[일반물리학] 24. 유도계수 (2: LC, RLC회로, 역학적 계와의 유사성)

[일반물리학] 24. 유도계수 (2: LC, RLC회로, 역학적 계와의 유사성)

LC회로의 진동은 질량-용수철 계의 역학적인 진동과 비슷하다. 왼쪽의 LC회로에는 내부저항이 없고, 전자기적인 복사도 일어나지 않는다고 한다(전체 에너지는 상수).

왼쪽 그림은 LC회로가 주기 \(T\)로 진동하는 것을 나타낸 그림이다.

전체에너지는 \(\displaystyle U=U_{C}+U_{L}=\frac{Q^{2}}{2C}+\frac{1}{2}LI^{2}\)이고 \(\displaystyle\frac{dU}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{Q^{2}}{2C}+\frac{1}{2}LI^{2}\right)=\frac{Q}{C}\frac{dQ}{dt}+LI\frac{dI}{dt}=0\)이다.

이때 \(\displaystyle I=\frac{dQ}{dt}\), \(\displaystyle\frac{dI}{dt}=\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}\)이므로 \(\displaystyle L\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}+\frac{Q}{C}=0\)이고 \(\displaystyle \frac{d^{2}Q}{dt^{2}}=-\frac{1}{LC}Q\)이다.

블록-용수철계의 운동방정식은 \(\displaystyle\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\frac{k}{m}x=-\omega^{2}x\)이고 일반해는 \(x=A\cos(\omega t+\phi)\)이다.

그러면 LC회로로부터 얻은 방정식 \(\displaystyle\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}=-\frac{1}{LC}Q\)의 일반해는 \(Q=Q_{\text{max}}\cos(\omega t+\phi)\)이다. 여기수 \(Q_{\text{max}}\)는 축전기의 최대전하량이고 \(\displaystyle\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)는 LC회로의 공명(공진)진동수이다.

\(Q\)가 주기적으로 변하므로 전류 또한 주기적으로 변한다 \(\displaystyle\left(I=\frac{dQ}{dt}=-\omega Q_{\text{max}}\sin(\omega t+\phi)\right)\)

위상각 \(\phi\)의 값은 \(t=0,\,I=0,\,Q=Q_{\text{max}}\)인 초기조건을 사용하여 구할 수 있고 \(Q=Q_{\max}\cos(\omega t+\phi)\), \(I=-I_{\max}\sin(\omega t+\phi)\)이므로 전류는 전하와 \(90^{\circ}\)의 위상차를 가진다.

이 그래프는 전류와 전하의 위상차가 \(90^{\circ}\)임을 보여주는 그래프이다.

\(\displaystyle U=U_{L}+U_{C}=\frac{Q_{\max}^{2}}{2C}\cos^{2}\omega t+\frac{1}{2}LI_{\max}^{2}\sin^{2}\omega t\)이고 축전기에 저장된 최대 에너지(\(I=0\)일 때)와 인덕터에 저장된 에너지(\(Q=0\)일 때)가 같아야 하기 때문에 \(\displaystyle\frac{Q_{\max}^{2}}{2C}=\frac{1}{2}LI_{\max}^{2}\)이다.

이상적인 회로에서 회로의 진동은 무한히 지속되나 실제 회로에는 항상 약간의 저항이 있어서 약간의 에너지는 내부에너지로 소모되고 복사가 불가피해서 에너지가 지속적으로 감소한다.

왼쪽의 회로는 RLC회로이고 내부저항이 없으며 전자기적 복사가 일어나지 않는다. 이 회로에는 저항이 포함되어있고 저항은 내부에너지로의 변환을 야기하기 때문에, 이 회로의 전체에너지는 일정하지 않다.

저항 내부에서 에너지변환 비율은 \(I^{2}R\)이므로 \(\displaystyle\frac{dU}{dt}=-I^{2}R\)(음(-)의 부호는 시간에 따라 \(U\)가 감소함을 나타낸다)이다.

\(\displaystyle U=\frac{Q^{2}}{2C}+\frac{1}{2}LI^{2}\)이므로 \(\displaystyle\frac{dU}{dt}=LI\frac{dI}{dt}+\frac{Q}{C}\frac{dQ}{dt}=-I^{2}R\)이고 \(\displaystyle I=\frac{dQ}{dt},\,\frac{dI}{dt}=\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}\)이므로 \(\displaystyle LI\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}+I^{2}R+\frac{Q}{C}I=0\)이고 \(\displaystyle L\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}+R\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{C}=0\)이다. 이는 감쇠조화진동과 유사하다\(\displaystyle\left(m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+b\frac{dx}{dt}+kx=0\right)\)

\(R=0\)일 때 이 식은 LC회로의 식과 같고, \(R\)이 매우 작은 경우는 역학적 진동자의 작은 감쇠와 유사하다.

방정식 \(\displaystyle L\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}+R\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{C}=0\)의 해는 \(\displaystyle Q=Q_{\max}e^{-\frac{R}{2L}t}\cos\omega_{d}t\,\left(\omega_{d}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}}\right)\)(\(\omega_{d}\)는 각진동수)이다.

\(\displaystyle R\ll\sqrt{\frac{4L}{C}}\)이면 \(\displaystyle\omega_{d}\approx\frac{1}{\sqrt{LC}}\) \(\displaystyle(I=\frac{dQ}{dt}\)이기 때문에 전류도 감쇠조화진동과 같아질 것이다.)이고,

\(\displaystyle R=R_{c}=\sqrt{\frac{4L}{C}}\)이면 임계감쇠(Critically damped) (\(\displaystyle R_{C}=\sqrt{\frac{4L}{C}}\)는 임계저항값),

\(R>R_{c}\)이면 과감쇠(Over damped)이다.

다음은 전기회로와 1차원 역학적 계의 유사성을 비교하여 나타낸 것이다.

전기회로			1차원 역학적 계
전하	\(Q\)	\(x\)	위치
전류	\(I\)	\(v_{x}\)	속도
전위차	\(\Delta V\)	\(F_{x}\)	힘
저항	\(R\)	\(b\)	점성감쇠계수
전기용량	\(C\)	\(\displaystyle\frac{1}{k}\)	용수철 상수의 역수
유도계수	\(L\)	\(m\)	질량
전류(전하의 시간(미분)도함수)	\(\displaystyle I=\frac{dQ}{dt}\)	\(\displaystyle v_{x}=\frac{dx}{dt}\)	속도(위치의 시간(미분) 도함수)
전류의 변화율(전하의 시간에 대한 2계(미분) 도함수)	\(\displaystyle\frac{dI}{dt}=\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}\)	\(\displaystyle a_{x}=\frac{dv_{x}}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\)	가속도(위치의 시간에 대한 2계(미분)도함수)
인덕터의 에너지	\(\displaystyle U_{L}=\frac{1}{2}LI^{2}\)	\(\displaystyle K=\frac{1}{2}mv^{2}\)	질량의 운동에너지
축전기의 에너지	\(\displaystyle U_{C}=\frac{Q^{2}}{2C}\)	\(\displaystyle U=\frac{1}{2}kx^{2}\)	용수철에 저장된 위치에너지
저항에 의한 에너지손실 비율	\(I^{2}R\)	\(bv^{2}\)	마찰에 의한 에너지손실 비율
RLC회로	\(\displaystyle L\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}+R\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{C}=0\)	\(\displaystyle m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+b\frac{dx}{dt}+kx=0\)	감쇠질량-용수철 계

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning