[일반물리학] 22. 자기장의 원천(2)

[일반물리학] 22. 자기장의 원천(2)

느슨하게 나선형으로 감은 긴 도선을 솔레노이드(Solenoid)라고 한다. 주변에서 형성되는 자기력선이 있다.

왼쪽 그림은 솔레노이드의 단면을 나타낸 것이다. 내부 자기장은 균일하고 외부 자기장은 0이다(이를 이상적인 솔레노이드라고 한다).

경로2(loop2)에서

변 2, 4: \(\vec{\text{B}}\)와 \(\vec{\text{s}}\)가 수직이므로 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=0\)이다.

변 3: \(\vec{\text{B}}=\vec{0}\)이므로 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=0\)이다.

변 1: \(\vec{\text{B}}\)와 \(\vec{\text{s}}\)가 평행하고 같은 방향이므로 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=\oint_{\text{path1}}{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=B\int_{\text{path1}}{ds}=B\ell\)이다.

길이 \(\ell\)에 감은 횟수가 \(N\)이면 직사각형을 관통하는 전체 전류는 \(NI\)이다. 그러면 앙페르의 법칙으로부터 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=B\ell=\mu_{0}NI\)이고 \(\displaystyle B=\mu_{0}\frac{N}{\ell}I=\mu_{0}nI\)이다. 여기서 \(\displaystyle n=\frac{N}{\ell}\)은 단위길이당 감은 수이다.

왼쪽 그림은 토로이드(Toroid)라는 장치로 어떤 닫혀있는 영역에 거의 균일한 자기장을 만드는데 사용된다. 비전도성 물질로 만들어진 고리(토러스, Torus) 주위를 감은 도체 도선으로 되어 있고 도선이 \(N\)번 촘촘히 감겨있다.

도선이 원형 경로를 \(N\)번 통과하므로 전체 전류는 \(NI\)이다. 원 위에서 자기장의 크기가 일정하고 방향은 접선방향이므로 \(\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}=Bds\)이고 앙페르의 법칙으로부터 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=B\oint{ds}=B(2\pi r)=\mu_{0}NI\,\left(\oint{ds}=\ell=2\pi r\right)\)이다.

그러면 토로이드에 의한 자기장은 \(\displaystyle B=\mu_{0}\frac{N}{\ell}I=\frac{\mu_{0}NI}{2\pi r}=\mu_{0}nI\,\left(n=\frac{N}{\ell}=\frac{N}{2\pi r}\right)\)이다.

경로2(loop2)의 경우 \(\vec{\text{B}}\)와 \(\vec{\text{s}}\)가 수직이므로 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=0\)이다. 그러면 \(r<b\)와 \(r>c\)인 폐경로에 대해 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=0\)인 이유는 \(\vec{\text{B}}=\vec{0}\)이여서가 아니라 \(\vec{\text{B}}\)와 \(\vec{\text{s}}\)가 수직이기 때문이다.

면적요소에서 자기장이 \(\vec{\text{B}}\)이면, 이 면적요소를 통과하는 자기선속(자속)은 \(\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{A}}\)이고 표면을 통과하는 전체 자기선속은 \(\displaystyle\Phi_{B}=\int{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{A}}}\)이다.

면적이 \(A\)인 평면에 균일한 자기장 \(\vec{\text{B}}\)가 모든 면적요소벡터 \(d\vec{\text{A}}\)와 각 \(\theta\)를 이루는 경우, 면을 통과하는 자기선속은 \(\Phi_{B}=BA\cos\theta\)이다.

\(\vec{\text{B}}\)와 \(d\vec{\text{A}}\)가 수직이면 \(\Phi_{B}=0\)이고

\(\vec{\text{B}}\)와 \(d\vec{\text{A}}\)가 평행하면 \(\Phi_{B}=BA\)이다.

자기선속의 단위는 웨버(Weber, \(\text{Wb}\))이고 \(1\text{Wb}=1\text{T}\cdot\text{m}^{2}\)이다.

왼쪽 그림의 도선에 흐르는 전류에 의해 도선고리를 통과하는 자기선속을 구하자.

자기장이 고리의 면적에서 변하므로 \(\displaystyle\Phi_{B}=\int{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{A}}}=\int{BdA}=\int{\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}dA}\)이고

직사각형 도선의 면적요소가 \(dA=bdr\)이므로 \(\displaystyle\Phi_{B}=\int{\frac{\mu_{0}I}{2\pi}b\frac{dr}{r}}=\frac{\mu_{0}Ib}{2\pi}\int{\frac{dr}{r}}\)이고

따라서 \(\displaystyle\Phi_{B}=\frac{\mu_{0}Ib}{2\pi}\int_{c}^{a+c}{\frac{1}{r}dr}=\frac{\mu_{0}Ib}{2\pi}\ln\left(1+\frac{a}{c}\right)\)이다.

위의 왼쪽 그림에서 점선으로 표시된 임의의 폐곡면에 대하여 표면 안쪽으로 들어가는 자기력선의 수는 표면 바깥으로 나오는 자기력선의 수와 같기 때문에 알짜 자기선속은 0이다. 반면 오른쪽 그림에서 전기쌍극자의 한 전하를 둘러싼 폐곡면에 대해서는 알짜 자기선속이 0이 아니다(알짜 전기선속도 0이 아니다).

위의 결과로부터 자기에 대한 가우스의 법칙(Gauss's law in magnetism) \(\displaystyle\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{A}}}=0\)을 얻는다. 이는 임의의 폐곡면을 통과한 알짜 자기선속은 항상 0임을 뜻한다.

반지름이 \(r\)인 원궤도에서 회색 화살표 방향으로 움직이는 전자는 한쪽 방향의 각운동량 \(\vec{\text{L}}\)을 갖고 반대방향의 자기모멘트 \(\vec{\mu}\)를 갖는다. 

전류의 세기는 \(\displaystyle I=\frac{e}{T}=\frac{e\omega}{2\pi}=\frac{ev}{2\pi r}\,\left(T=\frac{2\pi}{\omega},\,\omega=\frac{v}{r}\right)\)이고 자기모멘트의 크기는 \(\mu=IA\)이고 이때 \(A=\pi r^{2}\)는 궤도의 면적이므로 \(\displaystyle\mu=IA=\left(\frac{ev}{2\pi r}\right)\pi r^{2}=\frac{1}{2}evr\)이다.

\(\vec{\text{v}}\)와 \(\vec{\text{r}}\)이 수직이므로 전자의 궤도 각운동량의 크기는 \(L=m_{e}vr\)이고 \(\displaystyle\mu=\left(\frac{e}{2m_{e}}\right)L\)이며 이는 전자의 자기모멘트가 궤도의 각운동량에 비례함을 뜻한다.

전자의 기본 자기모멘트는 \(\displaystyle\mu=\sqrt{2}\frac{e}{2m_{e}}\hslash\)이고 여기서 \(\displaystyle\hslash=\frac{h}{2\pi}n\)이고 \(h\)는 플랑크상수, \(n\)은 정수이다.

전자의 궤도 운동에 의한 자기적 효과는 0이거나 매우 작다.

전자의 스핀운동에 대한 각운동량은 \(\displaystyle|\vec{\text{S}}|=\frac{\sqrt{3}}{2}\hslash\)이고 전자의 스핀운동에 의한 자기모멘트는 \(\displaystyle\mu_{\text{spin}}=\frac{e\hslash}{2m_{e}}\)이다.

이때 보어 마그네톤(Bohr magneton) \(\displaystyle\mu_{B}=\frac{e\hslash}{2m_{e}}=9.27\times10^{-24}\text{J/T}\)이고 이는 원자의 자기모멘트를 보어 마그네톤의 정수배로 표시할 수 있음을 뜻한다.(\(1\text{J/T}=1\text{A}\cdot\text{m}^{2}\))

강한 자기적 성질을 보이는 결정성 물질을 강자성 물질(Ferromagnetism material)이라고 한다. 철, 코발트, 니켈은 강자성 물질이다.

강자성체 안의 모든 자기 쌍극자 모멘트가 정렬된 구역을 자화구역이라고 한다(한번 자화된 구역의 자기모멘트는 잘 없어지지 않는다).

강자성체의 온도가 퀴리온도(Curie Temperature)라고 하는 임계온도에 도달하거나 넘어가면 물질은 상자성체가 된다. 상자성체(Paramagnetism material)는 영구자기모멘트를 갖는 원자(이온)를 갖고 있기 때문에 작은 자기장을 갖는 물질이다.

초전도체는 초전도 상태에서 완벽한 반자성(Diamagnetism, 외부 자기장과 반대로 자화)을 나타낸다. 이를 마이스너 효과(Meissner effect)라고 한다. 영구자석을 초전도체 근처로 가져가면 두 물체는 서로 민다(영구자석은 공중에 부양된다).

위의 그림은 지구의 자기장을 나타낸 것이다. 지자기의 S극은 북극 근처에 위치하고 지자기의 N극은 지리적 남쪽 근처에 위치한다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning