[일반물리학] 26. 전자기파

[일반물리학] 26. 전자기파

앙페르의 법칙은 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=\mu_{0}I\)였다. 여기서 선적분 경로는 전도전류(도선 안에 있는 전하 운반자들에 의해 운반되는 전류)가 관통하는 임의의 폐곡선이고 \(\displaystyle I=\frac{dq}{dt}\)이다.

전도전류가 흐를 때는 양(+)으로 대전된 판의 전하는 변하지만 두 판 사이의 간격에는 전도전류가 없다.

경로 \(P\)가 \(S_{1}\)의 경계일 때 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=\mu_{0}I\)이고 \(S_{2}\)의 경계일 때 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=0\)이다(\(S_{2}\)를 통해 흐르는 전도전류는 없다). 이는 전류의 불연속성으로 인한 모순이다.

맥스웰은 앙페르의 법칙 우변에 \(\displaystyle I_{d}=\epsilon_{0}\frac{d\Phi_{E}}{dt}\)(\(\epsilon_{0}\)은 자유공간의 유전율이고 \(\displaystyle\Phi_{E}=\int{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}\)는 적분경로로 둘러싸인 면을 통과하는 전기선속)로 정의되는 변위전류(Displacement current)가 있다고 가정하여 이 문제점을 해결했다.

축전기가 충전 또는 방전되는 동안 두 판 사이의 변하는 전기장은 도선에서 전도전류의 연속을 대신하는 전류와 동일한 것으로 생각할 수 있다.

이 결과를 앙페르-맥스웰 법칙(일반적인 앙페르 법칙) \(\displaystyle\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=\mu_{0}(I+I_{d})=\mu_{0}I+\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{d\Phi_{E}}{dt}\)으로 나타낼 수 있다.

왼쪽 그림은 축전기판의 면적이 \(A\)이고 축전기판 사이에 크기가 \(E\)인 균일한 전기장이 있는 축전기이다.

\(\displaystyle\Phi_{E}=\int{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}=EA\)이고 어떤 순간에 판에 대전된 전하를 \(q\)라고 하면 가우스 법칙에 의해 \(\displaystyle\Phi_{E}=\frac{q}{\epsilon_{0}}\)이므로 \(\displaystyle E=\frac{q}{\epsilon_{0}A}\)이고 \(S_{2}\)를 통과하는 변위전류는 \(\displaystyle I_{d}=\epsilon_{0}\frac{d\Phi_{E}}{dt}=\frac{dq}{dt}\)이다.

자기장이 전도전류와 시간에 따라 변하는 두 전기장에 의해 발생한다.

\(8.00\mu\text{F}\) 축전기에 사인모양으로 변하는 전압이 인가되어있다고 하자. 이때 인가 전압의 진동수는 \(3.00\text{kHz}\)이고 전압의 진폭은 \(30.0\text{V}\)이다.

그러면 각진동수가 \(\omega=2\pi f=2\pi(3.00\times10^{3}\text{Hz})=1.88\times10^{4}\text{s}^{-1}\)이므로 축전기 사이의 전압은 \(\Delta v_{C}=\Delta V_{\max}\sin\omega t=(30.0)\sin(1.88\times10^{4}t)\text{V}\)이고 축전기의 전하가 \(q=C\Delta v_{C}\)이므로 변위전류는 \(\displaystyle I_{d}=\frac{dq}{dt}=\frac{d}{dt}(C\Delta v_{C})=C\frac{d}{dt}(\Delta v_{C})=4.52\cos(1.88\times10^{4}t)\text{A}\)이다.

다음의 네개의 방정식은 모든 전기와 자기현상의 기초가 되는 맥스웰 방정식(Maxwell's Equation)이다.

가우스의 법칙 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}=\frac{q}{\epsilon_{0}}\): 전하분포에 대한 전기장의 세기.

자기에 대한 가우스의 법칙 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=0\): 임의의 폐경로 내부에서 알짜 자기선속은 0.

패러데이의 법칙 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}=-\frac{d\Phi_{B}}{dt}\): 변하는 자기장에서 전기장을 형성.

앙페르-맥스웰 법칙 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=\mu_{0}I+\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{d\Phi_{E}}{dt}\): 변하는 전기장과 전류에 의한 자기장 유도.

로렌츠 힘의 법칙(Lorentz force law) \(\vec{\text{F}}=q\vec{\text{E}}+q\vec{\text{v}}\times\vec{\text{B}}\)과 맥스웰 방정식들은 진공에서 일어나는 모든 고전적인 전자기적 상호작용을 완벽하게 설명한다.

전자기파의 진행속력은 측정된 빛의 속력과 같고 이 사실로부터 맥스웰은 빛이 전자기파의 일종이라는 예측을 한다. 헤르츠는 맥스웰의 예측을 증명하는 실험을 했다.

코일에 짧고 급격한 전압상승을 일으켜서 한 전극을 +, 다른 전극을 -으로 만든다. 그러면 두 전극 근처의 전기장들 중 하나가 공기의 유전강도를 넘어서게 되어 방전이 일어난다. 강한 전기장 속에서 자유전자는 가속되어 어떤 분자들과 충돌하더라도 이온화시킬 수 있을 정도의 에너지를 갖는다. 이런 이온화는 더 많은 전자들을 제공하고 이들은 가속되어 더 많은 이온화를 일으킨다.

이를 전기회로의 관점에서 본다면 코일에 자체유도계수를 갖고 구형전극들의 전기용량을 가진 LC회로와 같다.

(헤르츠의 실험은 소리굽쇠가 진동하는 동일한 소리굽쇠에서 발생된 음파에 반응하는 것과 유사하다.)

왼쪽 그림은 선형편광파(Linearly polarized waves)이다. 파동이 진행하는 방향을 따라가는 선을 광선(Ray)이라 하고 파동들의 이러한 집단을 평면파(Plane wave)라고 한다.

왼쪽 그림에서 \(E\)와 \(B\)는 \(x\)와 \(t\)에만 의존하고 \(y\)와 \(z\)의 영향을 받지 않는다.

이를 맥스웰 방정식 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}=-\frac{d\Phi_{B}}{dt},\,\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=\mu_{0}I+\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{d\Phi_{B}}{dt}\)을 이용하여 편미분방정식 \(\displaystyle\frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}}=\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}}\), \(\displaystyle\frac{\partial^{2}B}{\partial x^{2}}=\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}B}{\partial t^{2}}\)으로 나타낼 수 있고 여기서 \(\displaystyle c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}}\)은 광속이다. 실제로 광속을 계산해보면 \(\displaystyle c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}}=\frac{1}{(4\pi\times10^{-7}\text{T}\cdot\text{m/A})(8.85419\times10^{-12}\text{C}^{2}/\text{N}\cdot\text{m}^{2})}=2.99792\times10^{8}\text{m/s}\)이므로 빛이 전자기파라고 믿게 되었다.

앞에서 언급한 편미분방정식은 파동방정식 \(\displaystyle\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}\)(\(v\)는 파동의 속력, \(y\)는 파동함수)와 비슷하다

전자기파를 예측하기 위해 패러데이법칙 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}=-\frac{d\Phi_{B}}{dt}\)에서 시작한다.

왼쪽의 직사각형의 윗변 아랫변은 전기장과 수직이므로 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}=0\)이다.

직사각형의 오른쪽 변에서의 전기장은 \(\displaystyle E(x+dx,\,t)\approx E(x,\,t)+\frac{dE}{dx}_{t\,\text{constant}}=E(x,\,t)+\frac{\partial E}{\partial x}dx\)이고 왼쪽 변에서의 전기장은 \(E(x,\,t)\)이다.

전기장을 직사각형 둘레에 대해 선적분하면 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}=E(x+dx,\,t)\ell-E(x,\,t)\ell\approx\ell\frac{\partial E}{\partial x}dx\)이고 자기장의 방향이 \(z\)축이므로 면적 \(\ell dx\)를 통과하는 자기선속은 \(\Phi_{B}=B\ell dx\)(\(dx\)는 파동의 파장에 비해 매우 작다)이고 \(\displaystyle\frac{d\Phi_{B}}{dt}=\ell dx\frac{dB}{dt}_{x\,\text{constant}}=\ell dx\frac{\partial B}{\partial t}\)이다. 그러면 패러데이 법칙 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}=-\frac{d\Phi_{B}}{dt}\)으로부터 \(\displaystyle\ell\frac{\partial E}{\partial x}dx=-\ell dx\frac{\partial B}{\partial t}\)이고 \(\displaystyle\frac{\partial E}{\partial x}=-\frac{\partial B}{\partial t}\)을 얻는다.

앞과 비슷한 방법으로 진공에서 앙페르-맥스웰 법칙 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=\mu_{0}I+\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{d\Phi_{E}}{dt}\)에서 시작한다.

폭이 \(dx\)만큼 변할 때 자기장의 크기가 \(B(x,\,t)\)에서 \(B(x+dx,\,t)\)로 변하고 선적분의 영역은 그림에 있는 직사각형의 둘레이다. 그러면 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=B(x,\,t)\ell-B(x+dx,\,t)\ell\approx-\ell\frac{\partial B}{\partial x}dx\,\left(B(x+dx,\,t)\approx B(x,\,t)+\frac{\partial B}{\partial x}dx\right)\)이고 직사각형을 통과하는 전기선속이 \(\Phi_{E}=E\ell dx\)이므로 \(\displaystyle\frac{d\Phi_{E}}{dt}=\ell dx\frac{\partial E}{\partial t}\)이다.

앙페르-맥스웰 법칙 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=\mu_{0}I+\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{d\Phi_{E}}{dt}\)으로부터 \(\displaystyle-\ell\frac{\partial B}{\partial x}dx=\mu_{0}\epsilon_{0}\ell dx\frac{\partial E}{\partial t}\)이고 \(\displaystyle\frac{\partial B}{\partial x}=-\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial E}{\partial t}\)를 얻는다.

식 \(\displaystyle\frac{\partial E}{\partial x}=-\frac{\partial B}{\partial t}\)와 \(\displaystyle\frac{\partial B}{\partial x}=-\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial E}{\partial t}\)을 이용하여 편미분방정식 \(\displaystyle\frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}}=\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}}\), \(\displaystyle\frac{\partial^{2}B}{\partial x^{2}}=\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}B}{\partial t^{2}}\,\left(c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}}\right)\)을 얻을 수 있다.

전기장에 대한 편미분방정식을 구하면 $$\frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial E}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{\partial B}{\partial t}\right)=-\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial B}{\partial x}=-\frac{\partial}{\partial t}\left(-\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial E}{\partial t}\right)=\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}}$$이고, 자기장에 대한 편미분방정식을 구하면$$\frac{\partial^{2}B}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial B}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial E}{\partial t}\right)=-\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial E}{\partial x}=-\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial}{\partial t}\left(-\frac{\partial B}{\partial t}\right)=\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial^{2}B}{\partial t^{2}}$$이다.

편미분방정식 \(\displaystyle\frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}}=\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}}\), \(\displaystyle\frac{\partial^{2}B}{\partial x^{2}}=\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}B}{\partial t^{2}}\)의 대표적으로 알려진 해는 \(E=E_{\max}\cos(kx-\omega t),\,B=B_{\max}\cos(kx-\omega t)\)이다. 여기서 \(E_{\max},\,B_{\max}\)는 해당 장의 최대 크기이고 \(\displaystyle k=\frac{2\pi}{\lambda}\)는 각파수(Angular wave number), \(\omega=2\pi f\)는 각진동수(\(\lambda\)는 파장, \(f\)는 진동수)이고 전자기파에서 \(\displaystyle\lambda=\frac{c}{f}\)이다.

\(\displaystyle\frac{\partial E}{\partial x}=-kE_{\max}\sin(kx-\omega t),\,\frac{\partial B}{\partial t}=\omega B_{\max}\sin(kx-\omega t)\)이고 \(\displaystyle\frac{\partial E}{\partial x}=-\frac{\partial B}{\partial t}\)이므로 \(kE_{\max}=\omega B_{\max}\)이고 \(\displaystyle\frac{E_{\max}}{B_{\max}}=\frac{E}{B}=c\)이다. 이는 매 순간에 전자기파의 자기장의 크기에 대한 전기장 크기의 비가 빛의 속력과 같음을 뜻한다.

다음은 전자기파의 스펙트럼이다.

라디오파(Radio wave)(파장: \(10^{4}\text{m}\sim0.1\text{m}\))

: 도선 속에서 가속되는 전하들이 발생시키며 LC진동자 같은 전자장치들이 발생시킨다. 라디오, TV에 사용된다.

마이크로파(Microwave)(파장: \(0.3\text{m}\sim10^{-4}\text{m}\))

: 전자장치로 발생시키며 전자레인지(Microwave oven)에 사용된다.

적외선(Infrared wave)(파장: \(10^{-3}\text{m}\sim7\times10^{-7}\text{m}\))

: 분자들과 실온의 물체들이 발생시키며 물리치료, 적외선촬영, 진동분광학 등에 사용된다.

가시광선(Visible light)(파장: 빨간색 \(7\times10^{-7}\text{m}\)~보라색\(4\times10^{-7}\text{m}\))

: 원자와 분자 속의 전자들의 재배열에 의해 발생한다.

자외선(Ultraviolet wave)(파장: \(4\times10^{-7}\text{m}\sim6\times10^{-10}\text{m}\))

: 원천은 태양이고, 태양에서 오는 대부분의 자외선은 성층권에서 오존(\(\text{O}_{3}\)) 분자들에 의해 흡수되고 적외선 복사로 변환된다.

X-선(X-ray)(파장: \(10^{-8}\text{m}\sim10^{-12}\text{m}\))

: 원천은 고에너지 전자가 금속 표적에서 정지할 때이다. 의료분야에서 진단용 도구, 특정 종류의 암치료에 사용된다. 살아있는 피부와 유기체에 피해를 주거나 파괴할 수 있다.

감마선(Gamma-ray)(파장: \(10^{-10}\text{m}\sim10^{-14}\text{m}\))

: 방사성 핵(\(^{60}\text{Co}\)와 \(^{137}\text{Cs}\)등)에서, 그리고 어떤 핵반응들 중에서 발생하는 전자기파이다. 투과성이 높으며 살아있는 피부에 흡수되면 심각한 피해를 입는다(흡수력이 좋은 물질로 보호되어야 한다).

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning