[일반물리학] 25. 교류회로 (2: RLC 직렬회로, 교류회로에서의 전력)

[일반물리학] 25. 교류회로 (2: RLC 직렬회로, 교류회로에서의 전력)

순간 전압이 \(\Delta v=\Delta V_{\max}\sin(\omega t+\phi)\)이고 전류가 \(i=I_{\max}\sin\omega t\)로 변한다. 여기서 \(\phi\)는 전류와 전압사이의 위상각(phase angle)이다.

이 회로에서 \(\phi\)와 \(I_{\max}\)를 결정하는게 목적이다.

전류는 직렬교류회로의 모든 점에서 같은 진폭과 위상을 갖는다.

\(\Delta v_{R}=I_{\max}R\sin\omega t=\Delta V_{R}\sin\omega t\)

\(\displaystyle\Delta v_{L}=I_{\max}X_{L}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)=\Delta V_{L}\cos\omega t\)

\(\displaystyle\Delta v_{C}=I_{\max}X_{C}\sin\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)=-\Delta V_{C}\cos\omega t\)

왼쪽은 저항과 인덕터, 축전기의 전류와 저항의 위상을 나타낸 것이고 오른쪽은 RLC회로에서 전압의 위상을 나타낸 것이다.

\(\Delta V_{\max}=\sqrt{\Delta V_{R}^{2}+(\Delta V_{L}-\Delta V_{C})^{2}}=\sqrt{(I_{\max}R)^{2}+(I_{\max}X_{L}-I_{\max}X_{C})^{2}}\)이므로 \(\Delta V_{\max}=I_{\max}\sqrt{R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}\)이다.

최대 전류는 \(\displaystyle I_{\max}=\frac{\Delta V_{\max}}{\sqrt{R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}}\)이고 이 식의 분모를 임피던스(Impedance)라 하고 \(Z=\sqrt{R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}\)로 나타내며 단위는 저항과 같은 옴(\(\Omega\))이다. 그러면 \(\displaystyle I_{\max}=\frac{\Delta V_{\max}}{Z}\)이다.

전류와 전압사이의 위상각은 \(\displaystyle\phi=\tan^{-1}\left(\frac{X_{L}-X_{C}}{R}\right)\)이다.\(\displaystyle\left(\tan\phi=\frac{\Delta V_{L}-\Delta V_{C}}{\Delta V_{R}}=\frac{I_{\max}X_{L}-I_{\max}X_{C}}{I_{\max}R}=\frac{X_{L}-X_{C}}{R}\right)\)

교류전원에 의해 회로에 전달된 순간전력은 전류와 인가전압의 곱이다.

RLC직렬회로에 대한 순간전력은 \(P=i\Delta v=I_{\max}\sin\omega t\Delta V_{\max}\sin(\omega t+\phi)\)이므로 \(P=I_{\max}\Delta V_{\max}\sin\omega t\sin(\omega t+\phi)\)이고 \(\sin(\omega t+\phi)=\sin\omega t\cos\phi+\cos\omega t\sin\omega t\)식을 이용하여 \(\displaystyle P=I_{\max}\Delta V_{\max}\sin^{2}\omega t\cos\phi+I_{\max}\Delta V_{\max}\sin\omega t\cos\omega t\sin\phi=I_{\max}\Delta V_{\max}\sin^{2}\omega t\cos\phi+\frac{1}{2}I_{\max}\Delta V_{\max}\sin2\omega t\sin\phi\)로 나타낼 수 있다.

\(\sin^{2}\omega t\)의 평균값은 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)이고 \(\sin2\omega t\)의 평균값은 0이다.(*여기서 언급한 평균값은 한 주기 범위에서의 적분에 대한 평균값이다.)

그러면 평균전력(Average power)은 \(\displaystyle P_{\text{avg}}=\frac{1}{2}I_{\max}\Delta V_{\max}\cos\phi\)이고 이를 \(P_{\text{avg}}=I_{\text{rms}}\Delta V_{\text{rms}}\cos\phi\)로 나타낼 수 있다. 여기서 \(\cos\phi\)를 전력인자(Power factor) 또는 역률이라고 한다.

\(\Delta V_{R}=\Delta V_{\max}\cos\phi=I_{\max}R\)이고 \(\displaystyle\cos\phi=\frac{I_{\max}R}{\Delta V_{\max}}\)이고 \(\displaystyle P_{\text{avg}}=I_{\text{rms}}\Delta V_{\text{rms}}\cos\phi=I_{\text{rms}}\left(\frac{\Delta V_{\max}}{\sqrt{2}}\right)\frac{I_{\max}R}{\Delta V_{\max}}=I_{\text{rms}}\frac{I_{\max}}{\sqrt{2}}R\), 이때 \(I_{\max}=\sqrt{2}I_{\text{rms}}\)이므로 \(P_{\text{avg}}=I_{\text{rms}}^{2}R\)이다.

이는 전원에 의해 전달된 평균전력은 직류회로의 경우처럼 저항에서 내부에너지로 전환됨을 나타낸다.

부하가 순수한 저항일때 \(\phi=0\), \(\cos\phi=1\)이고 \(P_{\text{avg}}=I_{\text{rms}}\Delta V_{\text{rms}}\)이다.

교류회로에서 순수한 축전기와 순수한 인덕터와 관련된 전력손실은 없다. 축전기의 경우, 한 주기동안 두번 충전되고 방전된다. 전하는 반주기동안 축전기에 전달되고 나머지는 반주기동안 전원으로 돌아온다. 인덕터의 경우, 전류가 최대일 때 인덕터에 최대 \(\displaystyle\frac{1}{2}LI_{\max}^{2}\)만큼의 에너지가 저장된다. 전류가 회로에서 감소하기 시작할 때, 인덕터가 회로에서 전류를 유지하도록 하면서 인덕터에 저장된 에너지는 전원으로 돌아온다.

구동 진동수를 조절하여 rms전류가 최댓값을 갖도록 하면, RLC회로는 공명상태(Resonance)에 있다고 한다.

직렬 RLC회로에서 rms전류는 \(\displaystyle I_{\text{rms}}=\frac{\Delta V_{\text{rms}}}{Z}=\frac{\Delta V_{\text{rms}}}{\sqrt{R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}}\)이다. 공명진동수(Resonance frequency)는 \(X_{L}-X_{C}=0\)을 만족하는 진동수 \(\omega_{0}\)이고 \(X_{L}=\omega L\), \(\displaystyle X_{C}=\frac{1}{\omega C}\)이므로 \(\displaystyle\omega_{0}L=\frac{1}{\omega_{0}C}\)이고 \(\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)이다.

저항이 0(\(R=0\))일 때, 공명상태에서 전류는 무한대이다.

(실제회로는 항상 어떤 저항값을 가지므로 전류는 유한한 값으로 제한된다.)

\(\displaystyle P_{\text{avg}}=I_{\text{rms}}^{2}R=\frac{(\Delta V_{\text{rms}})^{2}}{Z^{2}}R=\frac{(\Delta V_{\text{rms}})^{2}R}{R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}\)이고

\(X_{L}=\omega L\), \(\displaystyle X_{C}=\frac{1}{\omega C}\), \(\omega_{0}^{2}=\frac{1}{LC}\)이므로 \(\displaystyle(X_{L}-X_{C})^{2}=\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^{2}=\frac{L^{2}}{\omega^{2}}(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})^{2}\)이고 \(\displaystyle P_{\text{avg}}=\frac{(\Delta V_{\text{rms}})^{2}R\omega^{2}}{R^{2}\omega^{2}+L^{2}(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})^{2}}\)이다.

\(\omega=\omega_{0}\)일 때 공명상태에 있고 평균전력은 최대이며 그 값은 \(\displaystyle\frac{(\Delta V_{\text{rms}})^{2}}{R}\)이다.

곡선의 예리함은 큐인자(양호도, Quality factor) \(Q\)로 묘사된다. \(\displaystyle\left(Q=\frac{\omega_{0}}{\Delta\omega}\right)=\frac{\omega_{0}L}{R}\)(\(\displaystyle\Delta\omega=\frac{R}{L}\)는 반전력점(Half-power point))

라디오의 수신회로는 공명회로의 중요한 응용의 예이다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning