[일반물리학] 23. 패러데이의 법칙

[일반물리학] 23. 패러데이의 법칙

변하는 자기장에 의해 기전력(emf, Electromotive force)이 유도될 수 있다. 이를 패러데이의 유도법칙(Faraday's law)이라고 한다. 회로에 전원이 없는 상태에서 기전력이 유도되면 전류가 흐르는데 이 전류는 전원없이 자석과 코일로 만들어졌고 유도전류라고 한다.

위의 그림에서 왼쪽은 자석의 움직임을 이용해서 유도전류를 만드는 과정이고 오른쪽은 전원공급으로 일시적으로 2차코일에 기전력을 유도해서 유도전류를 만드는 과정이다.

회로로 둘러싸인 표면을 통과하는 자기선속이 \(\displaystyle\Phi_{B}=\int{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{A}}}\)일 때 유도기전력은 \(\displaystyle\epsilon=-\frac{d\Phi_{B}}{dt}\)이다. 회로가 같은 면적을 가진 \(N\)개의 고리로 묶여진 코일이고 \(\Phi_{B}\)가 고리 하나를 통과하는 자기선속이면, 이 경우의 유도기전력은 \(\displaystyle\epsilon=-N\frac{d\Phi_{B}}{dt}\)이다.

왼쪽 그림은 면 \(A\)를 통과하는 고리 하나가 균일한 자기장 \(\vec{\text{B}}\)내부에 있을 때 \(\displaystyle\epsilon=-\frac{d}{dt}(BA\cos\theta)\)이다.

참고: 앙페르의 법칙은 전기장의 변화로 자기장이 변함을 나타내고 패러데이의 법칙은 자기장의 변화로 전기장이 변함을 나타낸다.

다음은 왼쪽 그림에서 유도기전력이 발생하는 경우이다.

1. 자기장 \(\vec{\text{B}}\)가 시간에 따라 변할 때.

2. 코일로 둘러싸인 면적 \(A\)가 시간에 따라 변할 때.

3. 각 \(\theta\)가 시간에 따라 변할 때

다음은 패러데이 법칙을 응용한 것들이다.

위에서 왼쪽 그림은 누전차단기(GFI, Ground Fault Interrupter)이고 오른쪽 그림은 전자기타이다.

왼쪽 그림의 누전차단기에서 전선 1, 2는 콘센트와 전열기구 사이에 연결되어있고 감지코일에서 자속은 정상시에 +/-, 0이다.

전선 2의 전류가 변하면 감지코일은 자속변화를 감지한다.

오른쪽 그림의 전자기타에서 기타줄은 자화가능한 금속으로 제작되었고 픽업코일(2차감지코일) 안에 있는 자석은 기타줄을 자화시킨다. 기타줄이 진동할 때 코일 내부의 자속변화를 유발해서 기전력을 유도한다.

일정한 자기장 안에서 움직이는 도체에 유도되는 기전력을 운동기전력(Motional emf)이라고 한다.

자기력과 전기력이 평형을 이루려면 위로 작용하는 전기력이 도선 아래방향으로 작용하는 자기력과 평형을 이루어야 한다. 즉 \(qE=qvB\)이고 이때 \(E=vB\)이다.

도체 양단에 생기는 전위차는 \(\Delta V=E\ell=B\ell v\)이다.

도체가 균일한 자기장 내부를 움직이는 동안, 도체 양끝의 전위차는 계속 유지된다.

회로면적을 통과하는 자속은 \(\Phi_{B}=B\ell x\)(면적이 \(\ell x\))이고 운동기전력은 \(\displaystyle\epsilon=-\frac{d\Phi_{B}}{dt}=-\frac{d}{dt}(B\ell x)=-B\ell\frac{dx}{dt}=-B\ell v\)이다.

회로의 저항이 \(R\)이므로 유도전류의 크기는 \(\displaystyle I=\frac{|\epsilon|}{R}=\frac{B\ell v}{R}\)이다.

외력 \(F_{\text{app}}\)에 의해 전달된 일률은 \(\displaystyle P=F_{\text{app}}v=(I\ell B)v=\frac{B^{2}\ell^{2}v^{2}}{R}=\frac{\epsilon^{2}}{R}\)이다.

왼쪽 그림에서 \(t=0\)일 때 막대의 처음속도가 오른쪽 방향으로 \(\vec{\text{v}_{i}}\)일 때 막대의 속력을 구하자.

먼저 뉴턴의 법칙을 이용해서 구하면 자기력이 \(F_{B}=-I\ell B\), 전류가 \(\displaystyle I=\frac{B\ell v}{R}\)이고 \(\displaystyle F_{x}=ma=m\frac{dv}{dt}=-I\ell B\)이므로 \(\displaystyle m\frac{dv}{dt}=-\frac{B^{2}\ell^{2}}{R}v\)이고 \(\displaystyle\frac{dv}{v}=-\left(\frac{B^{2}\ell^{2}}{mR}\right)dt\)이다. 이 식의 양변을 적분하면 \(\displaystyle\int_{v_{i}}^{v_{f}}{\frac{dv}{v}}=-\frac{B^{2}\ell^{2}}{mR}\int_{0}^{t}{dt}\)이고 \(\displaystyle\ln\left(\frac{v_{i}}{v_{f}}\right)=-\left(\frac{B^{2}\ell^{2}}{mR}\right)t\)이므로 따라서 \(\displaystyle\tau=\frac{mR}{B^{2}\ell^{2}}\)라 하면 \(\displaystyle v_{f}=v_{i}e^{-\frac{t}{\tau}}\)이다.

에너지 보존법칙을 이용하여 구할 수 있다. 저항에 유입되는 일률을 \(P_{\text{resistor}}\), 막대에서 유출되는 일률을 \(P_{\text{bar}}\)라고 하면 \(P_{\text{resistor}}=-P_{\text{bar}}\)이므로 \(\displaystyle I^{2}R=-\frac{dK}{dt}=-\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^{2}\right)\)이고 \(\displaystyle I=\frac{B\ell v}{R}\)이므로 \(\displaystyle\frac{B^{2}\ell^{2}v^{2}}{R}=-mv\frac{dv}{dt}\)이다. 그러면 \(\displaystyle\frac{dv}{v}=-\left(\frac{B^{2}\ell^{2}}{mR}\right)dt\)이고 \(\displaystyle\tau=\frac{mR}{B^{2}\ell^{2}}\)라 하면 뉴턴의 법칙을 이용했을 때와 똑같은 결과인 \(\displaystyle v_{f}=v_{i}e^{-\frac{t}{\tau}}\)를 얻는다.

폐회로에서 유도전류는 폐회로로 둘러싸인 부분을 통과하는 자기선속 변화를 방해하는 방향으로 자기장을 발생시킨다. 이를 렌츠의 법칙(Lenz's law) 이라고 한다.

유도전류는 회로를 통과하는 원래의 자기선속을 변하지 않게 하려고 한다. 이는 에너지 보존법칙의 결과이다.

자석의 N극을 고리도선에 가까이 대면 N극에 의한 자기장을 상쇄시키는 방향으로 자기장이 발생되고 N극을 고리도선에서 멀리 두면 N극에 의한 자기장을 보강하는 방향으로 자기장이 발생된다.

자속의 변화는 도체에 전기장을 형성한다(자기장이 시간에 따라 변하면 \(\displaystyle\epsilon=-\frac{d\Phi_{B}}{dt}\)).

왼쪽 그림에서 전기력이 \(qE\)이므로, 고리를 한 바퀴 도는 동안 전하를 움직이는데 전기장이 한 일은 \(qE(2\pi r)\)이다. 그러면 \(q\epsilon=qE(2\pi r)\)이므로 \(\displaystyle E=\frac{\epsilon}{2\pi r}\)이고 원형고리의 자기장은 \(\Phi_{B}=BA=B\pi r^{2}\)이다.

따라서 유도전기장은 \(\displaystyle E=-\frac{1}{2\pi r}\frac{d\Phi_{B}}{dt}=-\frac{r}{2}\frac{dB}{dt}\)이다.

이를 일반화하면 임의의 폐경로에 대한 기전력은 그 경로를 따라 \(\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}\)로 선적분하여 구할 수 있다.

즉 \(\displaystyle\epsilon=\oint{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}\)이고 여기서 \(E\)는 상수가 아닐 수 있고, 경로는 원이 아닐 수 있다.

그러면 패러데이 법칙의 일반형은 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}=-\frac{d\Phi_{B}}{dt}\)이고 유도전기장 \(\vec{\text{E}}\)는 변하는 자기장에 의해 발생되는 비보존 자기장이다. 만약 장이 보존 자기장이면 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}=0\)이 되어 식 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}=-\frac{d\Phi_{B}}{dt}\)에 모순이다.

왼쪽의 그림은 등각속력 \(\omega\)로 자기장 안에서 회전하고 있는 면적 \(A\)를 둘러싸고 \(N\)회 감긴 고리이다.

시간이 \(t\)일 때 코일을 통과하는 자기선속은 \(\Phi_{B}=BA\cos\theta=BA\cos\omega t\,(\theta=\omega t,\,\omega=2\pi f)\)이다.

그러면 코일의 유도기전력은 \(\displaystyle\epsilon=-N\frac{d\Phi_{B}}{dt}=-NAB\frac{d}{dt}(\cos\omega t)=NAB\omega\sin\omega t\)이므로 최대 기전력은 \(\epsilon_{\max}=NAB\omega\)이다.

위의 그림에서 왼쪽은 직류발전기(Direct-Current(DC) generator)이고 오른쪽은 교류발전기(Alternating-Current(AC) generator)이다.

전기로 에너지를 받아서 일로 내보내는 장치(역으로 작동하는 발전기)를 전동기(motor)라 하고 코일이 회전하여 전류를 발생하는 대신, 전지에서 코일로 전류가 공급되고 전류가 흐르는 코일에 토크가 작용하여 회전을 일으킨다. 이때 유도기전력(역기전력, back emf: 공급되는 전류를 감소시키는 성질이 있는 기전력)이 유도되고 이 유도기전력은 코일에 흐르는 전류를 감소시키는 작용을 한다(그렇지 않으면 렌츠의 법칙에 위배된다).

자기장 내부를 움직이는 금속조각에 유도되는 회전하는 전류를 맴돌이 전류(Eddy current)라고 한다.

왼쪽의 세번째 그림처럼 금속판에 가는 긴 틈을 내면, 맴돌이 전류와 이에 해당하는 저항력은 크게 감소한다(금속판의 틈들이 큰 전류고리의 형성을 막는다.)

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning