, J−ν는 종속이다. 따라서 ν가 정수가 아니면 베셀방정식의 일반해는 다음과 같다.y=c1Jν(x)+c2J−ν(x)ν가 0 또는 자연수이면, J−m(x)=(−1)mJm(x)이다.
m=0,1,2,...라고 하면 J−m(x)=∞∑m=0(−1)nx2n−m22n−mn!Γ(−m+n+1)이고 0 또는 음의 정수값에서 감마함수값은 무한대(∞)이므로J−m=∞∑n=m(−1)nx2n−m22n−mn!(n−m)!s=n−m이라 하면 다음의 식으로부터 성립한다.J−m(x)=∞∑s=0(−1)s+mx2s+m22s+m(s+m)!s!=(−1)mxm∞∑s=0(−1)sx2s22s+ms!Γ(m+s+1)=(−1)mJm(x)ν가 정수이면 계수축소법으로 Jν와 일차독립인 해를 구해야 한다.
ν가 정수이면 베셀방정식의 일반해는 다음과 같다.y=c1Jν(x)+c2Yν(x)(Yν(x)=1sinνx{Jν(x)cosνπ−J−ν(x)})여기서 Yν(x)를 제 2종 베셀함수(Bessel function of 2nd kind)라고 한다. Yν(x)는 Jν에 계수축소법을 적용하여 구할 수 있으나 과정이 너무 복잡하기 때문에 식 유도는 생략하겠다.
베셀함수
1. (xνJν(x))′=xνJν−1(x)
2. (x−νJν(x))′=−x−νJν+1(x)
증명:
1. xνJν(x)=∞∑n=0(−1)nx2n+2ν22n+νn!Γ(ν+n+1)을 x에 대해 미분하면 다음의 결과를 얻는다.(xνJν(x))′=∞∑n=0(−1)n2(n+ν)x2n+2ν−122n+νn!Γ(ν+n+1)=xνxν−1∞∑n=0(−1)nx2n22n+ν−1n!Γ(ν+n)=xνJν−1(x)
2. (x−νJν(x))′=∞∑n=1(−1)n2nx2n−122n+νn!Γ(ν+n+1)이고 n=s+1이라고 하면∞∑n=1(−1)n2nx2n+122n+νn!Γ(ν+n+1)=∞∑s=0(−1)s+12(s+1)x2s+122s+ν+2(s+1)!Γ(ν+s+2)=−x−ν∞∑s=0(−1)sx2s+(ν+1)22s+(ν+1)s!Γ((ν+1)+s+1)=−x−νJν+1(x)이므로 (x−νJν(x))′=−x−νJν+1(x)이다.
베셀함수 Jν(x)에 대하여 다음의 두 식 들이 성립한다.
1. Jν−1(x)+Jν+1(x)=2νxJν(x)
2. Jν−1(x)−Jν+1(x)=2J′ν(x)
증명: 다음의 두 식xνJν−1(x)=νxν−1Jν(x)+xνJ′ν(x),−x−νJν+1(x)=−νx−ν−1Jν(x)+x−νJ′ν(x)을 다음과 같이 나타낼 수 있고,Jν−1(x)=νx−1Jν(x)+J′ν(x),−Jν+1(x)=−νx−1Jν(x)+J′ν(x)이 두 식들을 서로 더하고 뺌으로써 위의 결과를 얻는다.
베셀함수 Jν(x)에 대해 다음의 두 식들이 성립한다.J12(x)=√2πxsinx,J−12(x)=√2πxcosx그 이유는J12(x)=√x∞∑n=0(−1)nx2n22n+12n!Γ(n+32)=√2x∞∑n=0(−1)nx2n+122n+1n!Γ(n+32)이고2nn!=2nn(n−1)⋯2⋅1=2n(2n−2)⋯4⋅2,Γ(12)=√π이므로2n+1Γ(n+32)=2n+1(n+12)(n−12)⋯32⋅12Γ(12)=(2n+1)(2n−1)⋯3⋅1⋅√π이고 J12(x)는 다음과 같다.J12(x)=√2πx∞∑n=0(−1)nx2n+1(2n+1)!=√2πxsinx또한 √xJ12(x)=√2πsinx이므로 (√xJ12(x))′=√2πcosx이고 (√xJ12(x))′=√xJ−12(x)이므로 J−12(x)=√2πxcosx이다.
참고자료:
미분방정식 입문, 김병수, 양영균, 북스힐
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