[일반물리학] 24. 유도계수 (1)

[일반물리학] 24. 유도계수 (1)

회로를 지나가는 자기선속의 변화가 회로 자체에서 발생하는 현상을 자체유도(Self induction)라고 한다. 자체유도로 인해 발생한 기전력을 자체유도기전력(Self-induced emf)이라 하고 \(\displaystyle\epsilon_{L}=-L\frac{dI}{dt}\)로 나타낸다. 여기서 \(L\)은 (자체)유도계수(인덕턴스, Inductance)이고 회로의 특성, 모양에 따라 결정된다.

\(\displaystyle-N\frac{d\Phi_{B}}{dt}=\epsilon_{L}=-L\frac{dI}{dt}\)이므로 \(\displaystyle L=\frac{N\Phi_{B}}{I}\)이고 \(L\)의 SI단위는 \(\text{H}\)(헨리)(\(1\text{H}=1\text{V}\cdot\text{s/A}\))이다.

자체유도계수는 전류의 변화에 대한 방해정도의 척도임을 보여준다.

인덕터는 자체유도계수가 큰 회로소자이고 회로기호는 이다. 인덕터의 자체유도계수는 억기전력을 발생시키기 때문에 회로내의 인덕터는 전류의 변화를 억제한다.

스위치 S1이 닫혀있고 S2가 \(a\)에 있을 때 키르히호프 법칙을 적용하면 \(\displaystyle\epsilon-IR-L\frac{dI}{dt}\)이고 여기서 \(\displaystyle x=\frac{\epsilon}{R}-I\)라고 하면 \(dx=-dI\)이고 \(\displaystyle x+\frac{L}{R}\frac{dx}{dt}=0\)이다. 이 식을 풀면

\(\displaystyle\int_{x_{0}}^{x}{\frac{dx}{x}}=-\frac{R}{L}\int_{0}^{t}{dt}\)이고 \(\displaystyle\ln\frac{x}{x_{0}}=-\frac{R}{L}t\)(\(x_{0}\)는 \(t=0\)일때의 \(x\)값)이므로 \(\displaystyle x=x_{0}e^{-\frac{R}{L}t}\)이다.

\(t=0\)에서 \(I=0\)이므로 \(\displaystyle x_{0}=\frac{\epsilon}{R}\)이고 식을 정리하면 \(\displaystyle I=\frac{\epsilon}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t})\)이다. \(\displaystyle\tau=\frac{L}{R}\)이라 하면 \(\tau\)는 RL회로의 시간상수(time constant)이고 \(\displaystyle I=\frac{\epsilon}{R}(1-e^{-\frac{t}{\tau}})\)이다.

왼쪽 그래프는 위의 회로의 \(I\)와 \(\displaystyle\frac{dI}{dt}\)에 대한 그래프이다.

\(t=0\)에서 \(\displaystyle\frac{dI}{dt}\)의 값이 최대이고 \(t\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\displaystyle\frac{dI}{dt}\,\rightarrow\,0\)이다.

스위치 S2가 \(b\)에 있을 때 \(\displaystyle IR+L\frac{dI}{dt}=0\)이고 \(\displaystyle I=\frac{\epsilon}{R}e^{-\frac{t}{\tau}}\,\left(\tau=\frac{L}{R}\right)\)이다.

인덕터를 포함하고 있는 회로의 전지가 공급하는 에너지의 일부는 저항에서 내부에너지로 소모되고 나머지 에너지는 인덕터에 저장된다.

\(I\epsilon\)은 전지에서 공급되는 에너지이고 \(I^{2}R\)은 저항에서 손실되는 줄열, \(\displaystyle LI\frac{dI}{dt}\)는 인덕터에 주입되는 에너지이다. 이때 \(\displaystyle I\epsilon=I^{2}R+LI\frac{dI}{dt}\)가 성립한다.

\(U\)를 어느 순간에 인덕터에 저장되어 있는 에너지라고 하자. 그러면 인덕터에 저장되는 에너지의 변화율은 \(\displaystyle\frac{dU}{dt}=LI\frac{dI}{dt}\)이다.

그러면 인덕터에 저장되는 전체 에너지는 \(\displaystyle U=\int{dU}=\int_{0}^{I}{LIdI}=L\int_{0}^{I}{IdI}(dU=LIdI)=\frac{1}{2}LI^{2}\)이다. 이는 장(field)을 형성하기 위해서 에너지가 필요함을 뜻한다(축전기에서 전기장 형태로 저장되는 에너지는 \(\displaystyle U=\frac{1}{2}C(\Delta V)^{2}\)).

단면적이 \(A\)이고 높이가 \(\ell\), \(N\)번 감긴 솔레노이드의 자체유도계수를 구하자. 솔레노이드의 자기선속이 \(\displaystyle\Phi_{B}=BA=\mu_{0}nIA=\mu_{0}\frac{N}{\ell}IA\)이므로 \(\displaystyle=\frac{N\Phi_{B}}{I}=\mu_{0}\frac{N^{2}}{\ell}A\)이다. 솔레노이드의 부피가 \(V=\ell A\)이므로 \(\displaystyle L=\mu_{0}\frac{N^{2}}{\ell}A=\mu_{0}n^{2}V\)이다. \(B=\mu_{0}nI\)이므로 \(\displaystyle I=\frac{B}{\mu_{0}n}\)이고 인덕터에 저장된 에너지는 \(\displaystyle U=\frac{1}{2}LI^{2}=\frac{1}{2}\mu_{0}n^{2}V\left(\frac{B}{\mu_{0}n}\right)^{2}=\frac{B^{2}}{2\mu_{0}}V\)이다. 이때 인덕터의 자기장 에너지 밀도(단위부피당 저장된 에너지)는 \(\displaystyle u_{B}=\frac{U}{V}=\frac{1}{2}\frac{1}{\mu_{0}}B^{2}\)이다(축전기의 전기장 에너지 밀도는 \(\displaystyle u_{E}=\frac{1}{2}\epsilon_{0}E^{2}\))

처음에 인덕터의 자기장 안에 저장된 모든 에너지는 전류가 0으로 감소함에 따라 저항의 내부에너지로 소비된다.

\(\displaystyle\frac{dE_{\text{int}}}{dt}=I^{2}R=\left(I_{i}e^{-\frac{R}{L}t}\right)^{2}R=I_{i}^{2}Re^{-2\frac{R}{L}t}\)이고 \(\displaystyle\Delta E_{\text{int}}=\int_{0}^{\infty}{I_{i}^{2}Re^{-2\frac{R}{L}t}dt}=I_{i}^{2}R\left(\frac{L}{2R}\right)=\frac{1}{2}LI_{i}^{2}\).

왼쪽 그림은 동축도선으로 각각의 도체에는 같은 크기의 전류 \(I\)가 흐르나 외부도체를 흐르는 전류는 내부전류와 반대방향이다.

이 두 도체 사이의 자기장은 \(\displaystyle B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}\)이고 내부도체의 안쪽과 외부도체의 바깥쪽에서의 자기장은 0이다.

주황색 띠를 통과하는 자기선속은 \(\displaystyle\Phi_{B}=\int{BdA}=\int{B\ell dr}\)이고

\(\displaystyle\Phi_{B}=\int_{a}^{b}{\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}\ell dr}=\frac{\mu_{0}I\ell}{2\pi}\int_{a}^{b}{\frac{1}{r}dr}=\frac{\mu_{0}I\ell}{2\pi}\ln\frac{b}{a}\)이므로

이 동축도선의 자체유도계수는 \(\displaystyle L=\frac{\Phi_{B}}{I}=\frac{\mu_{0}\ell}{2\pi}\ln\frac{b}{a}\)이다.

두 회로 중에서 한 회로의 전류변화로 인해 다른 회로에 기전력이 발생하는 현상을 상호유도라고 한다.

코일 1에 대한 코일 2의 상호유도계수(Mutual inductance)는 \(\displaystyle M_{12}=\frac{N_{2}\Phi_{12}}{I_{1}}\)이다.

(두 회로의 거리가 멀어지면 상호유도도 감소한다. 이는 자기선속의 영향이 감소하기 때문이다.)

\(\Phi_{12}\)는 코일 1의 전류에 의하여 발생해 코일 2를 통해 흐르는 자기선속이다.

코일 1에 의해 코일 2에 유도되는 기전력은 \(\displaystyle\epsilon_{2}=-N_{2}\frac{d\Phi_{12}}{dt}=-N_{2}\frac{d}{dt}\left(\frac{M_{12}I_{1}}{N_{2}}\right)=-M_{12}\frac{dI_{1}}{dt}\)이고

코일 2에 의해 코일 1에 유도되는 기전력은 \(\displaystyle\epsilon_{1}=-N_{1}\frac{d\Phi_{21}}{dt}=-N_{1}\frac{d}{dt}\left(\frac{M_{21}I_{2}}{N_{1}}\right)=-M_{21}\frac{dI_{2}}{dt}\)이다.

이는 상호유도에서 한 코일에 유도되는 기전력은 항상 다른 코일의 전류변화율에 비례함을 뜻한다.

상호유도계수의 단위는 자체유도계수와 같이 \(\text{H}\)(헨리)이고 여기서는 \(M_{12}=M_{21}=M\)이라고 하겠다

\(\displaystyle\left(\epsilon_{1}=-M\frac{dI_{1}}{dt},\,\epsilon_{2}=-M\frac{dI_{2}}{dt}\right)\).

왼쪽 그림은 무선전동칫솔을 나타낸 것이다. 받침대를 전류 \(I\)가 흐르는 길이가 \(\ell\)이고 코일이 \(N\)번 감긴 단면적이 \(A\)인 솔레노이드로 볼 수 있다.

손잡이 코일은 \(N_{H}\)번 감기고 받침대 코일을 완전히 감싸고 있다.

솔레노이드 내부의 자기장은 \(\displaystyle B=\mu_{0}\frac{N_{B}}{\ell}I\)이고 손잡이 코일을 지나는 자기선속은 \(\Phi_{BH}=BA\)이다.

그러면 상호유도계수는 \(\displaystyle M=\frac{N_{H}\Phi_{BH}}{I}=\frac{N_{H}BA}{I}=\mu_{0}\frac{N_{B}N_{H}}{\ell}A\)이다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning