[일반물리학] 24. 유도계수 (1)
회로를 지나가는 자기선속의 변화가 회로 자체에서 발생하는 현상을 자체유도(Self induction)라고 한다. 자체유도로 인해 발생한 기전력을 자체유도기전력(Self-induced emf)이라 하고 ϵL=−LdIdt로 나타낸다. 여기서 L은 (자체)유도계수(인덕턴스, Inductance)이고 회로의 특성, 모양에 따라 결정된다.
−NdΦBdt=ϵL=−LdIdt이므로 L=NΦBI이고 L의 SI단위는 H(헨리)(1H=1V⋅s/A)이다.
자체유도계수는 전류의 변화에 대한 방해정도의 척도임을 보여준다.
인덕터는 자체유도계수가 큰 회로소자이고 회로기호는 이다. 인덕터의 자체유도계수는 억기전력을 발생시키기 때문에 회로내의 인덕터는 전류의 변화를 억제한다.
스위치 S1이 닫혀있고 S2가 a에 있을 때 키르히호프 법칙을 적용하면 ϵ−IR−LdIdt이고 여기서 x=ϵR−I라고 하면 dx=−dI이고 x+LRdxdt=0이다. 이 식을 풀면
∫xx0dxx=−RL∫t0dt이고 lnxx0=−RLt(x0는 t=0일때의 x값)이므로 x=x0e−RLt이다.
t=0에서 I=0이므로 x0=ϵR이고 식을 정리하면 I=ϵR(1−e−RLt)이다. τ=LR이라 하면 τ는 RL회로의 시간상수(time constant)이고 I=ϵR(1−e−tτ)이다.
왼쪽 그래프는 위의 회로의 I와 dIdt에 대한 그래프이다.
t=0에서 dIdt의 값이 최대이고 t→∞일 때 dIdt→0이다.
스위치 S2가 b에 있을 때 IR+LdIdt=0이고 I=ϵRe−tτ(τ=LR)이다.
인덕터를 포함하고 있는 회로의 전지가 공급하는 에너지의 일부는 저항에서 내부에너지로 소모되고 나머지 에너지는 인덕터에 저장된다.
Iϵ은 전지에서 공급되는 에너지이고 I2R은 저항에서 손실되는 줄열, LIdIdt는 인덕터에 주입되는 에너지이다. 이때 Iϵ=I2R+LIdIdt가 성립한다.
U를 어느 순간에 인덕터에 저장되어 있는 에너지라고 하자. 그러면 인덕터에 저장되는 에너지의 변화율은 dUdt=LIdIdt이다.
그러면 인덕터에 저장되는 전체 에너지는 U=∫dU=∫I0LIdI=L∫I0IdI(dU=LIdI)=12LI2이다. 이는 장(field)을 형성하기 위해서 에너지가 필요함을 뜻한다(축전기에서 전기장 형태로 저장되는 에너지는 U=12C(ΔV)2).
단면적이 A이고 높이가 ℓ, N번 감긴 솔레노이드의 자체유도계수를 구하자. 솔레노이드의 자기선속이 ΦB=BA=μ0nIA=μ0NℓIA이므로 =NΦBI=μ0N2ℓA이다. 솔레노이드의 부피가 V=ℓA이므로 L=μ0N2ℓA=μ0n2V이다. B=μ0nI이므로 I=Bμ0n이고 인덕터에 저장된 에너지는 U=12LI2=12μ0n2V(Bμ0n)2=B22μ0V이다. 이때 인덕터의 자기장 에너지 밀도(단위부피당 저장된 에너지)는 uB=UV=121μ0B2이다(축전기의 전기장 에너지 밀도는 uE=12ϵ0E2)
처음에 인덕터의 자기장 안에 저장된 모든 에너지는 전류가 0으로 감소함에 따라 저항의 내부에너지로 소비된다.
dEintdt=I2R=(Iie−RLt)2R=I2iRe−2RLt이고 ΔEint=∫∞0I2iRe−2RLtdt=I2iR(L2R)=12LI2i.
왼쪽 그림은 동축도선으로 각각의 도체에는 같은 크기의 전류 I가 흐르나 외부도체를 흐르는 전류는 내부전류와 반대방향이다.
이 두 도체 사이의 자기장은 B=μ0I2πr이고 내부도체의 안쪽과 외부도체의 바깥쪽에서의 자기장은 0이다.
주황색 띠를 통과하는 자기선속은 ΦB=∫BdA=∫Bℓdr이고
ΦB=∫baμ0I2πrℓdr=μ0Iℓ2π∫ba1rdr=μ0Iℓ2πlnba이므로
이 동축도선의 자체유도계수는 L=ΦBI=μ0ℓ2πlnba이다.
두 회로 중에서 한 회로의 전류변화로 인해 다른 회로에 기전력이 발생하는 현상을 상호유도라고 한다.
코일 1에 대한 코일 2의 상호유도계수(Mutual inductance)는 M12=N2Φ12I1이다.
(두 회로의 거리가 멀어지면 상호유도도 감소한다. 이는 자기선속의 영향이 감소하기 때문이다.)
Φ12는 코일 1의 전류에 의하여 발생해 코일 2를 통해 흐르는 자기선속이다.
코일 1에 의해 코일 2에 유도되는 기전력은 ϵ2=−N2dΦ12dt=−N2ddt(M12I1N2)=−M12dI1dt이고
코일 2에 의해 코일 1에 유도되는 기전력은 ϵ1=−N1dΦ21dt=−N1ddt(M21I2N1)=−M21dI2dt이다.
이는 상호유도에서 한 코일에 유도되는 기전력은 항상 다른 코일의 전류변화율에 비례함을 뜻한다.
상호유도계수의 단위는 자체유도계수와 같이 H(헨리)이고 여기서는 M12=M21=M이라고 하겠다
(ϵ1=−MdI1dt,ϵ2=−MdI2dt).
왼쪽 그림은 무선전동칫솔을 나타낸 것이다. 받침대를 전류 I가 흐르는 길이가 ℓ이고 코일이 N번 감긴 단면적이 A인 솔레노이드로 볼 수 있다.
손잡이 코일은 NH번 감기고 받침대 코일을 완전히 감싸고 있다.
솔레노이드 내부의 자기장은 B=μ0NBℓI이고 손잡이 코일을 지나는 자기선속은 ΦBH=BA이다.
그러면 상호유도계수는 M=NHΦBHI=NHBAI=μ0NBNHℓA이다.
참고자료
대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐
Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning
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